Пифагорова тройка

Целые длины сторон прямоугольного треугольника

Анимация, демонстрирующая наименьшую пифагорову тройку: 3 ² + 4 ² = 5 ² .

Тройка Пифагора ^{состоит} из трёх натуральных чисел a , b и c , таких ^{, что} a2 + b2 = c2 . Такую тройку обычно пишут ( a , b , c ) , а хорошо известный пример — (3, 4, 5) . Если ( a , b , c ) является тройкой Пифагора, то таковой является и ( ka , kb , kc ) для любого положительного целого числа k . Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a , b и c взаимно просты (то есть не имеют общего делителя, большего 1). ^[1] Например, (3, 4, 5) является примитивной пифагоровой тройкой, а (6, 8, 10) — нет. Треугольник, стороны которого образуют тройку Пифагора, называется треугольником Пифагора и является прямоугольным .

Название происходит от теоремы Пифагора , утверждающей, что у каждого прямоугольного треугольника длины сторон удовлетворяют формуле ; таким образом, тройки Пифагора описывают три целые длины сторон прямоугольного треугольника. Однако прямоугольные треугольники с нецелыми сторонами не образуют пифагоровы тройки. Например, треугольник со сторонами и является прямоугольным треугольником, но не является тройкой Пифагора, поскольку не является целым числом. Более того, и не имеют целого общего кратного, поскольку иррациональны . ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Пифагоровы тройки известны с древних времен. Самая старая известная запись происходит от Плимптона 322 , вавилонской глиняной таблички примерно 1800 года до нашей эры, написанной в шестидесятеричной системе счисления. Он был обнаружен Эдгаром Джеймсом Бэнксом вскоре после 1900 года и продан Джорджу Артуру Плимптону в 1922 году за 10 долларов (сейчас это эквивалентно 175 долларам). ^{[2] [3]}

При поиске целочисленных решений уравнение a 2 ⁺ b 2 ⁼ c 2 ^{является} диофантовым уравнением . Таким образом, тройки Пифагора являются одними из старейших известных решений нелинейного диофантова уравнения.

Примеры

Диаграмма рассеяния ветвей ( a , b ) первых троек Пифагора с a и b меньше 6000. Отрицательные значения включены для иллюстрации параболических моделей. «Лучи» являются результатом того факта, что если ( a , b , c ) является пифагоровой тройкой, то так же является и (2 a , 2 b , 2 c ) , (3 a , 3 b , 3 c ) и, в более общем смысле, ( ka , kb , kc ) для любого положительного целого числа k .

Существует 16 примитивных пифагорейских троек чисел до 100:

Другие маленькие пифагорейские тройки, такие как (6, 8, 10), не указаны, поскольку они не примитивны; например (6, 8, 10) кратно (3, 4, 5).

Каждая из этих точек (с кратными им точками) образует расходящуюся линию на диаграмме рассеяния справа.

Кроме того, это оставшиеся примитивные пифагоровы тройки чисел до 300:

Создание тройки

Примитивные пифагорейские тройки. Нечетный участок a откладывается по горизонтальной оси, четный участок b — по вертикальной. Криволинейная сетка состоит из кривых постоянной m - n и постоянной m + n в формуле Евклида.

График троек, созданный по формуле Евклида, отображает часть конуса z ² = x ² + y ² . Постоянная m или n очерчивает часть параболы на конусе.

Формула Евклида ^[4] является фундаментальной формулой для генерации троек Пифагора по произвольной паре целых чисел m и n с m > n > 0 . Формула утверждает, что целые числа

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$

образуют пифагорову тройку. Тройка, порожденная формулой Евклида , примитивна тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты и один из них четен. Если и m , и n нечетны, то a , b и c будут четными, и тройка не будет примитивной; однако деление a , b и c на 2 даст примитивную тройку, когда m и n взаимно просты. ^[5]

Каждая примитивная тройка возникает (после замены a и b , если a четное) из единственной пары взаимно простых чисел m , n , одно из которых четное. Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек. Эта связь a , b и c с m и n из формулы Евклида упоминается в оставшейся части этой статьи.

Несмотря на создание всех примитивных троек, формула Евклида не создает все тройки — например, (9, 12, 15) не может быть сгенерировано с использованием целых чисел m и n . Это можно исправить, вставив в формулу дополнительный параметр k . Следующие действия будут генерировать все пифагоровы тройки однозначно:

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$

где m , n и k — положительные целые числа с m > n и с m и n взаимно простыми, а не оба нечетными.

То, что эти формулы порождают тройки Пифагора, можно проверить, разложив a ² + b ² с помощью элементарной алгебры и проверив, что результат равен c ² . Поскольку каждую тройку Пифагора можно разделить на некоторое целое число k , чтобы получить примитивную тройку, каждую тройку можно сгенерировать уникальным образом, используя формулу с m и n для создания ее примитивного аналога, а затем умножая ее на k , как в последнем уравнении.

Выбор m и n из определенных целочисленных последовательностей дает интересные результаты. Например, если m и n — последовательные числа Пелля , a и b будут отличаться на 1. ^[6]

Многие формулы для создания троек с определенными свойствами были разработаны со времен Евклида.

Доказательство формулы Евклида

То, что a, b, c удовлетворяет формуле Евклида, достаточно для того, чтобы треугольник был пифагорейским, очевидно из того факта, что для натуральных чисел m и n , m > n , a , b и c, заданные формулой, все положительны. целые числа, и из того, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$

Доказательство необходимости выражения а , b, с формулой Евклида для любой примитивной пифагоровой тройки состоит в следующем. ^[7] Все такие примитивные тройки можно записать в виде ( a , b , c ) , где a ² + b ² = c ² и a , b , c взаимно просты . Таким образом, a , b , c попарно взаимно просты (если простое число разделит два из них, оно будет вынуждено разделить и третье). Поскольку a и b взаимно просты, по крайней мере один из них нечетный, поэтому мы можем предположить, что a нечетное, поменяв местами, если необходимо, a и b . Это означает, что ^b четное , а c нечетное (если бы b было нечетным, c было бы четным, а c2 ^было бы кратно 4, тогда как a2 + ^b2 было бы конгруэнтно 2 по модулю 4, поскольку нечетный квадрат равен соответствует 1 по модулю 4).

Отсюда получаем и, следовательно , . Затем . Поскольку является рациональным, мы полагаем его равным в наименьших выражениях. Таким образом , будучи обратным . Затем решение ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$ ${\displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$

для и дает ${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

При полной редукции m и n взаимно просты и не могут быть оба четными. Если бы они оба были нечетными, числитель был бы кратен 4 (поскольку нечетный квадрат равен 1 по модулю 4), а знаменатель 2 mn не был бы кратен 4. Поскольку 4 было бы минимально возможным четным множителем в числителе, а 2 будет максимально возможным четным множителем в знаменателе, это будет означать, что a будет четным, несмотря на то, что оно определено как нечетное. Таким образом, одна из m и n нечетная, а другая четная, а числители двух дробей со знаменателем 2 mn нечетные. Таким образом, эти дроби полностью сокращаются (нечетное простое число, делящее этот знаменатель, делит одно из m и n , но не делит другое; следовательно, оно не делит m ² ± n ² ). Таким образом, можно приравнять числители к числителям и знаменатели к знаменателям, давая формулу Евклида ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$с m и n взаимно простыми и противоположной четности.

