Строительство Кейли–Диксона

В математике конструкция Кэли–Диксона , иногда также известная как процесс Кэли–Диксона или процедура Кэли–Диксона, создает последовательность алгебр над полем действительных чисел , каждая из которых имеет вдвое большую размерность , чем предыдущая. Она названа в честь Артура Кэли и Леонарда Юджина Диксона . Алгебры, полученные этим процессом, известны как алгебры Кэли–Диксона , например, комплексные числа , кватернионы и октонионы . Эти примеры являются полезными композиционными алгебрами, часто применяемыми в математической физике .

Конструкция Кэли–Диксона определяет новую алгебру как декартово произведение алгебры на себя, с умножением, определенным особым образом (отличным от покомпонентного умножения), и инволюцией, известной как сопряжение . Произведение элемента и его сопряженного элемента (или иногда квадратный корень этого произведения) называется нормой .

Симметрии действительного поля исчезают, когда конструкция Кэли–Диксона применяется многократно: сначала теряется порядок , затем коммутативность умножения, ассоциативность умножения и, наконец, альтернативность .

В более общем смысле конструкция Кэли–Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией удвоенной размерности. ^[1]^{: 45}

Теорема Гурвица (композиционные алгебры) утверждает, что действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными ( нормированными ) алгебрами деления (над действительными числами).

Синопсис

Конструкция Кэли–Диксона была предложена Леонардом Диксоном в 1919 году, который показал, как октонионы могут быть построены как двумерная алгебра над кватернионами . Фактически, начиная с поля F , конструкция дает последовательность F -алгебр размерности 2 ⁿ . Для n = 2 это ассоциативная алгебра, называемая кватернионной алгеброй , а для n = 3 это альтернативная алгебра, называемая октонионной алгеброй . Эти примеры n = 1, 2 и 3 производят композиционные алгебры , как показано ниже.

Случай n = 1 начинается с элементов ( a , b ) в F × F и определяет сопряжение ( a , b )* как ( a *, – b ), где a * = a в случае n = 1, и впоследствии определяется формулой. Суть F -алгебры заключается в определении произведения двух элементов ( a , b ) и ( c , d ):

(a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).

Предложение 1: Для и сопряженное произведение равно $z=(a,b)$ $w=(c,d),$ $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$

доказательство:

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

Предложение 2: Если F -алгебра ассоциативна и ,то $N(z)=zz^{*}$ ${\ displaystyle N (zw) = N (z) N (w).}$

доказательство: + термины, которые сокращаются по ассоциативному свойству.

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

Этапы построения действительных алгебр

Подробности построения классических действительных алгебр следующие:

Комплексные числа как упорядоченные пары

Комплексные числа можно записать в виде упорядоченных пар $(a, b)$ действительных чисел $a$ и $b$ , причем оператор сложения является покомпонентным, а умножение определяется формулой

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,

Комплексное число, второй компонент которого равен нулю, связано с действительным числом: комплексное число $(a, 0)$ связано с действительным числом $a$ .

Комплексное сопряжение $(a, b)*$ числа $(a, b)$ определяется как

(a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)

поскольку $a$ — действительное число и является своим собственным сопряженным числом.

Сопряженное имеет свойство, что

(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,

что является неотрицательным действительным числом. Таким образом, сопряжение определяет норму , делая комплексные числа нормированным векторным пространством над действительными числами: норма комплексного числа $z$ равна

|z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,

Более того, для любого ненулевого комплексного числа $z$ сопряжение дает мультипликативное обратное число ,

z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.

Поскольку комплексное число состоит из двух независимых действительных чисел, они образуют двумерное векторное пространство над действительными числами.

Помимо того, что комплексные числа имеют большую размерность, можно сказать, что у них отсутствует одно алгебраическое свойство действительных чисел: действительное число является своим собственным сопряженным числом.

