Последняя теорема Ферма

Гипотеза 17 века, доказанная Эндрю Уайлсом в 1994 году.

В теории чисел Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма , ^{особенно} в старых текстах) утверждает, что никакие три положительных целых числа a , b и c не удовлетворяют уравнению a n + b ⁿ = c ⁿ для любого целого значения n , большего 2. . Случаи n = 1 и n = 2 известны с древности как имеющие бесконечное множество решений. ^[1]

Это предложение было впервые сформулировано в виде теоремы Пьером Ферма около 1637 года на полях экземпляра «Арифметики» . Ферма добавил, что у него есть доказательство, которое слишком велико и не помещается на полях. Хотя другие утверждения, заявленные Ферма без доказательств, были впоследствии доказаны другими и признаны теоремами Ферма (например, теорема Ферма о суммах двух квадратов ), Великая теорема Ферма сопротивлялась доказательству, что приводило к сомнению в том, что у Ферма когда-либо было правильное доказательство. Следовательно, это предложение стало известно как гипотеза , а не как теорема. После 358 лет усилий математиков первое успешное доказательство было опубликовано в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году. Оно было названо «ошеломляющим достижением» в номинации на премию Абеля Уайлса в 2016 году. ^[2] Оно также доказал большую часть гипотезы Таниямы-Шимуры, впоследствии известной как теорема модульности , и открыл совершенно новые подходы к многочисленным другим проблемам и математически мощные методы снятия модулярности .

Нерешенность проблемы стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX и XX веках. Это одна из самых известных теорем в истории математики , и до ее доказательства она была занесена в Книгу рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая задача», отчасти потому, что у этой теоремы наибольшее количество неудачных доказательств. ^[3]

Обзор

Пифагорейское происхождение

Уравнение Пифагора x 2 + y ² = z ² имеет бесконечное число положительных целых решений для x , y ^и z ; эти решения известны как тройки Пифагора (самый простой пример — 3, 4, 5). Примерно в 1637 году Ферма написал на полях книги, что более общее уравнение a ⁿ + bn = c ⁿ не имеет решений в натуральных числах, если n — целое число, большее 2. Хотя он утверждал, что у него есть общее доказательство своей гипотезы ^. Ферма не оставил никаких подробностей своего доказательства, и никаких его доказательств так и не было найдено. Его заявление было обнаружено примерно 30 лет спустя, после его смерти. Это утверждение, которое стало известно как Великая теорема Ферма , оставалось неразрешенным в течение следующих трех с половиной столетий. ^[4]

Это утверждение в конечном итоге стало одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел , и со временем Великая теорема Ферма приобрела известность как нерешенная проблема математики .

Последующие разработки и решения

Особый случай n = 4 , доказанный самим Ферма, достаточен, чтобы установить, что если теорема неверна для некоторого показателя n , который не является простым числом , она также должна быть ложной и для некоторого меньшего n , поэтому нужны только простые значения n. дальнейшее расследование. ^{[примечание 1]} В течение следующих двух столетий (1637–1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен ввела новшества и доказала подход, который был применим к целому классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил эту теорему и доказал теорему для всех правильных простых чисел , оставив неправильные простые числа для индивидуального анализа. Опираясь на работу Куммера и используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить доказательство, чтобы охватить все простые показатели степени до четырех миллионов, ^[5] но доказательство для всех показателей степени было недоступно (это означает, что математики обычно считали доказательство невозможным, чрезвычайно сложно или недостижимо при нынешних знаниях). ^[6]

Кроме того, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма заподозрили, что может существовать связь между эллиптическими кривыми и модульными формами , двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время как гипотеза Таниямы-Шимуры (в конечном итоге как теорема модульности), она существовала сама по себе, без видимой связи с Великой теоремой Ферма. Она широко рассматривалась как значимая и важная сама по себе, но (как и теорема Ферма) считалась совершенно недоступной для доказательства. ^[7]

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Схема, предполагающая, что это можно доказать, была дана Фреем. Полное доказательство тесной связи этих двух проблем было выполнено в 1986 году Кеном Рибетом , основываясь на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра , который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза об эпсилоне» (см.: Теорему Рибе и кривую Фрея). ). ^[2] Эти статьи Фрея, Серра и Рибета показали, что если бы гипотеза Таниямы-Шимуры могла быть доказана хотя бы для полустабильного класса эллиптических кривых, доказательство Великой теоремы Ферма также последовало бы автоматически. Связь описана ниже: любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, также может быть использовано для противоречия гипотезе Таниямы-Шимуры. Таким образом, если окажется, что теорема о модулярности верна, то по определению не может существовать никакого решения, противоречащего Великой теореме Ферма, которое, следовательно, также должно быть верным.

