Алгебра Окубо

В алгебре алгебра Окубо или псевдооктонионная алгебра — это 8-мерная неассоциативная алгебра, похожая на ту, которую изучал Сусуму Окубо . ^[1] Алгебры Окубо являются композиционными алгебрами , гибкими алгебрами ( A ( BA )=( AB ) A ), допустимыми по Ли алгебрами и ассоциативными по мощности , но не являются ассоциативными, не являются альтернативными алгебрами и не имеют единичного элемента.

Примером Окубо была алгебра 3-на-3 комплексных матриц со следом -нулем, с произведением X и Y, заданным как aXY + bYX – Tr( XY ) I /3, где I - единичная матрица, а a и b удовлетворяют a + b = 3 ab = 1. Эрмитовы элементы образуют 8-мерную вещественную неассоциативную алгебру с делением . Подобная конструкция работает для любой кубической альтернативной отделимой алгебры над полем, содержащей примитивный кубический корень из единицы. Алгебра Окубо - это алгебра, построенная таким образом из элементов со следом -нулем центральной простой алгебры степени 3 над полем. ^[2]

Построение алгебры Пара-Гурвица

Унитальные композиционные алгебры называются алгебрами Гурвица . ^[3]^{: 22} Если основное поле $K$ является полем действительных чисел , а $N$ положительно определено , то $A$ называется евклидовой алгеброй Гурвица .

Скалярное произведение

Если $K$ имеет характеристику, не равную 2, то билинейная форма $( a , b ) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ [ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )]$ связано с квадратичной формой $N$ .

Инволюция в алгебрах Гурвица

Предполагая, что $A$ имеет мультипликативную единицу, определим инволюцию и правые и левые операторы умножения следующим образом:

\displaystyle {{\bar {a}}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b=ba.}

Очевидно, что это инволюция , сохраняющая квадратичную форму. Обозначение сверху подчеркивает тот факт, что комплексное и кватернионное сопряжение являются ее частными случаями. Эти операторы обладают следующими свойствами:

Инволюция является антиавтоморфизмом, т.е. $a b = b a$
$а а = N (а) 1 = а а$
$L (a) = L (a)*$ , $R (a) = R (a)*$ , где $*$ обозначает сопряженный оператор относительно формы $( , )$
$Re(a b) = Re(b a)$ , где $Re x = (x + x)/2 = (x, 1)$
$Re((а б) в) = Re(а (б в))$
$L (a 2) = L (a) 2$ , $R (a 2) = R (a) 2$ , так что $A$ является альтернативной алгеброй

Эти свойства доказываются, исходя из поляризованной версии тождества $(a b, a b) = (a, a)(b, b)$ :

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

Установка $b = 1$ или $d = 1$ дает $L (a) = L (a)*$ и $R (c) = R (c)*$ . Следовательно, $Re(a b) = (a b, 1) = (a, b) = (b a, 1) = Re(b a)$ . Аналогично $(a b, c) = (a b, c) = (b, a c) = (1, b (a c)) = (1, (b a) c) = (b a, c)$ . Следовательно, $Re(a b) c = ((a b) c, 1) = (a b, c) = (a, c b) = (a (b c), 1) = Re(a (b c))$ . По поляризованному тождеству $N (a) (c, d) = (a c, a d) = (a a c, d)$ поэтому $L (a) L(a) = N (a)$ . Применительно к 1 это дает $a a = N (a)$ . Замена $a$ на $a$ дает другое тождество. Подстановка формулы для $a$ в $L (a) L (a) = L (a a)$ дает $L (a) 2 = L (a 2)$ .

Пара-Гурвицева алгебра

Другая операция $*$ может быть определена в алгебре Гурвица как

х * у = х у

Алгебра $(A, *)$ является композиционной алгеброй, не являющейся в общем случае унитальной, известной как пара-алгебра Гурвица . ^[2]^{: 484} В размерностях 4 и 8 это пара-кватернионные ^[4] и пара-октонионные алгебры. ^[3]^{: 40, 41}

Пара-Гурвицева алгебра удовлетворяет ^[3]^{: 48}

(x*y)*x=x*(y*x)=\langle x|x\rangle y\ .

Наоборот, алгебра с невырожденной симметричной билинейной формой, удовлетворяющая этому уравнению, является либо пара-Гурвицевой алгеброй, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй . ^[3]^{: 49} Аналогично, гибкая алгебра, удовлетворяющая

\langle xy|xy\rangle =\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \

является либо алгеброй Гурвица, либо пара-алгеброй Гурвица, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй. ^[3]

Ссылки

^ Сусуму Окубо (1978)
^ ab Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN 0-8218-0904-0
^ abcde Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций памяти Монтролла по математической физике. Том 2. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47215-6. MR 1356224. Zbl 0841.17001.
^ Термин «паракватернионы» иногда применяется к неродственным алгебрам.

"Okubo_algebra", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Окубо, Сусуму (1978), «Алгебры псевдокватернионов и псевдооктонионов», Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR 0510100
Сусуму Окубо и Дж. Маршалл Осборн (1981) «Алгебры с невырожденными ассоциативными симметричными билинейными формами, допускающими композицию», Сообщения по алгебре 9(12): 1233–61, MR 0618901 и 9(20): 2015–73 MR 0640611.