Кватернионы

График Cayley Q8 умножения кватернионов, показывающий циклы умножения i (красный), j (зеленый) и k (синий). В файле SVG наведите курсор или щелкните путь, чтобы выделить его.

Следующим шагом в построении является обобщение операций умножения и сопряжения.

Образуйте упорядоченные пары $(a, b)$ комплексных чисел $a$ и $b$ , умножение которых определяется формулой

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,

Возможны небольшие вариации этой формулы; полученные конструкции дадут структуры, идентичные с точностью до знаков оснований.

Порядок факторов сейчас кажется странным, но он будет важен на следующем этапе.

Определим сопряжение $(a, b)*$ для $(a, b)$ следующим образом:

(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,

Эти операторы являются прямыми расширениями своих комплексных аналогов: если $a$ и $b$ берутся из действительного подмножества комплексных чисел, то появление сопряженного числа в формулах не имеет никакого эффекта, поэтому операторы те же, что и для комплексных чисел.

Произведение ненулевого элемента на его сопряженный элемент является неотрицательным действительным числом:

{\begin{align}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\right).\,\end{align}}

Как и прежде, сопряжение, таким образом, дает норму и обратную для любой такой упорядоченной пары. Таким образом, в том смысле, который мы объяснили выше, эти пары составляют алгебру, подобную действительным числам. Это кватернионы , названные Гамильтоном в 1843 году.

Поскольку кватернион состоит из двух независимых комплексных чисел, они образуют четырехмерное векторное пространство над действительными числами.

Однако умножение кватернионов не совсем похоже на умножение действительных чисел; оно не коммутативно , то есть, если $p$ и $q$ являются кватернионами, то не всегда верно, что $pq = qp$ .

Октонионы

Все шаги по созданию дальнейших алгебр одинаковы, начиная с октонионов.

На этот раз сформируем упорядоченные пары $(p, q)$ кватернионов $p$ и $q$ , причем умножение и сопряжение будут определены точно так же, как для кватернионов:

(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,

Однако следует отметить, что поскольку кватернионы не являются коммутативными, порядок множителей в формуле умножения становится важным — если бы последний множитель в формуле умножения был $r * q,$ а не $qr *$ , формула умножения элемента на его сопряженный элемент не дала бы действительного числа.

По тем же причинам, что и раньше, оператор сопряжения даёт норму и мультипликативную обратную величину любого ненулевого элемента.

Эта алгебра была открыта Джоном Т. Грейвсом в 1843 году и называется октонионами или « числами Кэли ». ^[2]

Поскольку октонион состоит из двух независимых кватернионов, они образуют восьмимерное векторное пространство над действительными числами.

Умножение октонионов ещё более странно, чем умножение кватернионов; помимо того, что оно некоммутативно, оно ещё и неассоциативно — то есть, если $p$ , $q$ и $r$ являются октонионами, то не всегда верно, что $(pq) r = p (qr)$ .

По причине этой неассоциативности октонионы не имеют матричного представления .

Седенионс

Алгебра, следующая сразу за октонионами, называется седенионами . ^[3] Она сохраняет алгебраическое свойство, называемое ассоциативностью степеней , что означает, что если $s$ — седенион, $то s n s m = s n + m$ , но теряет свойство быть альтернативной алгеброй и, следовательно, не может быть композиционной алгеброй .

Тригинтадуонионы

Алгебра, следующая сразу за седенионами , — это тригинтадуонионы , ^[4]^[5]^[6], которые образуют 32- мерную алгебру над действительными числами ^[7] и обычно обозначаются жирным шрифтом на доске . ^[8] $\mathbb {T}$

Дальнейшие алгебры

Построение Кэли–Диксона можно продолжать до бесконечности , на каждом шаге производя ассоциативную алгебру, размерность которой вдвое больше, чем у алгебры предыдущего шага. К ним относятся 64-мерные сексагинтакватронионы (или 64-нионы), 128-мерные центумдуодетригинтанионы (или 128-нионы), 256-мерные дуцентиквинквагинтасексионы (или 256-нионы) и до бесконечности . ^[9] Все алгебры, сгенерированные таким образом над полем, являются квадратичными : то есть каждый элемент удовлетворяет квадратному уравнению с коэффициентами из поля. ^[1]^{: 50}

