В геометрии средняя точка — это середина отрезка прямой . Он равноудален от обеих конечных точек и является центроидом как сегмента, так и конечных точек. Он делит сегмент пополам.
Средняя точка сегмента n -мерного пространства, конечные точки которого равны и определяется выражением
То есть i- я координата средней точки ( i = 1, 2,..., n ) равна
Учитывая две точки интереса, найти середину отрезка линии, который они определяют, можно с помощью циркуля и линейки . Середину отрезка, вложенного в плоскость , можно определить, сначала построив линзу , используя дуги окружностей одинакового (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, а затем соединив выступы линзы (две точки, в которых находится точка дуги пересекаются). Точка, в которой линия, соединяющая точки пересечения, пересекает сегмент, является средней точкой сегмента. Найти середину с помощью только циркуля сложнее, но согласно теореме Мора-Машерони это все же возможно . [1]
Середина любого диаметра круга является центром круга.
Любая линия , перпендикулярная любой хорде окружности и проходящая через ее середину, также проходит через центр окружности.
Теорема о бабочке гласит, что если M является серединой хорды PQ окружности, через которую проведены две другие хорды AB и CD , то AD и BC пересекают хорду PQ в точках X и Y соответственно, так что M является средней точкой окружности. ХY .
Середина любого сегмента, который является биссектрисой площади или биссектрисой периметра эллипса, является центром эллипса.
Центр эллипса также является средней точкой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы , является центром гиперболы.
Биссектриса стороны треугольника — это прямая, перпендикулярная этой стороне и проходящая через ее середину . Три биссектрисы трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центре окружности, проходящей через три вершины).
Медиана стороны треугольника проходит как через середину стороны, так и через противоположную вершину треугольника . Три медианы треугольника пересекаются в центре тяжести треугольника (точке, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла одинаковой плотности).
Центр девяти точек треугольника лежит в середине между центром описанной окружности и ортоцентром . Все эти точки находятся на линии Эйлера .
Средний отрезок (или средняя линия ) треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.
Средний треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними отрезками данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медианы, что и данный треугольник. Периметр медиального треугольника равен полупериметру (половине периметра) исходного треугольника, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника. Ортоцентр (пересечение высот ) медиального треугольника совпадает с центром описанной окружности (центром окружности, проходящей через вершины) исходного треугольника.
Каждый треугольник имеет вписанный эллипс , называемый эллипсом Штейнера , который внутренне касается треугольника в серединах всех его сторон. Центр этого эллипса находится в центроиде треугольника, и он имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в треугольник.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы .
В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса со стороны основания и биссектриса угла вершины совпадают с линией Эйлера и осью симметрии , и эти совпадающие линии проходят через середину стороны основания.
Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон и, следовательно, делят пополам две стороны. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают ( все пересекаются) в точке, называемой «центроидом вершины», которая является средней точкой всех трех этих сегментов. [2] : стр. 125
Четыре «высоты» выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны, следовательно, делящие последнюю сторону пополам. Если четырехугольник циклический (вписан в круг), все эти степени сходятся в общей точке, называемой «антицентром».
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален ( то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне из точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.
Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмма , и если четырехугольник не является самопересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.
Линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.
В правильный многоугольник входит вписанная окружность , касающаяся каждой стороны многоугольника в его средней точке.
В правильном многоугольнике с четным числом сторон середина диагонали между противоположными вершинами является центром многоугольника.
Многоугольник с растяжением средней точки циклического многоугольника P ( многоугольник , все вершины которого попадают в одну и ту же окружность) — это другой циклический многоугольник, вписанный в ту же окружность, многоугольник, вершины которого являются серединами дуг окружности между вершинами P . [3] Повторение операции растяжения средней точки на произвольном исходном многоугольнике приводит к получению последовательности многоугольников, форма которых сходится к форме правильного многоугольника . [3] [4]
В приведенных выше формулах для середины отрезка неявно используются длины отрезков. Однако в обобщении аффинной геометрии , где длины сегментов не определены, [5] среднюю точку все же можно определить, поскольку она является аффинным инвариантом . Синтетическое аффинное определение середины M отрезка AB является проективно - гармоническим сопряжением бесконечной точки P прямой AB . То есть точка M такая, что H[ A , B ; ВЕЧЕРА ] . _ _ [6] Когда координаты можно ввести в аффинной геометрии, два определения средней точки будут совпадать. [7]
Средняя точка естественным образом не определена в проективной геометрии, поскольку не существует выделенной точки, которая могла бы играть роль точки, находящейся на бесконечности (любая точка в проективном диапазоне может быть проективно отображена в любую другую точку в (том же или каком-либо другом) проективном диапазоне) . Однако фиксация точки на бесконечности определяет аффинную структуру на рассматриваемой проективной прямой , и приведенное выше определение можно применить.
Определение середины сегмента может быть распространено на сегменты кривых , такие как геодезические дуги на римановом многообразии . Обратите внимание, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть определена однозначно.