Более длинное, но более банальное доказательство дано в работах Маора (2007) ^[8] и Серпинского (2003). ^[9] Другое доказательство дано в Диофантовом уравнении § Пример пифагоровых троек как пример общего метода, применимого к каждому однородному диофантову уравнению второй степени.

Интерпретация параметров в формуле Евклида

Предположим, что стороны треугольника Пифагора имеют длины m ² − n ² , 2 mn и m ² + n ² , и предположим, что угол между катетом длины m ² − n ² и гипотенузой длины m ² + n ² равен обозначается как β . Тогда и полноугольные тригонометрические значения равны , , и . ^[10] ${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$

Вариант

Следующий вариант формулы Евклида иногда оказывается более удобным, поскольку он более симметричен по m и n (то же условие четности для m и n ).

Если m и n — два нечетных целых числа такие, что m > n , то

${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$

— три целых числа, образующих пифагорову тройку, которая примитивна тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты. И наоборот, каждая примитивная пифагорова тройка возникает (после замены a и b , если a четное) из уникальной пары m > n > 0 взаимно простых нечетных целых чисел.

Не меняя местами a и b

В изложении выше сказано, что все пифагоровы тройки однозначно получаются по формуле Евклида «после замены a и b , если a четное». Чтобы избежать этого обмена, формулу Евклида и приведенный выше вариант можно объединить следующим образом, что приведет к следующему результату.

Любую примитивную пифагорову тройку можно записать однозначно.

${\displaystyle a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),}$

где m и n — положительные взаимно простые целые числа, и если m и n нечетны, и в противном случае. Эквивалентно, если a нечетное, и если a четное. ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$

Элементарные свойства примитивных пифагоровых троек

Общие свойства

Свойства примитивной тройки Пифагора ( a , b , c ) с a < b < c (без указания того, какое из a или b четное, а какое нечетное) включают:

• ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}}$всегда правильный квадрат. ^[11] Поскольку это лишь необходимое, но не достаточное условие, его можно использовать для проверки того, не является ли данная тройка чисел пифагоровой тройкой, когда они не проходят тест. Например, каждая тройка {6, 12, 18} и {1, 8, 9} проходит тест на то, что ( c − a )( c − b )/2 является полным квадратом, но ни одна из них не является тройкой Пифагора.
• Когда тройка чисел a , b и c образует примитивную пифагорову тройку, тогда ( c минус четная катет) и половина ( c минус нечетная катет) являются идеальными квадратами; однако это не является достаточным условием, поскольку числа {1, 8, 9} проходят тест идеальных квадратов, но не являются тройкой Пифагора, поскольку 1 ² + 8 ² ≠ 9 ² .
• Не более одного из a , b , c является квадратом. ^[12]
• Площадь треугольника Пифагора не может быть квадратом ^{[13] : с. 17} или вдвое больше квадрата ^{[13] : с. 21} натурального числа.
• Ровно одно из a , b делится на 2 ( четное ), но никогда c . ^[14]
• Ровно одно из a , b делится на 3, но никогда c . ^{[15] [9] : 23–25}
• Ровно одно из a , b делится на 4, ^[9] , но никогда на c (потому что c никогда не бывает четным).
• Ровно одно из a , b , c делится на 5. ^[9]
• Наибольшее число, которое всегда делит abc , — 60. ^[16]
• Любое нечетное число вида 2 m +1 , где m — целое число и m >1 , может быть нечетной частью примитивной тройки Пифагора [PPT]. См. раздел «Почти равнобедренная PPT» ниже. Однако четной частью PPT могут быть только четные числа, делящиеся на 4. Это связано с тем, что формула Евклида для четного катета, приведенная выше, равна 2 mn , и один из m или n должен быть четным.
• Гипотенуза c представляет собой сумму двух квадратов. Для этого требуется, чтобы все его простые множители были простыми числами вида 4 n + 1 . ^[17] Следовательно, c имеет вид 4 n + 1 . Последовательность возможных чисел гипотенузы для PPT можно найти по адресу (последовательность A008846 в OEIS ).
• Площадь ( K = ab /2) — конгруэнтное число ^[18], делящееся на 6.
• В каждом треугольнике Пифагора радиус вписанной окружности и радиусы трёх вписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен r = n ( m − n ) , а радиусы вписанной окружности напротив сторон m ² − n ² , 2mn и гипотенузы m ² + n ² равны соответственно m ( м - п ) , п ( м + п ) и м ( м + п ) . ^[19]
• Что касается любого прямоугольного треугольника, обратная теорема Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе; следовательно, для примитивных троек диаметр описанной окружности равен m ² + n ² , а радиус описанной окружности равен половине этого диаметра и, таким образом, является рациональным, но нецелым (поскольку m и n имеют противоположную четность).
• Когда площадь треугольника Пифагора умножается на кривизну вписанной и трех вписанных в него окружностей, в результате получаются четыре положительных целых числа w > x > y > z соответственно. Целые числа — w , x , y , z удовлетворяют круговому уравнению Декарта . ^[20] Аналогично, радиус внешнего круга Содди любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке D , где ACBD — прямоугольник, ACB — прямоугольный треугольник, а AB — его гипотенуза. ^{[20] : с. 6}
• Только две стороны примитивной тройки Пифагора могут быть одновременно простыми, поскольку по формуле Евклида для образования примитивной тройки Пифагора одно из катетов должно быть составным и четным. ^[21] Однако только одна сторона может быть целым числом совершенной степени, потому что, если бы две стороны были целыми числами совершенной степени с равным показателем, это противоречило бы факту, что не существует целочисленных решений диофантового уравнения , с , и быть попарно взаимно простыми. ^[22] ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• Не существует треугольников Пифагора, у которых гипотенуза и один катет являются катетами другого треугольника Пифагора; это одна из эквивалентных форм теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике . ^{[13] : с. 14}
• Каждый примитивный треугольник Пифагора имеет уникальное отношение площади K к квадрату полупериметра s и определяется формулой [ ^23]

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• Ни один примитивный треугольник Пифагора не имеет целой высоты от гипотенузы; то есть каждый примитивный треугольник Пифагора неразложим. ^[24]
• Набор всех примитивных пифагоровых троек естественным образом образует корневое троичное дерево ; см. Дерево примитивных пифагорейских троек .
• Ни один из острых углов треугольника Пифагора не может иметь рациональное число градусов . ^[25] (Это следует из теоремы Нивена .)

