В геометрии теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне, проходящей из точки пересечения диагоналей, всегда делит противоположную сторону пополам. [1] Он назван в честь индийского математика Брахмагупты (598-668). [2]
Более конкретно, пусть A , B , C и D — четыре точки на окружности, такие, что прямые AC и BD перпендикулярны. Обозначим пересечение AC и BD через M. Опустите перпендикуляр из М на прямую ВС , назвав пересечение Е. Пусть F — пересечение прямой EM и ребра AD . Тогда теорема утверждает, что F — это середина AD .
Нам нужно доказать, что AF = FD . Мы докажем, что и AF , и FD на самом деле равны FM .
Чтобы доказать, что AF = FM , сначала заметим, что углы FAM и CBM равны, поскольку они являются вписанными углами , пересекающими одну и ту же дугу окружности (CD). Более того , углы CBM и CME дополняют угол BCM (т.е. их сумма составляет 90°) и поэтому равны. Наконец, углы CME и FMA одинаковы. Следовательно, AFM — равнобедренный треугольник , а значит, стороны AF и FM равны.
Доказательство того, что FD = FM, проходит аналогично: углы FDM , BCM , BME и DMF равны, поэтому DFM — равнобедренный треугольник, поэтому FD = FM . Отсюда следует, что AF = FD , как утверждает теорема.