В 1954 году Р. Д. Шафер исследовал алгебры, порождённые процессом Кэли–Диксона над полем $F,$ и показал, что они удовлетворяют гибкому тождеству . Он также доказал, что любая алгебра вывода алгебры Кэли–Диксона изоморфна алгебре вывода чисел Кэли, 14-мерной алгебре Ли над $F$ . ^[10]

Модифицированная конструкция Кэли–Диксона

Конструкция Кэли–Диксона, начиная с действительных чисел , порождает композиционные алгебры ( комплексные числа ), ( кватернионы ) и ( октонионы ). Существуют также композиционные алгебры, норма которых является изотропной квадратичной формой , которые получаются путем небольшой модификации, путем замены знака минус в определении произведения упорядоченных пар на знак плюс, следующим образом: $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {O}$ $(a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).$

Когда эта модифицированная конструкция применяется к , мы получаем расщепленные комплексные числа , которые кольцево изоморфны прямому произведению, после чего мы получаем расщепленные кватернионы , ассоциативную алгебру , изоморфную алгебре действительных матриц 2 × 2 ; и расщепленные октонионы , которые изоморфны $Zorn($ $R$ $)$ . Применение исходной конструкции Кэли–Диксона к расщепленным комплексам также приводит к расщепленным кватернионам и затем расщепленным октонионам. ^[11] $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ;$

Строительство General Cayley–Dickson

Альберт (1942, стр. 171) дал небольшое обобщение, определив произведение и инволюцию на $B = A \oplus A$ для $A$ как алгебры с инволюцией (с $(xy)* = y * x *$ ), которая будет

{\begin{align}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{align}}

для $γ —$ аддитивное отображение, которое коммутирует с $*$ и левым и правым умножением на любой элемент. (В области действительных чисел все варианты $γ$ эквивалентны −1, 0 или 1.) В этой конструкции $A$ — алгебра с инволюцией, что означает:

$A$ — абелева группа относительно $+$
$A$ имеет произведение, которое является левым и правым дистрибутивным по $+$
$A$ имеет инволюцию $*$ , причем $(x *)* = x$ , $(x + y)* = x * + y *$ , $(xy)* = y * x *$ .

Алгебра $B = A \oplus A,$ полученная с помощью конструкции Кэли–Диксона, также является алгеброй с инволюцией.

$B$ наследует свойства $A$ без изменений следующим образом.

Если $A$ имеет тождество $1 A$ , то $B$ имеет тождество $(1 A, 0)$ .
Если $A$ обладает свойством, что $x + x *$ , $xx *$ ассоциируются и коммутируют со всеми элементами, то то же самое относится и к $B.$ Это свойство подразумевает, что любой элемент порождает коммутативную ассоциативную *-алгебру, поэтому, в частности, алгебра является степенно-ассоциативной.

Другие свойства $A$ только вызывают более слабые свойства $B$ :

Если $A$ коммутативен и имеет тривиальную инволюцию, то $B$ коммутативен.
Если $A$ коммутативен и ассоциативен, то $B$ ассоциативен.
Если $A$ ассоциативна и $x + x *$ , $xx *$ ассоциируются и коммутируют со всем, то $B$ является альтернативной алгеброй .