Особые случаи

Кроме того, может гарантированно существовать специальные пифагоровы тройки с некоторыми дополнительными свойствами:

• Каждое целое число больше 2, которое не соответствует 2 по модулю 4 (другими словами, каждое целое число больше 2, которое не имеет формы 4 k + 2 ), является частью примитивной пифагоровой тройки. (Если целое число имеет вид 4 k , в формуле Евклида можно взять n = 1 и m = 2 k ; если целое число равно 2 k + 1 , можно взять n = k и m = k + 1. )
• Каждое целое число больше 2 является частью примитивной или непримитивной пифагоровой тройки. Например, целые числа 6, 10, 14 и 18 не являются частью примитивных троек, а являются частью непримитивных троек (6, 8, 10) , (14, 48, 50) и (18, 80, 82) .
• Существует бесконечно много пифагорейских троек, у которых гипотенуза и самый длинный катет отличаются ровно на единицу. Такие тройки обязательно примитивны и имеют вид (2 n + 1, 2 n ² + 2 n , 2 n ² + 2 n +1) . Это следует из формулы Евклида, когда он замечает, что из условия следует, что тройка примитивна и должна проверять ( m ² + n ² ) - 2 mn = 1 . Отсюда следует ( m – n ) ² = 1 и, следовательно, m = n + 1 . Таким образом, приведенная выше форма троек является результатом замены m на n + 1 в формуле Евклида.
• Существует бесконечно много примитивных пифагорейских троек, в которых гипотенуза и самый длинный катет отличаются ровно на два. Все они примитивны и получаются помещением n = 1 в формулу Евклида. В более общем смысле, для каждого целого числа k > 0 существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечетный катет отличаются на 2 k ² . Они получаются помещением n = k в формулу Евклида.
• Существует бесконечно много пифагорейских троек, в которых две ноги отличаются ровно на единицу. Например, 20 ² + 21 ² = 29 ² ; они генерируются по формуле Евклида, когда является сходящейся к . ${\displaystyle {\tfrac {m-n}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Для каждого натурального числа k существует k троек Пифагора с разными гипотенузами и одинаковой площадью.
• Для каждого натурального числа k существует не менее k различных примитивных пифагоровых троек с одной и той же катеткой a , где a — некоторое натуральное число (длина четной ножки равна 2 mn , и достаточно выбрать a со многими факторизациями, например a = 4 b , где b — произведение k различных нечетных простых чисел; в результате получается не менее 2 ^k различных примитивных троек). ^{[9] : 30}
• Для каждого натурального числа k существует не менее k различных троек Пифагора с одинаковой гипотенузой. ^{[9] : 31}
• Если c = p ^e — степень простого числа , то существует примитивная пифагорова тройка a ² + b ² = c ² тогда и только тогда, когда простое число p имеет вид 4 n + 1 ; эта тройка единственна с точностью до замены a и b .
• В более общем смысле, положительное целое число c является гипотенузой примитивной пифагоровой тройки тогда и только тогда, когда каждый простой множитель c конгруэнтен 1 по модулю 4 ; то есть каждый простой множитель имеет вид 4 n + 1 . В этом случае количество примитивных троек Пифагора ( a , b , c ) с a < b равно 2 ^{k −1} , где k — количество различных простых делителей c . ^[26]
• Существует бесконечно много пифагорейских троек с квадратными числами как для гипотенузы c , так и для суммы катетов a + b . По Ферма, наименьшая такая тройка ^[27] имеет стороны a = 4 565 486 027 761 ; б = 1 061 652 293 520 ; и с = 4 687 298 610 289 . Здесь a + b = 2 372 159 ² и c = 2 165 017 ² . Это генерируется по формуле Евклида со значениями параметров m = 2 150 905 и n = 246 792 .
• Существуют непримитивные треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы . ^{[28] [29]} Такие треугольники Пифагора известны как разложимые , поскольку их можно разделить по этой высоте на два отдельных и меньших треугольника Пифагора. ^[24]

Геометрия формулы Евклида

Рациональные точки на единичном круге

3,4,5 отображает точку x,y (4/5,3/5) на единичном круге.

Рациональные точки окружности в стереографической проекции соответствуют рациональным точкам прямой.

Формула Евклида для тройки Пифагора.

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$

можно понять с точки зрения геометрии рациональных точек единичного круга (Траутман, 1998).

Фактически, точка на декартовой плоскости с координатами ( x , y ) принадлежит единичному кругу, если x ² + y ² = 1 . Точка является рациональной , если x и y — рациональные числа , то есть если существуют взаимно простые целые числа a , b , c такие, что

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$

Умножив оба члена на c ² , можно увидеть, что рациональные точки на окружности находятся во взаимно однозначном соответствии с примитивными пифагорейскими тройками.

Единичный круг также может быть определен параметрическим уравнением

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Формула Евклида для троек Пифагора и обратное соотношение t = y /( x + 1) означают, что, за исключением (−1, 0) , точка ( x , y ) на окружности является рациональной тогда и только тогда, когда соответствующее значение t — рациональное число. Обратите внимание, что t = y /( x + 1) = b /( a + c ) = n / m также является тангенсом половины угла , противоположного стороне треугольника длиной b .

Стереографический подход

Стереографическая проекция единичного круга на ось x . Дана точка P на единичной окружности, проведем линию от P до точки N = (0, 1) ( северный полюс ). Точка P ′, где линия пересекает ось x , является стереографической проекцией P . И наоборот, начиная с точки P ′ на оси x и рисуя линию от P ′ до N , обратная стереографическая проекция — это точка P , где линия пересекает единичный круг.

Существует соответствие между точками единичного круга с рациональными координатами и примитивными пифагорейскими тройками. На этом этапе формулы Евклида можно вывести либо методами тригонометрии, либо , что то же самое, с помощью стереографической проекции .

Для стереографического подхода предположим, что P ′ — точка на оси x с рациональными координатами.

${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$

Тогда с помощью базовой алгебры можно показать, что точка P имеет координаты

${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$

Это устанавливает, что каждая рациональная точка оси x переходит в рациональную точку единичного круга. Обратное, что каждая рациональная точка единичного круга происходит из такой точки оси x , следует из применения обратной стереографической проекции. Предположим, что P ( x , y ) — точка единичного круга с рациональными числами x и y . Тогда точка P ′, полученная стереографической проекцией на ось x , имеет координаты

${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$

что рационально.

С точки зрения алгебраической геометрии , алгебраическое многообразие рациональных точек на единичной окружности бирационально аффинной прямой над рациональными числами. Таким образом, единичная окружность называется рациональной кривой , и именно этот факт обеспечивает явную параметризацию точек (рационального числа) на ней с помощью рациональных функций.

Треугольники Пифагора в двумерной решетке

Двумерная решетка — это регулярный массив изолированных точек, где, если какая-либо точка выбрана в качестве декартова начала координат (0, 0), то все остальные точки находятся в точках ( x , y ) , где x и y варьируются во всех положительных и отрицательных целых числах. . Любой треугольник Пифагора с тройкой ( a , b , c ) можно нарисовать внутри двумерной решетки с вершинами в координатах (0, 0) , ( a , 0) и (0, b ) . Число точек решетки, лежащих строго внутри границ треугольника, определяется формулой   ^[30] для примитивных пифагорейских троек, это количество внутренних решеток равно   площади (по теореме Пика, равной на единицу меньше, чем количество внутренних решеток плюс половина количества граничных решеток). равно    . ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};}$ ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$

Первое появление двух примитивных пифагорейских троек, имеющих одну и ту же площадь, происходит с треугольниками со сторонами (20, 21, 29), (12, 35, 37) и общей площадью 210 (последовательность A093536 в OEIS ). Первое появление двух примитивных троек Пифагора с одинаковым количеством внутренних решеток происходит с (18108, 252685, 253333), (28077, 162964, 165365) и количеством внутренних решеток 2287674594 (последовательность A225760 в OEIS ). Были найдены три примитивные тройки Пифагора, занимающие одну и ту же площадь: (4485, 5852, 7373) , (3059, 8580, 9109) , (1380, 19019, 19069) с площадью 13123110. На данный момент не существует набора из трех примитивных троек Пифагора. Было обнаружено, что у них одинаковое количество внутренних решеток.

