Спираль Теодора

Многоугольная кривая из прямоугольных треугольников

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

В геометрии спираль Теодора (также называемая спиралью квадратного корня , спиралью Пифагора или улиткой Пифагора ) ^[1] представляет собой спираль, составленную из прямоугольных треугольников , расположенных ребром к краю. Он был назван в честь Феодора Киренина .

Строительство

Спираль начинается с равнобедренного прямоугольного треугольника, каждая сторона которого имеет единичную длину . Образуется еще один прямоугольный треугольник, автомедианный прямоугольный треугольник , в котором один катет является гипотенузой предыдущего треугольника (длина которого равна квадратному корню из 2 ), а другой катет имеет длину 1; длина гипотенузы этого второго треугольника равна квадратному корню из 3 . Затем процесс повторяется; й треугольник в последовательности — прямоугольный треугольник с длинами сторон 1 и гипотенузой . Например, 16-й треугольник имеет стороны размером 1 и гипотенузу . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$ ${\displaystyle 4={\sqrt {16}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

История и использование

Хотя все работы Теодора были утеряны, Платон поместил Теодора в свой диалог «Теэтет» , в котором рассказывается о его творчестве. Предполагается, что Теодор доказал, что все квадратные корни из неквадратных целых чисел от 3 до 17 иррациональны с помощью спирали Теодора. ^[2]

Платон не приписывает Теодору иррациональность квадратного корня из 2 , потому что это было хорошо известно до него. Теодор и Теэтет разделили рациональные и иррациональные числа на разные категории. ^[3]

Гипотенуза

Каждая из гипотенуз треугольников дает квадратный корень соответствующего натурального числа с . ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle h_{1}={\sqrt {2}}}$

Платон, которого обучал Теодор, задавался вопросом, почему Теодор остановился на . Принято считать, что причина в том, что гипотенуза принадлежит последнему треугольнику, не перекрывающему фигуру. ^[4] ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Перекрытие

В 1958 году Калеб Уильямс доказал, что никакие две гипотенузы никогда не совпадут, независимо от того, насколько далеко продолжается спираль. Кроме того, если стороны единичной длины вытянуть в прямую , они никогда не пройдут через другие вершины общей фигуры. ^{[4] [5]}

Расширение

Цветная вытянутая спираль Теодора со 110 треугольниками.

Теодор остановил свою спираль в треугольнике с гипотенузой . Если продолжить спираль до бесконечного числа треугольников, обнаружится еще много интересных характеристик. ${\displaystyle {\sqrt {17}}}$

Темпы роста

Угол

Если – угол го треугольника (или сегмента спирали), то: ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.}$$

^[1] ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).}$$

Сумма углов первых треугольников называется общим углом четвертого треугольника. Он растет пропорционально квадратному корню из , с ограниченным поправочным членом : ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{2}}$

$${\displaystyle \varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)}$$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }$$

ОЭИС : A105459

Треугольник или отрезок спирали

Радиус

Рост радиуса спирали в некотором треугольнике равен ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.}$$

Архимедова спираль

Спираль Теодора приближается к спирали Архимеда . ^[1] Подобно тому, как расстояние между двумя витками спирали Архимеда равно математической константе , по мере того как число витков спирали Теодора приближается к бесконечности , расстояние между двумя последовательными витками быстро приближается . ^[6] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

В следующей таблице показаны последовательные витки спирали, приближающиеся к пи:

Как показано, только после пятой обмотки расстояние с точностью до 99,97% приближается к . ^[1] ${\displaystyle \pi }$

Непрерывная кривая

Аналитическое продолжение спирали Теодора Филипа Дж. Дэвиса, включая расширение в направлении, противоположном началу координат (отрицательное число узлов).

Вопрос о том, как интерполировать дискретные точки спирали Теодора гладкой кривой, был предложен и на него ответил Филип Дж. Дэвис в 2001 году по аналогии с формулой Эйлера для гамма-функции как интерполянта для факториальной функции. Дэвис нашел функцию ^[7]

$${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )}$$

Лидером ^[8]Изерлесом^[9]функциональному уравнению

$${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),}$$

монотонностьаргументупо модулю^[10] ${\displaystyle f(0)=1,}$

Аналитическое продолжение непрерывной формы Дэвиса Спирали Теодора простирается в направлении, противоположном началу. ^[11]

На рисунке узлы исходной (дискретной) спирали Теодора показаны маленькими зелеными кружками. Синие — это те, которые добавлены в противоположном направлении спирали. На рисунке пронумерованы только узлы с целым значением полярного радиуса . Пунктирный круг в начале координат — это круг кривизны в точке . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$

Смотрите также

• Спираль Ферма
• Список спиралей

Рекомендации

1. Hahn, Гарри К. (2007), Упорядоченное распределение натуральных чисел по спирали квадратного корня , arXiv : 0712.2184
2. Нахин, Пол Дж. (1998), Воображаемая сказка: История , Princeton University Press, стр. 33, ISBN ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 0-691-02795-1
3. Платон; Дайд, Сэмюэл Уолтерс (1899), «Теэтет Платона», Дж. Маклехоз, стр. 86–87.
4. Лонг, Кейт, Урок корневой спирали, заархивировано из оригинала 11 апреля 2013 г. , получено 30 апреля 2008 г.
5. Тойфель, Эрих (1958), "Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke", Mathematisch-Physikalische Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität , 6 : 148–152, MR  0096160
6. Хан, Гарри К. (2008), Распределение натуральных чисел, делящихся на 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17, по спирали квадратного корня , arXiv : 0801.4422
7. Дэвис (2001), стр. 37–38.
8. Лидер, Джеффри Джеймс (1990), Обобщенная итерация Теодора (докторская диссертация), Университет Брауна, стр. 173, МР  2685516, ПроКвест  303808219
9. В приложении к (Дэвис 2001).
10. Гронау (2004). Альтернативный вывод приведен в Heuvers, Moak & Boursaw (2000).
11. Вальдфогель (2009).

дальнейшее чтение

• Дэвис, П.Дж. (2001), Спирали от Теодора к хаосу , AK Peters/CRC Press
• Гронау, Детлеф (март 2004 г.), «Спираль Теодора», The American Mathematical Monthly , 111 (3): 230–237, doi : 10.2307/4145130, JSTOR  4145130
• Хеверс, Дж.; Моак, Д.С.; Бурсо, Б. (2000), «Функциональное уравнение спирали квадратного корня», в Т.М. Рассиасе (ред.), Функциональные уравнения и неравенства , стр. 111–117.
• Вальдфогель, Йорг (2009), Аналитическое продолжение спирали Теодора (PDF)