Хотя обе проблемы были устрашающими и в то время считались «совершенно недоступными» для доказательства, ^[2] это было первое предложение пути, с помощью которого Великая теорема Ферма могла быть расширена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых чисел. В отличие от Великой теоремы Ферма, гипотеза Таниямы-Шимуры была основной активной областью исследований и считалась более доступной для современной математики. ^[8] Однако по общему мнению это просто показало непрактичность доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. ^[9] Реакция, процитированная математиком Джоном Коутсом , была распространенной: ^[9]

Я сам очень скептически относился к тому, что красивая связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры действительно к чему-либо приведет, потому что, должен признаться, я не думал, что гипотеза Таниямы-Шимуры доступна для доказательства. Какой бы красивой ни была эта проблема, казалось невозможным ее реально доказать. Должен признаться, я думал, что, вероятно, не увижу доказательства этого при своей жизни.

Услышав, что Рибет доказал правильность связи Фрея, английский математик Эндрю Уайлс , который с детства увлекался Великой теоремой Ферма и имел опыт работы с эллиптическими кривыми и связанными с ними полями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры как способ доказать Великую теорему Ферма. В 1993 году, после шести лет тайной работы над этой проблемой, Уайлсу удалось доказать достаточно гипотезы, чтобы доказать Великую теорему Ферма. Статья Уайлса была огромной по размеру и объему. Ошибка была обнаружена в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования , и для ее устранения потребовался еще год и сотрудничество с бывшим студентом Ричардом Тейлором . В результате окончательное доказательство в 1995 году сопровождалось совместной статьей меньшего размера, показывающей, что фиксированные шаги верны. О достижениях Уайлса широко сообщалось в популярной прессе, а также популяризировали в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля, теперь доказанные и известные как теорема модулярности, впоследствии были доказаны другими математиками, опиравшимися на работы Уайлса в период с 1996 по 2001 год. [ ^{10] [11] [12]} За его доказательство Уайлс был удостоен чести и получил множество наград, в том числе премию Абеля 2016 года . ^{[13] [14] [15]}

Эквивалентные утверждения теоремы

Существует несколько альтернативных способов сформулировать Великую теорему Ферма, которые математически эквивалентны исходной постановке задачи.

Для их формулировки мы используем следующие обозначения: пусть N — множество натуральных чисел 1, 2, 3, ..., пусть Z — множество целых чисел 0, ±1, ±2, ... и пусть Q будет множеством рациональных чисел a / b , где a и b находятся в Z с b ≠ 0 . В дальнейшем мы будем называть решение задачи x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , где один или несколько из x , y или z равны нулю, тривиальным решением . Решение, в котором все три ненулевые, будем называть нетривиальным решением.

Для сравнения начнем с исходной формулировки.

• Оригинальное заявление . При n , x , y , z ∈ N (это означает, что n , x , y , z — положительные целые числа) и n > 2 , уравнение x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ не имеет решений.

В наиболее популярных трактовках этого вопроса об этом говорится именно так. Это также обычно утверждается над Z : ^[16]

• Эквивалентное утверждение 1: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , где целое число n ≥ 3, не имеет нетривиальных решений x , y , z ∈ Z .

Эквивалентность очевидна, если n четно. Если n нечетно и все три из x , y , z отрицательны, то мы можем заменить x , y , z на - x , - y , - z , чтобы получить решение в N. Если два из них отрицательны, это должны быть x и z или y и z . Если x , z отрицательны, а y положителен, то мы можем переставить, чтобы получить (− z ) ⁿ + y ⁿ = (− x ) ⁿ , что приведет к решению в N ; другой случай рассматривается аналогично. Теперь, если хотя бы один из них отрицательный, это должен быть x или y . Если x отрицателен, а y и z положительны, то его можно переставить, чтобы получить (− x ) ⁿ + z ⁿ = y ⁿ , что снова приведет к решению в N ; если y отрицательно, результат следует симметрично. Таким образом, во всех случаях нетривиальное решение в Z также будет означать, что решение существует в N , исходной формулировке проблемы.

• Эквивалентное утверждение 2: x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ , где целое число n ≥ 3 , не имеет нетривиальных решений x , y , z ∈ Q .