Перечисление примитивных пифагорейских троек

По формуле Евклида все примитивные тройки Пифагора могут быть созданы из целых чисел и с , нечетным и . Следовательно, существует отображение 1 к 1 рациональных чисел (в низших терминах) в примитивные пифагоровы тройки, где находится в интервале и нечетно. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle m+n}$

Обратное отображение примитивной тройки где в рациональное достигается путем изучения двух сумм и . Одна из этих сумм будет квадратом, который можно приравнять, а другая будет равна удвоенному квадрату, который можно приравнять . Тогда можно определить рациональное . ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c>b>a>0}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle (m+n)^{2}}$ ${\displaystyle 2m^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$

Чтобы перечислить примитивные пифагоровы тройки, рациональное число можно выразить в виде упорядоченной пары и отобразить в целое число с помощью функции сопряжения, такой как функция сопряжения Кантора . Пример можно увидеть по адресу (последовательность A277557 в OEIS ). Начинается ${\displaystyle (n,m)}$

${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$и дает обоснования

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots }$они, в свою очередь, порождают примитивные тройки

${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$

Спиноры и модульная группа

Тройки Пифагора также могут быть закодированы в квадратную матрицу вида

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}$

Матрица такого вида симметрична . Кроме того , определитель X равен

${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,}$

который равен нулю именно тогда, когда ( a , b , c ) является тройкой Пифагора. Если X соответствует тройке Пифагора, то как матрица она должна иметь ранг 1.

Поскольку X симметрично, из результата линейной алгебры следует , что существует вектор-столбец ξ = [ m n ] ^T такой, что внешнее произведение

выполняется, где T обозначает транспонирование матрицы . Поскольку ξ и -ξ образуют одну и ту же тройку Пифагора, вектор ξ можно считать спинором ( для группы Лоренца SO(1, 2)). Говоря абстрактно, формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение спинора с целочисленными элементами на самого себя, как в ( 1 ).

Модульная группа Γ представляет собой набор матриц размера 2 × 2 с целыми элементами.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

с определителем, равным единице: αδ − βγ = 1 . Этот набор образует группу , поскольку обратная матрица из Γ снова находится в Γ, как и произведение двух матриц из Γ. Модульная группа действует на совокупности всех целочисленных спиноров. Более того, группа транзитивна на наборе целочисленных спиноров с относительно простыми элементами. Ибо если [ m n ] ^T имеет относительно простые элементы, то

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$

где u и v выбираются (по алгоритму Евклида ) так, что mu + nv = 1 .

Воздействуя на спинор ξ в ( 1 ), действие Γ переходит к действию на пифагоровы тройки, если учесть тройки с возможными отрицательными компонентами. Таким образом, если A — матрица из Γ , то

приводит к действию на матрицу X в ( 1 ). Это не дает четко определенного действия над примитивными тройками, поскольку может превратить примитивную тройку в импримитивную. На этом этапе удобно (согласно Траутману 1998) называть тройку ( a , b , c ) стандартной , если c > 0 и либо ( a , b , c ) относительно просты, либо ( a /2, b /2, c /2) относительно простые с нечетным /2 . Если спинор [ m n ] ^T имеет относительно простые элементы, то соответствующая тройка ( a , b , c ), определяемая ( 1 ), является стандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек.

Альтернативно, ограничьте внимание теми значениями m и n , для которых m нечетно, а n четно. Пусть подгруппа Γ(2) группы Γ является ядром группового гомоморфизма

${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$

где SL(2, Z2 ) — специальная линейная группа над конечным полем Z2 _целых чисел по модулю ₂ . Тогда Γ(2) — группа унимодулярных преобразований, сохраняющих четность каждого элемента. Таким образом, если первая запись ξ нечетная, а вторая четная, то то же самое верно и для A ξ для всех A ∈ Γ(2) . Фактически, под действием ( 2 ) группа Γ(2) действует транзитивно на наборе примитивных пифагоровых троек (Альперин 2005).

Группа Γ(2) — это свободная группа , генераторами которой являются матрицы

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}$

Следовательно, каждая примитивная пифагорова тройка может быть получена единственным способом как произведение копий матриц U и  L .

Родительско-детские отношения

Согласно результату Берггрена (1934), все примитивные пифагоровы тройки могут быть получены из треугольника (3, 4, 5) с помощью трех линейных преобразований T ₁ , T ₂ , T ₃ ниже, где a , b , c — стороны из тройки:

Другими словами, каждая примитивная тройка будет «родителем» для трех дополнительных примитивных троек. Начиная с начального узла с a = 3 , b = 4 и c = 5 , операция T ₁ создает новую тройку

(3 – (2×4) + (2×5), (2×3) – 4 + (2×5), (2×3) – (2×4) + (3×5)) = (5 , 12, 13),

и аналогично T ₂ и T ₃ образуют тройки (21, 20, 29) и (15, 8, 17).

Линейные преобразования Т1 _, Т2 _и Т3 _имеют геометрическую интерпретацию на языке квадратичных форм . Они тесно связаны (но не равны) с отражениями, генерирующими ортогональную группу x ² + y ² - z ² над целыми числами. ^[31]

Связь с целыми гауссовыми числами

Альтернативно, формулы Евклида можно проанализировать и доказать, используя целые числа Гаусса . ^[32] Целые числа Гаусса — это комплексные числа вида α = u + vi , где u и v — обычные целые числа , а i — квадратный корень из отрицательного . Единицами гауссовских целых чисел являются ±1 и ±i . Обычные целые числа называются рациональными целыми числами и обозначаются буквой « Z ». Гауссовы целые числа обозначаются как Z [ i ] . Правую часть теоремы Пифагора можно разложить на целые гауссовы числа:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$

Примитивная тройка Пифагора — это тройка, в которой a и b взаимно просты , т. е. у них нет общих простых делителей в целых числах. Для такой тройки либо a , либо b четное, а другое нечетное; отсюда следует, что c также нечетно.

Каждый из двух множителей z  := a + bi и z*  := a − bi примитивной пифагоровой тройки равен квадрату гауссового целого числа. Это можно доказать, используя свойство, согласно которому каждое гауссово целое число можно однозначно разложить на гауссовы простые числа с точностью до единиц . ^[33] (Эта уникальная факторизация следует из того факта, что, грубо говоря, на них можно определить версию алгоритма Евклида .) Доказательство состоит из трех шагов. Во-первых, если a и b не имеют общих простых множителей в целых числах, то они также не имеют общих простых множителей в целых гауссовых числах. (Предположим, a = gu и b = gv с целыми гауссовыми числами g , u и v и g не единицей. Тогда u и v лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Все гауссовские целые числа на такой линии являются целыми числами, кратными некоторому гауссовскому целому числу. h Но тогда целое число gh ≠ ±1 делит и a , и b .) Во-вторых, отсюда следует, что z и z* также не имеют общих простых делителей в гауссовых целых числах. Ведь если бы они это сделали, то их общий делитель δ также делил бы z + z* = 2 a и z − z* = 2 ib . Поскольку a и b взаимно просты, это означает, что δ делит  2 = (1 + i)(1 - i) = i(1 - i) ² . Из формулы c ² = zz* это, в свою очередь, означает, что c четно, что противоречит гипотезе примитивной пифагоровой тройки. В-третьих, поскольку c ² — квадрат, каждое гауссово простое число при его факторизации удваивается, т. е. появляется четное число раз. Поскольку у z и z* нет общих простых делителей, это удвоение справедливо и для них. Следовательно, z и z* — квадраты.

