Симметричная билинейная форма

В математике симметричная билинейная форма в векторном пространстве — это билинейное отображение двух копий векторного пространства в поле скаляров , такое, что порядок двух векторов не влияет на значение карты. Другими словами, это билинейная функция , которая отображает каждую пару элементов векторного пространства в базовое поле так, что для каждого и в . Их также кратко называют просто симметричными формами , когда понимают «билинейность». ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Симметричные билинейные формы в конечномерных векторных пространствах точно соответствуют симметричным матрицам с базисом для V . Среди билинейных форм важны симметричные формы, поскольку именно для них векторное пространство допускает особенно простой тип базиса, известный как ортогональный базис (по крайней мере, когда характеристика поля не равна 2).

Учитывая симметричную билинейную форму B , функция q ( x ) = B ( x , x ) является ассоциированной квадратичной формой в векторном пространстве. Более того, если характеристика поля не равна 2, B — единственная симметричная билинейная форма, связанная с q .

Формальное определение

Пусть V — векторное пространство размерности n над полем K. Карта является симметричной билинейной формой в пространстве, если : ${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$

• ${\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V}$
• ${\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V}$
• ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V}$

Последние две аксиомы устанавливают линейность только по первому аргументу, но первая аксиома (симметрия) сразу же подразумевает линейность и по второму аргументу.

Примеры

Пусть V = Rn — n ^- мерное действительное векторное пространство. Тогда стандартное скалярное произведение представляет собой симметричную билинейную форму B ( x , y ) = x ⋅ y . Матрица, соответствующая этой билинейной форме (см. ниже) на стандартной основе, является единичной матрицей.

Пусть V — любое векторное пространство (в том числе, возможно, бесконечномерное), и предположим, что T — линейная функция от V до поля. Тогда функция, определяемая формулой B ( x , y ) = T ( x ) T ( y ), является симметричной билинейной формой.

Пусть V — векторное пространство непрерывных вещественных функций одной переменной. Ведь можно определить . По свойствам определенных интегралов это определяет симметричную билинейную форму на V. Это пример симметричной билинейной формы, которая не связана ни с одной симметричной матрицей (поскольку векторное пространство бесконечномерно). ${\displaystyle f,g\in V}$ ${\displaystyle \textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt}$

Матричное представление

Пусть будет основой для V . Определим матрицу A размера n × n как . Матрица A является симметричной матрицей именно в силу симметрии билинейной формы. Если мы позволим матрице x n × 1 представлять вектор v относительно этого базиса, и аналогичным образом позволим матрице y n × 1 представлять вектор w , то это будет иметь вид: ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle A_{ij}=B(e_{i},e_{j})}$ ${\displaystyle B(v,w)}$

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.}$

Предположим, что C' — еще один базис для V , причем : с S — обратимая матрица размера n × n . Теперь новое матричное представление симметричной билинейной формы имеет вид ${\displaystyle {\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S}$

${\displaystyle A'=S^{\mathsf {T}}AS.}$

Ортогональность и сингулярность

Два вектора v и w определяются как ортогональные относительно билинейной формы B , если B ( v , w ) = 0 , что для симметричной билинейной формы эквивалентно B ( w , v ) = 0 .

Радикал билинейной формы B — это набор векторов, ортогональных каждому вектору из V. То, что это подпространство V , следует из линейности B по каждому из его аргументов. При работе с матричным представлением A относительно определенного базиса v , представленный x , находится в радикале тогда и только тогда, когда

${\displaystyle Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.}$

Матрица A сингулярна тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Если W — подмножество V , то его ортогональное дополнение W ^⊥ — это набор всех векторов из V , которые ортогональны каждому вектору из W ; это подпространство V . Когда B невырожден, радикал B тривиален, а размерность W ^⊥ равна dim( W ^⊥ ) = dim( V ) − dim( W ) .

Ортогональный базис

Базис ортогонален относительно B тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.}$

Когда характеристика поля не равна двум, V всегда имеет ортогональный базис. Это можно доказать методом индукции .

Базис C ортогонален тогда и только тогда, когда матричное представление A является диагональной матрицей .

Сигнатура и закон инерции Сильвестра

В более общей форме закон инерции Сильвестра гласит, что при работе над упорядоченным полем числа диагональных элементов в диагонализированной форме матрицы, которые являются положительными, отрицательными и нулевыми соответственно, не зависят от выбранного ортогонального базиса. Эти три числа образуют подпись билинейной формы.

Реальный случай

Работая в пространстве над реальными объектами, можно пойти немного дальше. Пусть – ортогональный базис. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Мы определяем новую основу ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей только с 0, 1 и -1 на диагонали. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Сложный случай

При работе в пространстве над комплексными числами можно пойти и дальше, и это даже проще. Пусть – ортогональный базис. ${\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Определяем новую основу  : ${\displaystyle C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}}$

${\displaystyle e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}}$

Теперь новое матричное представление A будет диагональной матрицей, на диагонали которой будут только 0 и 1. Нули появятся тогда и только тогда, когда радикал нетривиален.

Ортогональные полярности

Пусть B — симметричная билинейная форма с тривиальным радикалом в пространстве V над полем K с характеристикой, отличной от 2. Теперь можно определить отображение из D( V ), множества всех подпространств V , в себя:

${\displaystyle \alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.}$

Это отображение является ортогональной полярностью на проективном пространстве PG( W ). И наоборот, можно доказать, что все ортогональные полярности индуцируются таким образом и что две симметричные билинейные формы с тривиальным радикалом индуцируют одну и ту же полярность тогда и только тогда, когда они равны с точностью до скалярного умножения.

Рекомендации

• Адкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992). Алгебра: подход через теорию модулей . Тексты для аспирантов по математике . Том. 136. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-97839-9. Збл  0768.00003.
• Милнор, Дж .; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . Том. 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3-540-06009-Х. Збл  0292.10016.
• Вайсштейн, Эрик В. «Симметричная билинейная форма». Математический мир .