Примечания

^ ab Schafer, Richard D. (1995) [1966], Введение в неассоциативные алгебры , Dover Publications , ISBN 0-486-68813-5, ЗБЛ 0145.25601
^ Baez, John C. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR 1886087. S2CID 586512.
^ Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000). «Седенионы: алгебра и анализ». Прикладная математика и вычисления . 115 (2): 77–88. doi :10.1016/S0096-3003(99)00140-X. MR 1786945.
^ "Trigintaduonion". Университет Ватерлоо . Получено 2024-10-08 .
^ Кавагас, Рауль Э.; Карраскаль, Александр С.; Баутиста, Линкольн А.; Мария, Джон П. Ста; Уррутия, Джеки Д.; Дворяне, Бернадет (2009). «Структура подалгебры алгебры Кэли-Диксона размерности 32 (тригинтадуионион)». arXiv : 0907.2047v3 . doi : 10.48550/arXiv.0907.2047.
^ Cariow, A.; Cariowa, G. (2014). «Алгоритм умножения тригинтадуонионов». Журнал теоретической и прикладной компьютерной науки . 8 (1): 50–75. ISSN 2299-2634 . Получено 10 октября 2024 г.
^ Шайни, Кавита; Радж, Кулдип (2021). «Об обобщении тригинтадуонионов Трибоначчи». Индийский журнал чистой и прикладной математики . 52 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 420–428. doi : 10.1007/s13226-021-00067-y. ISSN 0019-5588.
^ Кавагас, Рауль Э.; Карраскаль, Александр С.; Баутиста, Линкольн А.; Мария, Джон П. Ста; Уррутия, Джеки Д.; Ноблс, Бернадет (12 июля 2009 г.). «Структура подалгебры алгебры Кэли-Диксона размерности 32 (тригинтадуионион)». arXiv : 0907.2047 . Проверено 10 октября 2024 г.
^ Царёв, Александр (2015). «Единый подход к разработке рационализированных алгоритмов умножения гиперкомплексных чисел». Пшегленд Электротехнический . 1 (2). Видавниктво СИГМА-НЕ: 38–41. дои : 10.15199/48.2015.02.09. ISSN 0033-2097.
^ Ричард Д. Шефер (1954) «Об алгебрах, образованных процессом Кэли–Диксона», American Journal of Mathematics 76: 435–46 doi :10.2307/2372583
^ Кевин Маккриммон (2004) Вкус йордановых алгебр , стр. 64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924

Ссылки

Альберт, AA (1942), «Квадратичные формы, допускающие композицию», Annals of Mathematics , вторая серия, 43 (1): 161–177, doi :10.2307/1968887, JSTOR 1968887, MR 0006140(см. стр. 171)
Баез, Джон (2002), «Октонионы», Бюллетень Американского математического общества , 39 (2): 145–205, arXiv : math/0105155 , doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X, S2CID 586512. (См. «Раздел 2.2, Конструкция Кейли–Диксона»)
Диксон, Л. Э. (1919), «О кватернионах и их обобщении, а также об истории теоремы о восьми квадратах», Annals of Mathematics , вторая серия, 20 (3), Annals of Mathematics: 155–171, doi : 10.2307/1967865, JSTOR 1967865
Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли – Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : математика/0702075 . Бибкод : 2007math......2075B.
Гамильтон, Уильям Роуэн (1847), «О кватернионах», Труды Королевской Ирландской Академии , 3 : 1–16, ISSN 1393-7197
Кантор, Иллинойс; Солодовников, А.С. (1978), Гиперкомплекс Зален , Лейпциг: Б.Г. Тойбнер(следующая ссылка дает английский перевод этой книги)
Кантор, ИЛ; Солодовников, АС (1989), Гиперкомплексные числа , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96980-0, МР 0996029
Рус, Гай (2008). "Исключительные симметричные области §1: алгебры Кэли". В Гиллиган, Брюс; Рус, Гай (ред.). Симметрии в комплексном анализе . Contemporary Mathematics. Том 468. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4459-5.

Дальнейшее чтение

Daboul, Jamil; Delbourgo, Robert (1999). «Матричные представления октонионов и обобщения». Журнал математической физики . 40 (8): 4134–50. arXiv : hep-th/9906065 . Bibcode :1999JMP....40.4134D. doi :10.1063/1.532950. S2CID 16932871.