Таким образом, первый фактор можно записать

${\displaystyle a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.}$

Действительная и мнимая части этого уравнения дают две формулы:

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}}$

Для любой примитивной тройки Пифагора должны существовать целые числа m и n , такие, что эти два уравнения удовлетворяются. Следовательно, каждая пифагорова тройка может быть получена из некоторого выбора этих целых чисел.

Как идеальные квадратные гауссовы целые числа

Если мы рассмотрим квадрат гауссовского целого числа, мы получим следующую прямую интерпретацию формулы Евклида как представления идеального квадрата гауссовского целого числа.

${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$

Используя тот факт, что гауссовы целые числа являются евклидовой областью и что для гауссовского целого числа p всегда является квадратом, можно показать, что пифагорова тройка соответствует квадрату простого гауссовского целого числа, если гипотенуза проста. ${\displaystyle |p|^{2}}$

Если целое число Гаусса не является простым, то оно является произведением двух целых чисел Гаусса p и q с целыми числами и . Поскольку величины умножаются в целых числах Гаусса, произведение должно быть , которое при возведении в квадрат для нахождения пифагоровой тройки должно быть составным. Противоположение завершает доказательство. ${\displaystyle |p|^{2}}$ ${\displaystyle |q|^{2}}$ ${\displaystyle |p||q|}$

Распределение троек

Диаграмма рассеяния ножек ( a , b ) первых пифагорейских троек с a и b меньше 4500.

Имеется ряд результатов о распределении пифагоровых троек. На диаграмме рассеяния уже виден ряд очевидных закономерностей. Всякий раз, когда на графике появляются ножки ( a , b ) примитивной тройки, на графике также должны появиться все целые числа, кратные ( a , b ) , и это свойство приводит к появлению линий, исходящих от начала координат на диаграмме.

Внутри разброса находятся наборы параболических паттернов с высокой плотностью точек и всеми их фокусами в начале координат, раскрывающимися во всех четырех направлениях. Различные параболы пересекаются по осям и, кажется, отражаются от оси под углом падения 45 градусов, при этом третья парабола входит перпендикулярно. Внутри этого квадранта каждая дуга с центром в начале координат показывает ту часть параболы, которая лежит между ее вершиной и пересечением с полураскрытой прямой кишкой .

Эти закономерности можно объяснить следующим образом. Если – целое число, то ( a , , ) – пифагорова тройка. (На самом деле каждая тройка Пифагора ( a , b , c ) может быть записана таким образом с целым числом n , возможно, после замены a и b , поскольку и a и b не могут быть одновременно нечетными.) Таким образом, тройки Пифагора лежат на кривых, заданных формулами , то есть параболы, отраженные от оси a , и соответствующие кривые с a и b поменялись местами. Если a варьируется для данного n (т.е. по данной параболе), целые значения b встречаются относительно часто, если n является квадратом или небольшим кратным квадрату. Если несколько таких значений лежат близко друг к другу, соответствующие параболы примерно совпадают, и тройки группируются в узкую параболическую полосу. Например, 38 ² = 1444 , 2 × 27 ² = 1458 , 3 × 22 ² = 1452 , 5 × 17 ² = 1445 и 10 × 12 ² = 1440 ; на диаграмме рассеяния хорошо видна соответствующая параболическая полоса в районе n ≈ 1450 . ${\displaystyle a^{2}/4n}$ ${\displaystyle |n-a^{2}/4n|}$ ${\displaystyle n+a^{2}/4n}$ ${\displaystyle n=(b+c)/2}$ ${\displaystyle b=|n-a^{2}/4n|}$

Описанные выше угловые свойства непосредственно следуют из функциональной формы парабол. Параболы отражаются от оси a при a = 2 n , а производная b по a в этой точке равна –1; следовательно, угол падения равен 45°. Поскольку кластеры, как и все тройки, повторяются с целыми числами, кратными целым числам, значение 2 n также соответствует кластеру. Соответствующая парабола пересекает ось b под прямым углом при b = 2 n , и, следовательно, ее отражение при перестановке a и b пересекает ось a под прямым углом при a = 2 n , именно там, где парабола для n отражается при ось а . (То же самое, конечно, справедливо и для поменянных местами a и b .)

Альберт Фесслер и другие дают представление о значении этих парабол в контексте конформных отображений. ^{[34] [35]}

Особые случаи и связанные с ними уравнения

Платоническая последовательность

Случай n = 1 более общей конструкции пифагоровых троек известен давно. Прокл в своем комментарии к 47-му положению первой книги « Начал» Евклида описывает его следующим образом:

Некоторые методы открытия треугольников такого рода передаются из поколения в поколение, один из которых они относят к Платону, а другой к Пифагору . (Последний) начинается с нечетных чисел. Ибо оно делает нечетное число меньшей из сторон прямого угла; затем он берет его квадрат, вычитает единицу и делает половину разницы большей из сторон прямого угла; наконец, оно добавляет к этому единицу и образует, таким образом, оставшуюся сторону — гипотенузу.
...Ибо метод Платона рассуждает четными числами. Он берет заданное четное число и делает его одной из сторон под прямым углом; затем, разделив это число пополам и возведя половину в квадрат, он прибавляет единицу к квадрату, чтобы образовать гипотенузу, и вычитает единицу из квадрата, чтобы образовать другую сторону вокруг прямого угла. ... Таким образом образовался тот же треугольник, что и получен другим методом.

В форме уравнения это выглядит так:

а нечетно (Пифагор, ок. 540 г. до н. э.):

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$

а четно (Платон, ок. 380 г. до н. э.):

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$

Можно показать, что все пифагоровы тройки могут быть получены с соответствующим изменением масштаба из основной платоновской последовательности ( a , ( a ² − 1)/2 и ( a ² + 1)/2 ), позволяя a принимать нецелые числа. рациональные ценности. Если a заменить в последовательности дробью m / n , результат будет равен «стандартному» тройному генератору (2 mn , m ² − n ² , m ² + n ² ) после изменения масштаба. Отсюда следует, что каждая тройка имеет соответствующее рациональное значение , которое можно использовать для создания подобного треугольника (с теми же тремя углами и сторонами в тех же пропорциях, что и исходный). Например, платоновский эквивалент (56, 33, 65) генерируется формулой a = m / n = 7/4 как ( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = ( 56/32, 33/32, 65/32) . Сама последовательность Платона может быть получена ^{[ необходимы пояснения ]} , следуя шагам «разделения квадрата», описанным у Диофанта II.VIII .

Уравнение Якоби–Мэддена

Уравнение,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

эквивалентно специальной тройке Пифагора,

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$

Существует бесконечное количество решений этого уравнения, поскольку для решения переменных используется эллиптическая кривая . Маленькие такие,

${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$

Равные суммы двух квадратов

Один из способов генерации решений состоит в параметризации a, b, c, d целыми числами m, n, p, q следующим образом: ^[36] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$

Равные суммы двух четвертых степеней

Даны два набора троек Пифагора.

