Не определено (математика)

Выражение, которому не присвоена интерпретация

В математике термин «неопределенный» часто используется для обозначения выражения, которому не присвоена интерпретация или значение (например, неопределенная форма , которая имеет возможность принимать разные значения). ^[1] Этот термин может иметь несколько разных значений в зависимости от контекста. Например:

• В различных разделах математики некоторые понятия вводятся как примитивные понятия (например, термины « точка », « линия » и « плоскость » в геометрии ). Поскольку эти термины не определены с точки зрения других понятий, их можно называть «неопределенными терминами».
• Говорят, что функция «неопределена» в точках за пределами ее области определения —  например, функция с действительным знаком не определена для   . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$
• В алгебре некоторые арифметические операции могут не придавать значения определенным значениям операндов (например, деление на ноль ). В этом случае выражения, включающие такие операнды, называются «неопределенными». ^[2]

Неопределенные условия

В древние времена геометры пытались дать определение каждому термину. Например, Евклид определял точку как «то, что не имеет частей». В наше время математики осознают, что попытки дать определение каждому слову неизбежно приводят к круговым определениям , и поэтому оставляют некоторые термины (например, «точка») неопределенными ( подробнее см. «Примитивное понятие »).

Этот более абстрактный подход позволяет делать плодотворные обобщения. В топологии топологическое пространство можно определить как набор точек, наделенных определенными свойствами, но в общих чертах природа этих «точек» остается совершенно неопределенной. Аналогично, в теории категорий категория состоит из «объектов» и «стрелок», которые опять же являются примитивными, неопределенными терминами . Это позволяет применять такие абстрактные математические теории к самым разнообразным конкретным ситуациям.

В арифметике

Выражение не определено в арифметике, как это объясняется при делении на ноль ( выражение используется в исчислении для представления неопределенной формы ). ${\displaystyle {\frac {n}{0}},n\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Математики имеют разные мнения относительно того, следует ли определять 0 ⁰ равным 1 или оставить его неопределенным.

Значения, для которых функции не определены

Набор чисел, для которых определена функция , называется областью определения функции. Если число не входит в область определения функции, говорят, что функция для этого числа «неопределена». Двумя распространенными примерами являются , который не определен для , и , который не определен (в действительной системе счисления) для отрицательного  . ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$

В тригонометрии

В тригонометрии для всех функции и не определены для всех , а функции и не определены для всех . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta }$ ${\displaystyle \sec \theta }$ ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cot \theta }$ ${\displaystyle \csc \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi n}$

В комплексном анализе

В комплексном анализе точку, в которой голоморфная функция не определена, называют особенностью . Различают устранимые особенности (т. е. функция может быть продолжена голоморфно до ), полюса (т. е. функция может быть продолжена мероморфно до ) и существенные особенности (т. е. мероморфное расширение до не может существовать). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

В информатике

Обозначения с использованием ↓ и ↑

В теории вычислимости , если является частичной функцией и является элементом , то это записывается как и читается как « f ( a ) определено ». ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(a)\downarrow }$

Если не находится в домене , то это записывается как и читается как « не определено ». ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)\uparrow }$ ${\displaystyle f(a)}$

Символы бесконечности

В анализе , теории меры и других математических дисциплинах этот символ часто используется для обозначения бесконечного псевдочисла, а также его отрицательного значения . Сам по себе этот символ не имеет четко определенного значения, но выражение вроде является сокращением для расходящейся последовательности , которая в какой-то момент в конечном итоге превышает любое заданное действительное число. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty }$

Выполнение стандартных арифметических операций с символами не определено. Однако некоторые расширения определяют следующие соглашения о сложении и умножении: ${\displaystyle \pm \infty }$

• ${\displaystyle x+\infty =\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$
• ${\displaystyle -\infty +x=-\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$
• ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$   для всех . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$

Разумного расширения сложения и умножения не существует в следующих случаях: ${\displaystyle \infty }$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$(хотя в теории меры это часто определяется как ) ${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle -\infty [{1(0)}]}$

Подробнее см. расширенную строку действительных чисел .

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Не определено». mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 г.
2. «Неопределенное против неопределенного в математике» . www.cut-the-knot.org . Проверено 15 декабря 2019 г.
3. Эндертон, Герберт Б. (2011). Вычислимость: введение в теорию рекурсии . Эльзевейер. стр. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.

дальнейшее чтение

• Смарт, Джеймс Р. (1988). Современные геометрии (Третье изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-08310-2.