Сплит-октонион

В математике сплит -октонионы представляют собой 8-мерную неассоциативную алгебру над действительными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые необратимы. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : сплит-октонионы имеют сплит-сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно-определенную сигнатуру (8,0).

С точностью до изоморфизма октонионы и сплит-октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя октонионными алгебрами над действительными числами. Сплит-октонионные алгебры, аналогичные сплит-октонионам, могут быть определены над любым полем .

Определение

Строительство Кейли–Диксона

Октонионы и сплит-октонионы могут быть получены из конструкции Кэли–Диксона путем определения умножения пар кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Произведение определяется правилом: ^[1]

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})}$

где

${\displaystyle \lambda =\ell ^{2}.}$

Если λ выбрано равным −1, мы получаем октонионы. Если же вместо этого оно взято равным +1, мы получаем сплит-октонионы. Можно также получить сплит-октонионы через удвоение Кэли-Диксона сплит-кватернионов . Здесь любой выбор λ (±1) дает сплит-октонионы.

Таблица умножения

Мнемоника для продуктов расщепления октонионов.

Основой для сплит -октонионов служит набор . ${\displaystyle \{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}}$

Каждый сплит-октонион можно записать в виде линейной комбинации базисных элементов, ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,}$

с реальными коэффициентами . ${\displaystyle x_{a}}$

По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :

Удобная мнемоника представлена ​​диаграммой справа, которая представляет собой таблицу умножения для сплит-октонионов. Она получена из ее родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется как:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,}$

где — дельта Кронекера , а — символ Леви-Чивита со значением, когда и: ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle ijk=123,154,176,264,257,374,365,}$

${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},}$

со скалярным элементом, и ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle i,j,k=1...7.}$

Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родителя, создающего разделенный октонион с помощью этой таблицы умножения.

Сопряженная, нормированная и обратная функция

Сопряженное число расщепленного октониона x задается формулой

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,}$

так же, как и для октонионов.

Квадратичная форма по x задается выражением

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).}$

Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой , поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. При N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда обозначаемое как R ^4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.

Если N ( x ) ≠ 0, то x имеет (двусторонний) мультипликативный обратный элемент x ^−1, заданный формулой

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.}$

Характеристики

Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют алгебру композиции , поскольку квадратичная форма N является мультипликативной. То есть,

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y).}$

Сплит-октонионы удовлетворяют тождествам Муфанг и, таким образом, образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина , подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Множество всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образуют петлю Муфанг .

Группа автоморфизмов расщепленных октонионов представляет собой 14-мерную группу Ли , расщепленную вещественную форму исключительной простой группы Ли G 2 .

Векторно-матричная алгебра Цорна

Поскольку сплит-октонионы неассоциативны, их нельзя представить обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их как «матрицы», содержащие как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию умножения матриц. ^[2] В частности, определим векторную матрицу как матрицу 2×2 вида ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},}$

где a и b — действительные числа, а v и w — векторы в R ³ . Определим умножение этих матриц по правилу

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}}$

где · и × — обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При сложении и скалярном умножении, определенных как обычно, множество всех таких матриц образует неассоциативную унитальную 8-мерную алгебру над действительными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .

Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$.

Этот определитель является квадратичной формой на алгебре Цорна, которая удовлетворяет правилу композиции:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).\,}$

Векторно-матричная алгебра Цорна, по сути, изоморфна алгебре сплит-октонионов. Запишем октонион в виде ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

где и являются действительными числами, а v и w являются чисто мнимыми кватернионами, рассматриваемыми как векторы в R ³ . Изоморфизм от сплит-октонионов к алгебре Цорна задается формулой ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.}$

Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку . ${\displaystyle N(x)=\det(\phi (x))}$

Приложения

Сплит-октонионы используются при описании физических законов. Например:

• Уравнение Дирака в физике (уравнение движения свободной частицы со спином 1/2, например, электрона или протона) может быть выражено с помощью арифметики расщепленного октониона. ^[7]
• Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение. ^[8]
• Основанная на Цорне алгебра расщепленных октонионов может быть использована при моделировании локальной калибровочно-симметричной квантовой хромодинамики SU(3). ^[9]
• Задача о качении шара без скольжения по шару радиуса в 3 раза большего имеет расщепленную вещественную форму исключительной группы G2 в качестве своей группы симметрии, поскольку эта задача может быть описана с помощью расщепленных октонионов. ^[10]

Ссылки

1. Кевин Маккриммон (2004) Вкус йордановых алгебр , стр. 158, Universitext, Springer ISBN  0-387-95447-3 MR 2014924
2. Макс Цорн (1931) «Alternativekörper und Squaretische Systeme», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
3. Натан Якобсон (1962) Алгебры Ли , стр. 142, Interscience Publishers.
4. Шефер, Ричард Д. (1966). Введение в неассоциативные алгебры. Academic Press . стр. 52–6. ISBN 0-486-68813-5.
5. Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Йордановы алгебры», страницы 144–186 в «Исследованиях современной алгебры» под редакцией А. А. Альберта, Математическая ассоциация Америки  : векторно-матричная алгебра Цорна на странице 180.
6. Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , стр. 199, Academic Press
7. М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Журнал физики A 39: 7099-7104. doi :10.1088/0305-4470/39/22/020
8. В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 doi :10.1063/1.2907868; arXiv :0712.1647
9. Б. Волк, Adv. Appl. Clifford Algebras 27(4), 3225 (2017).
10. J. Baez и J. Huerta, G ₂ и катящийся шар, Trans. Amer. Math. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv :1205.2447.

Дальнейшее чтение

• Р. Фут и Дж. К. Джоши (1990) «Нестандартная сигнатура пространства-времени, суперструн и расщепленных композиционных алгебр», Письма по математической физике 19: 65–71
• Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1.
• Нэш, Патрик Л. (1990) «О структуре алгебры расщепленных октонионов», Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi :10.1007/BF02723550
• Спрингер, Т.А.; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-66337-1.