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

задача о нахождении равных произведений негипотенузной стороны и гипотенузы,

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

Легко видеть, что это эквивалентно уравнению

${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$

и впервые было решено Эйлером как . Поскольку он показал, что это рациональная точка эллиптической кривой , то существует бесконечное количество решений. Фактически, он также нашел параметризацию полинома 7-й степени. ${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134}$

Теорема Декарта о круге

В случае теоремы Декарта о круге , когда все переменные являются квадратами,

${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

Эйлер показал, что это эквивалентно трем одновременным тройкам Пифагора:

${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$

Существует также бесконечное число решений, а для частного случая , когда уравнение упрощается до: ${\displaystyle a+b=c}$

${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$

с малыми решениями как и могут быть решены как бинарные квадратичные формы . ${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Ни одна пифагорова тройка не является равнобедренной , поскольку отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √ 2 , но √ 2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел .

Однако существуют прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины сторон, не являющихся гипотенузами, отличаются на единицу, например:

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$

и бесконечное количество других. Они могут быть полностью параметризованы как:

${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$

где { x, y } — решения уравнения Пелля . ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

Если a , b , c являются сторонами этого типа примитивной тройки Пифагора (PPT), то решение уравнения Пелля дается рекурсивной формулой

${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$с и ${\displaystyle a_{1}=3}$ ${\displaystyle a_{2}=20}$

${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$с и ${\displaystyle b_{1}=4}$ ${\displaystyle b_{2}=21}$

${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$с и . ^[37] ${\displaystyle c_{1}=5}$ ${\displaystyle c_{2}=29}$

Эта последовательность PPT образует центральный ствол (ствол) корневого троичного дерева PPT.

Когда более длинная сторона, не являющаяся гипотенузой, и гипотенуза отличаются на единицу, например, в

${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

тогда полное решение для PPT a , b , c будет

${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$

и

${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

где целое число — генерирующий параметр. ${\displaystyle m>0}$

Это показывает, что все нечетные числа (больше 1) появляются в этом типе почти равнобедренного PPT. Эта последовательность PPT образует правый внешний ствол корневого троичного дерева PPT.

Еще одним свойством этого типа почти равнобедренного PPT является то, что стороны связаны так, что

${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

для некоторого целого числа . Или, другими словами , делится на такие, как в ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$. ^[38]

Числа Фибоначчи в тройках Пифагора

Начиная с 5, каждое второе число Фибоначчи — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми сторонами или, другими словами, наибольшее число в тройке Пифагора, полученное по формуле

$${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$

(3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

Средняя сторона каждого из этих треугольников представляет собой сумму трёх сторон предыдущего треугольника. ^[39]

Обобщения

Существует несколько способов обобщить понятие пифагорейских троек.

Пифагорейский n -кортеж

Выражение

${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$

является пифагорейским n -кортежом для любого набора натуральных чисел ( m ₁ , ..., m _n ) с m²
₁> м²
₂+ ... + м²
_н. Пифагорейский набор n можно сделать примитивным, разделив его значения на наибольший общий делитель.

Более того, любой примитивный пифагоров n -кортеж a²
₁+ ... + а²
_н= c ² можно найти с помощью этого подхода. Используйте ( m ₁ , ..., m _n ) = ( c + a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) , чтобы получить пифагорейский n -кортеж по приведенной выше формуле и разделите его на наибольший общий целочисленный делитель, что составляет 2 м ₁ знак равно 2( c + а ₁ ) . Деление на наибольший общий делитель этих ( m ₁ , ..., m _n ) значений дает тот же самый примитивный пифагорейский n -кортеж; и существует взаимно однозначное соответствие между кортежами взаимно простых положительных целых чисел ( m ₁ , ..., m _n ) , удовлетворяющих m²
₁> м²
₂+ ... + м²
_ни примитивные пифагорейские n -кортежи.

Примеры связи между взаимно простыми значениями и примитивными пифагорейскими n -кортежами включают: ^[40] ${\displaystyle {\vec {m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$

Последовательные квадраты

Поскольку сумма F ( k , m ) k последовательных квадратов , ^{начинающихся} с m2 , определяется формулой ^[41]

${\displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

можно найти значения ( k , m ) так, что F ( k , m ) является квадратом, например квадратом Хиршхорна, где количество терминов само по себе является квадратом, ^[42]

${\displaystyle m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}}$

и v ≥ 5 — любое целое число, не кратное 2 или 3. Для наименьшего случая v = 5 , следовательно, k = 25 , это дает хорошо известную задачу Лукаса о укладке пушечных ядер :

${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}}$

факт, который связан с решеткой Лича .

Кроме того, если в пифагоровом n -кортеже ( n ≥ 4 ) все слагаемые последовательны , кроме одного, можно использовать уравнение ^[43]

${\displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

Поскольку вторая степень p сокращается, это только линейно и легко решается, как будто k , m следует выбирать так, чтобы p было целым числом, с небольшим примером: k = 5 , m = 1 , что дает: ${\displaystyle p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

Таким образом, один из способов генерации пифагорейских n -кортежей состоит в использовании для различных x ^[44]

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$

где q = n –2 и где

${\displaystyle p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$

Последняя теорема Ферма

Обобщением концепции троек Пифагора является поиск троек натуральных чисел a , b и c , таких, что a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ , для некоторого n, строго большего 2. Пьер де Ферма в 1637 году утверждал, что нет такая тройка существует, утверждение, которое стало известно как Великая теорема Ферма, потому что для доказательства или опровержения потребовалось больше времени, чем для любой другой гипотезы Ферма. Первое доказательство было дано Эндрю Уайлсом в 1994 году.

n - 1 или n n- й степени, сумма которых равна n- й степени

Другое обобщение заключается в поиске последовательностей из n + 1 положительных целых чисел, для которых n -я степень последнего является суммой n- й степени предыдущих членов. Наименьшие последовательности для известных значений n :

• п = 3: {3, 4, 5; 6}.
• п = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• п = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
• п = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
• п = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

Для случая n = 3 , который называется кубикой Ферма , существует общая формула, дающая все решения. ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$

Немного другое обобщение позволяет сумме ( k + 1) n- й степени равняться сумме ( n - k ) n- й степени. Например:

• ( n = 3 ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , ставшее известным благодаря воспоминаниям Харди о разговоре с Рамануджаном о том, что число 1729 является наименьшим числом, которое можно выразить в виде суммы двух кубов двумя разными способами. .

Также могут существовать n - 1 положительные целые числа, сумма n- х степеней которых равна n- й степени (хотя, согласно Великой теореме Ферма , не для n = 3) ; это контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней . Самые маленькие известные контрпримеры: ^{[45] [46] [16]}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

Тройки геронова треугольника

Геронов треугольник обычно определяется как треугольник с целыми сторонами, площадь которого также является целым числом. Длины сторон такого треугольника образуют тройку Герона ( a, b, c ) при a ≤ b ≤ c . Каждая тройка Пифагора является тройкой Герона, поскольку хотя бы одна из ног a , b должна быть четной в тройке Пифагора, поэтому площадь ab /2 является целым числом. Однако не каждая тройка Герона является тройкой Пифагора, как показывает пример (4, 13, 15) с площадью 24.

