Восьмиквадратная идентичность Дегена

В математике тождество восьми квадратов Дегена устанавливает , что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой восьми квадратов, само является суммой восьми квадратов. А именно: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2}\right)=\\[1ex]&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

Впервые обнаруженное Карлом Фердинандом Дегеном около 1818 года, тождество было независимо переоткрыто Джоном Томасом Грейвсом (1843) и Артуром Кэли (1845). Последние двое вывели его, работая над расширением кватернионов, называемых октонионами . В алгебраических терминах тождество означает, что норма произведения двух октонионов равна произведению их норм: . Аналогичные утверждения верны для кватернионов ( четырехквадратное тождество Эйлера ), комплексных чисел ( двойное квадратное тождество Брахмагупты–Фибоначчи ) и действительных чисел. В 1898 году Адольф Гурвиц доказал, что не существует подобного билинейного тождества для 16 квадратов ( седенионов ) или любого другого числа квадратов, за исключением 1, 2, 4 и 8. Однако в 1960-х годах Х. Цассенхаус, В. Эйххорн и А. Пфистер (независимо) показали, что может существовать небилинейная тождественность для 16 квадратов . ${\displaystyle \left\|ab\right\|=\left\|a\right\|\left\|b\right\|}$

Обратите внимание, что каждый квадрант сводится к версии четырехквадратного тождества Эйлера : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)=\\&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

и аналогично для остальных трех квадрантов.

Комментарий: Доказательство тождества восьми квадратов осуществляется алгебраической оценкой. Тождество восьми квадратов можно записать в виде произведения двух внутренних произведений 8-мерных векторов, что снова даст внутреннее произведение 8-мерных векторов: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b ) . Это определяет правило умножения октонионов a × b , которое отражает тождество восьми квадратов Дегена и математику октонионов.

По теореме Пфистера можно задать другой вид тождества восьми квадратов, где , представленные ниже, являются небилинейными и просто рациональными функциями . Таким образом, ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ $${\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}+y_{7}^{2}+y_{8}^{2}\right)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}+z_{5}^{2}+z_{6}^{2}+z_{7}^{2}+z_{8}^{2}}$$

где, $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}+u_{1}y_{5}-u_{2}y_{6}-u_{3}y_{7}-u_{4}y_{8}\\z_{2}&=x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+u_{2}y_{5}+u_{1}y_{6}+u_{4}y_{7}-u_{3}y_{8}\\z_{3}&=x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+u_{3}y_{5}-u_{4}y_{6}+u_{1}y_{7}+u_{2}y_{8}\\z_{4}&=x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+u_{4}y_{5}+u_{3}y_{6}-u_{2}y_{7}+u_{1}y_{8}\\z_{5}&=x_{5}y_{1}-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}-x_{2}y_{6}-x_{3}y_{7}-x_{4}y_{8}\\z_{6}&=x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}+x_{8}y_{3}-x_{7}y_{4}+x_{2}y_{5}+x_{1}y_{6}+x_{4}y_{7}-x_{3}y_{8}\\z_{7}&=x_{7}y_{1}-x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}+x_{6}y_{4}+x_{3}y_{5}-x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}+x_{2}y_{8}\\z_{8}&=x_{8}y_{1}+x_{7}y_{2}-x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{3}y_{6}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}\end{aligned}}}$$

и,

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {(ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{5}-2x_{1}(bx_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{2}&={\frac {(x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{6}-2x_{2}(x_{1}x_{5}+bx_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{3}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{7}-2x_{3}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+bx_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{4}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2})x_{8}-2x_{4}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+bx_{4}x_{8})}{c}}\end{aligned}}}$$

с, $${\displaystyle a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$$

Кстати, соблюдайте идентичность, ${\displaystyle u_{i}}$ $${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}$$

Смотрите также

• Шестнадцатиквадратная идентичность Пфистера
• Строительство Кейли–Диксона
• Гиперкомплексное число
• Латинский квадрат

Внешние ссылки

• Восьмиквадратное тождество Дегена на MathWorld
• Идентификация восьмиугольника Дегена-Грейвса-Кейли
• 16-квадратная идентичность Пфистера, архив 2016-09-17 на Wayback Machine