Если ( a , b , c ) — тройка Герона, то же самое относится и к ( ka , kb , kc ) , где k — любое положительное целое число; его площадь будет целым числом, которое в ² раза превышает целочисленную площадь треугольника ( a , b , c ) . Геронова тройка ( a , b , c ) является примитивной при условии, что a , b , c взаимно просты . (К примитивным пифагоровым тройкам также применимо более строгое утверждение о том, что они попарно взаимно просты, но к примитивным героновым треугольникам более сильное утверждение не всегда справедливо, как, например, в случае (7, 15, 20) .) Вот несколько простейших примитивных треугольников. Героновы тройки, не являющиеся тройками Пифагора:

(4, 13, 15) площадью 24

(3, 25, 26) площадью 36

(7, 15, 20) площадью 42

(6, 25, 29) площадью 60

(11, 13, 20) площадью 66

(13, 14, 15) площадью 84

(13, 20, 21) площадью 126

По формуле Герона дополнительным условием для того, чтобы тройка натуральных чисел ( a , b , c ) с a < b < c была героновой, является то, что

( а ² + б ² + c ² ) ² - 2( а ⁴ + б ⁴ + c ⁴ )

или эквивалентно

2( а ² б ² + а ² c ² + б ² c ² ) - ( а ⁴ + б ⁴ + c ⁴ )

быть ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Приложение к криптографии

Примитивные тройки Пифагора использовались в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей. ^[47]

Смотрите также

• Булева задача о тройках Пифагора
• Конгруум
• Диофант II.VIII
• тройка Эйзенштейна
• Эйлеров кирпич
• Геронов треугольник
• Теорема Гильберта 90
• Целочисленный треугольник
• Модульная арифметика
• Негипотенузное число
• Плимптон 322
• Пифагорово простое число
• Пифагорова четверка
• Квадрик
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическое тождество

Примечания

1. Лонг (1972, стр. 48)
2. 1634–1699: Маккаскер, Джей-Джей (1997). Сколько это в реальных деньгах? Исторический индекс цен для использования в качестве дефлятора денежных ценностей в экономике Соединенных Штатов: Addenda et Corrigenda (PDF) . Американское антикварное общество .1700–1799: Маккаскер, Джей-Джей (1992). Сколько это в реальных деньгах? Исторический индекс цен для использования в качестве дефлятора денежных ценностей в экономике Соединенных Штатов (PDF) . Американское антикварное общество .1800 – настоящее время: Федеральный резервный банк Миннеаполиса. «Индекс потребительских цен (оценка) 1800–» . Проверено 28 мая 2023 г.
3. Робсон, Элеонора (2002), «Слова и изображения: новый свет на Плимптон 322» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (2): 105–120, doi : 10.1080/00029890.2002.11919845, S2CID  33907668
4. Джойс, DE (июнь 1997 г.), «Книга X, Предложение XXIX», Элементы Евклида , Университет Кларка
5. Митчелл, Дуглас В. (июль 2001 г.), «Альтернативная характеристика всех примитивных пифагорейских троек», The Mathematical Gazette , 85 (503): 273–5, doi : 10.2307/3622017, JSTOR  3622017, S2CID  126059099
6. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A000129 (числа Пелла)», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
7. Борегар, Раймон А.; Сурьянараян, Э.Р. (2000), «Параметрическое представление примитивных пифагорейских троек», в книге Нельсена, Роджера Б. (редактор), « Доказательства без слов: дополнительные упражнения по визуальному мышлению» , том. II, Математическая ассоциация Америки , стр. 120, ISBN 978-0-88385-721-2, OCLC  807785075
8. Маор, Эли , Теорема Пифагора , Princeton University Press, 2007: Приложение B.
9. Серпинский, Вацлав (2003), Треугольники Пифагора , Дувр, стр. iv – vii, ISBN 978-0-486-43278-6
10. Хьюстон, Дэвид (1993), «Тройки Пифагора с помощью формул двойного угла», Нельсен, Роджер Б. (редактор), « Доказательства без слов: упражнения по визуальному мышлению» , Математическая ассоциация Америки, стр. 141, ISBN 978-0-88385-700-7, OCLC  29664480
11. Посаментье, Альфред С. (2010), Теорема Пифагора: история ее силы и красоты, Prometheus Books, стр. 156, ISBN 9781616141813.
12. Об отсутствии решений, в которых a и b являются квадратными, первоначально доказал Ферма, см. Koshy, Thomas (2002), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, p. 545, ISBN 9780124211711. О другом случае, когда c является одним из квадратов, см. Стиллвелл, Джон (1998), Числа и геометрия, Тексты для студентов по математике , Springer, p. 133, ISBN 9780387982892.
13. Кармайкл, Роберт Д. (1915), Диофантовый анализ, John Wiley & Sons
14. Серпинский 2003, стр. 4–6.
15. Труды Юго-восточной конференции по комбинаторике, теории графов и вычислениям, том 20, Utilitas Mathematica Pub, 1990, стр. 141, ISBN 9780919628700
16. Макхейл, Дес ; ван ден Бош, Кристиан (март 2012 г.), «Обобщение результата о тройках Пифагора», Mathematical Gazette , 96 : 91–96, doi : 10.1017/S0025557200004010 , S2CID  124096076
17. Салли, Джудит Д. (2007), Корни исследования: вертикальное развитие математических проблем, Американское математическое общество, стр. 74–75, ISBN 9780821872673.
18. Это следует непосредственно из того факта, что ab делится на двенадцать, а также из определения конгруэнтных чисел как площадей прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. См., например , Коблиц, Нил (1993), «Введение в эллиптические кривые и модульные формы», «Тексты для аспирантов по математике», том. 97, Спрингер, с. 3, ISBN 9780387979663.
19. Барагар, Артур (2001), Обзор классической и современной геометрии: с помощью компьютера , Прентис Холл, Упражнение 15.3, с. 301, ISBN 9780130143181
20. Бернхарт, Фрэнк Р.; Прайс, Х. Ли (2005), формула Герона, круги Декарта и треугольники Пифагора , arXiv : math/0701624
21. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A237518 (наименьшие простые числа, которые вместе с prime (n) образуют геронов треугольник)», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
22. Х. Дармон и Л. Мерел. Факторы намотки и некоторые варианты Великой теоремы Ферма, Дж. Рейн Ангью. Математика. 490 (1997), 81–100.
23. Розенберг, Стивен; Спиллейн, Майкл; Вульф, Дэниел Б. (май 2008 г.), «Треугольники Херона и пространства модулей», Учитель математики , 101 : 656–663, doi : 10.5951/MT.101.9.0656
24. Ю, Пол (2008), Треугольники Херона, которые не могут быть разложены на два целых прямоугольных треугольника (PDF) , 41-е собрание Флоридской секции Математической ассоциации Америки, стр. 17
25. Вайсштейн, Эрик В. , «Рациональный треугольник», MathWorld
26. Екутиэли, Амнон (2023), «Тройки Пифагора, комплексные числа, абелевы группы и простые числа», The American Mathematical Monthly , 130 (4): 321–334, arXiv : 2101.12166 , doi : 10.1080/00029890.2023.2176114, MR  456741 9
27. Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Теорема Пифагора и треугольники», Книга математики, Стерлинг, стр. 40, ISBN 978-1402757969
28. Воулс, Роджер (июль 1999 г.), «83,27 Целочисленные решения », The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi : 10.2307/3619056, JSTOR  3619056, S2CID  123267065 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
29. Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.), «92.48 Перевернутая теорема Пифагора», The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi : 10.1017/s0025557200183275, JSTOR  27821792, S2CID  125989951
30. Ю, Пол (2003), «Рекреационная математика» (PDF) , конспекты курса , кафедра математических наук, Атлантический университет Флориды, гл. 2, с. 110
31. (Альперин 2005)
32. Стиллвелл, Джон (2002), «6.6 Пифагоровы тройки», Элементы теории чисел , Springer, стр. 110–2, ISBN 978-0-387-95587-2
33. Гаусс CF (1832), "Theoria residuorum biquadraticorum", Comm. Соц. Рег. наук. Гетт. Рек. , 4 .См. также Werke , 2 :67–148.
34. Препринт 1988 г., заархивированный 9 августа 2011 г. в Wayback Machine , см. рисунок 2 на стр. 3., позже опубликованный как Фесслер, Альберт (июнь – июль 1991 г.), «Множественные тройки пифагорейских чисел», American Mathematical Monthly , 98 (6): 505–517, номер документа : 10.2307/2324870, JSTOR  2324870.
35. Бенито, Мануэль; Варона, Хуан Л. (июнь 2002 г.), «Треугольники Пифагора со сторонами меньше n », Журнал вычислительной и прикладной математики , 143 (1): 117–126, Бибкод : 2002JCoAM.143..117B, doi : 10.1016/S0377 -0427(01)00496-4как PDF
36. Нахин, Пол Дж. (1998), Воображаемая сказка: История , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 25–26, ISBN ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 0-691-02795-1, МР  1645703
37. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A001652», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS; Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A001653», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
38. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A303734», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
39. Паньи, Дэвид (сентябрь 2001 г.), «Фибоначчи встречает Пифагора», Математика в школе , 30 (4): 39–40, JSTOR  30215477
40. Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A351061 (наименьшее положительное целое число, квадрат которого можно записать как сумму n положительных полных квадратов)», Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
41. Сумма последовательных кубов равна кубу, заархивировано из оригинала 15 мая 2008 г.
42. Хиршхорн, Майкл (ноябрь 2011 г.), «Когда сумма последовательных квадратов является квадратом?», The Mathematical Gazette , 95 : 511–2 , doi : 10.1017/S0025557200003636 , ISSN  0025-5572, OCLC  819659848, S2CID  118776 198
43. Гёль, Джон Ф. младший (май 2005 г.), «Размышления читателя», Учитель математики , 98 (9): 580, doi : 10.5951/MT.98.9.0580
44. Гёль, Джон Ф.-младший, «Тройки, квартеты, пентады», Учитель математики 98, май 2005 г., стр. 580.
45. Ким, Скотт (май 2002 г.), «Богглеры», Discover : 82, Уравнение w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ сложнее. В 1988 году, после 200 лет попыток математиков доказать это, Ноам Элкис из Гарварда нашел контрпример: 2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴ = 20 615 673 ⁴ .
46. Элкис, Ноам (1988), «На A4 + B4 + C4 = D4», Mathematics of Computation , 51 (184): 825–835, doi : 10.2307/2008781, JSTOR  2008781, MR  0930224
47. Как, С. и Прабху, М. Криптографические применения примитивных пифагорейских троек. Криптология, 38:215–222, 2014. [1]

Рекомендации

• Альперин, Роджер К. (2005), «Модульное дерево Пифагора» (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (9): 807–816, CiteSeerX  10.1.1.112.3085 , doi : 10.2307/30037602, JSTOR  30037602, MR  2179860
• Берггрен, Б. (1934), «Питагорейский треугольник», Tidskrift for Elementär Matematik, Fysik och Kemi (на шведском языке), 17 : 129–139
• Барнинг, FJM (1963), «Пифагорес и биджна-пифагорейский дрихокен и процесс генерации с использованием унимодулирующих матриц» (PDF) , Math. Центр Амстердама Afd. Зуйвере Виск. (на голландском языке), ZW-011: 37
• Эккерт, Эрнест (1992), «Примитивные пифагоровы тройки», The College Mathematics Journal , 23 (5): 413–417, doi : 10.2307/2686417, JSTOR  2686417
• Элкис, Ноам , тройки Пифагора и теорема Гильберта 90 (PDF)
• Хит, Томас (1956), Тринадцать книг «Элементов Евклида», том. 1 (Книги I и II) (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8
• Лонг, Кэлвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: DC Heath and Company , LCCN  77171950
• Мартин, Артемас (1875), «Рациональные прямоугольные треугольники, почти равнобедренные», The Analyst , 3 (2): 47–50, doi : 10.2307/2635906, JSTOR  2635906
• Маккалоу, Дэррил (2005), «Высота и превышение троек Пифагора» (PDF) , Mathematics Magazine , 78 (1): 26–44, doi : 10.1080/0025570X.2005.11953298, S2CID  1701449
• Ромик, Дэн (2008), «Динамика пифагорейских троек» (PDF) , Пер. амер. Математика. Соц. , 360 (11): 6045–6064, arXiv : math.DS/0406512 , doi : 10.1090/S0002-9947-08-04467-X , MR  2425702
• Тейген, МГ; Хэдвин, Д. У. (1971), «О создании троек Пифагора», The American Mathematical Monthly , 78 (4): 378–379, doi : 10.2307/2316903, JSTOR  2316903
• Траутман, Анджей (1998), «Пифагорейские спиноры и твисторы Пенроуза», в SA Hugget; Эл Джей Мейсон; КП Тод; СТ Цоу; NMJ Вудхаус (ред.), Геометрическая вселенная (Постскриптум)

Внешние ссылки

• Алгебры Клиффорда и параметризация Евклида пифагорейских троек
• Любопытные последствия неправильно скопированного квадратичного уравнения
• Обсуждение свойств троек Пифагора, интерактивных калькуляторов, головоломок и задач.
• Генерация троек Пифагора с использованием арифметических прогрессий
• «Числа Пифагора», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Интерактивный калькулятор троек Пифагора
• Отрицательное уравнение Пелля и тройки Пифагора
• Параметризация троек Пифагора одной тройкой многочленов
• Прайс, Х. Ли (2008), Дерево Пифагора: новый вид , arXiv : 0809.4324
• Пифагоровы тройки и единичный круг, гл. 2–3, в «Дружественном введении в теорию чисел» Джозефа Х. Сильвермана, 3-е изд., 2006 г., Пирсон Прентис Холл, Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, ISBN 0-13-186137-9 
• Пифагоровы тройки в интерактивном апплете, показывающем взаимосвязь единичного круга с пифагорейскими тройками
• Пифагоровы тройки
• Замечательная вписанная окружность треугольника
• Решения квадратично-совместимых пар относительно пифагоровых троек
• Теоретические свойства троек Пифагора и связь с геометрией.
• Троичное дерево(а), лежащее в основе примитивных пифагорейских троек, при разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. , «Тройка Пифагора», MathWorld