Это связано с тем, что показатели x , y и z равны ( n ), поэтому , если существует решение в Q , то его можно умножить на соответствующий общий знаменатель, чтобы получить решение в Z и, следовательно, в N. .

• Эквивалентное утверждение 3: x ⁿ + y ⁿ = 1 , где целое число n ≥ 3 , не имеет нетривиальных решений x , y ∈ Q.

Нетривиальное решение a , b , c ∈ Z для x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ дает нетривиальное решение a / c , b / c ∈ Q для v ⁿ + w ⁿ = 1 . И наоборот, решение a / b , c / d ∈ Q для v ⁿ + w ⁿ = 1 дает нетривиальное решение ad , cb , bd для x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

Эта последняя формулировка особенно плодотворна, поскольку она сводит проблему от проблемы о трехмерных поверхностях к проблеме о кривых в двух измерениях. Более того, он позволяет работать над полем Q , а не над кольцом Z ; поля демонстрируют большую структуру, чем кольца , что позволяет провести более глубокий анализ их элементов.

• Эквивалентное утверждение 4 – связь с эллиптическими кривыми: если a , b , c является нетривиальным решением a ^p + b ^p = c ^p , p нечетного простого числа, то y ² = x ( x − a ^p )( x + b ^p ) ( кривая Фрея ) будет эллиптической кривой без модулярной формы. ^[17]

Исследование этой эллиптической кривой с помощью теоремы Рибета показывает, что она не имеет модулярной формы . Однако доказательство Эндрю Уайлса доказывает, что любое уравнение вида y ² = x ( x − a ⁿ )( x + b ⁿ ) действительно имеет модулярную форму. Следовательно, любое нетривиальное решение задачи x ^p + y ^p = z ^p (где p — нечетное простое число) создаст противоречие , которое, в свою очередь, доказывает, что нетривиальных решений не существует. ^[18]

Другими словами, любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, также может быть использовано для противоречия теореме о модулярности. Таким образом, если бы теорема о модулярности оказалась верной, из этого следовало бы, что никакого противоречия с Великой теоремой Ферма также не могло бы существовать. Как описано выше, открытие этого эквивалентного утверждения имело решающее значение для окончательного решения Великой теоремы Ферма, поскольку оно предоставило средства, с помощью которых ее можно было «атаковать» для всех чисел одновременно.

Математическая история

Пифагор и Диофант

Пифагоровы тройки

В древности было известно, что треугольник, стороны которого имеют соотношение 3:4:5, будет иметь в качестве одного из углов прямой угол. Это использовалось в строительстве, а затем и в ранней геометрии. Также было известно, что это один из примеров общего правила, согласно которому любой треугольник, у которого длина двух сторон, каждая из которых возведена в квадрат, а затем сложена (3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25) , равна квадрату длины стороны. третья сторона (5 ² = 25) также будет прямоугольным треугольником. Сейчас это известно как теорема Пифагора , а тройка чисел, удовлетворяющая этому условию, называется тройкой Пифагора; оба названы в честь древнегреческого Пифагора . Примеры включают (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Таких троек бесконечно много, ^[19] и методы генерации таких троек изучались во многих культурах, начиная с вавилонян [ ^20] и позднее древнегреческих , китайских и индийских математиков. ^[1] Математически определение тройки Пифагора представляет собой набор из трех целых чисел ( a , b , c ) , которые удовлетворяют уравнению ^[21] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Диофантовы уравнения

Уравнение Ферма, x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ с целыми положительными решениями, является примером диофантова уравнения , ^{[22] названного в честь} александрийского математика III века Диофанта , который изучал их и разработал методы решения некоторых видов. диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача — найти два целых числа x и y, такие, что их сумма и сумма квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:

${\displaystyle A=x+y}$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.}$

Главный труд Диофанта — « Арифметика» , от которой сохранилась лишь часть. ^[23] Гипотеза Ферма о его Великой теореме возникла во время чтения нового издания «Арифметики» , [ ^24] которое было переведено на латынь и опубликовано в 1621 году Клодом Баше . ^{[25] [26]}

Диофантовы уравнения изучаются уже тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x ² + y ² = z ² даются тройками Пифагора , первоначально решенными вавилонянами ( ок.  1800 г. до н. э. ). ^[27] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13 , можно найти с помощью алгоритма Евклида (около 5 века до н.э.). ^[28] Многие диофантовые уравнения имеют форму, аналогичную уравнению Великой теоремы Ферма с точки зрения алгебры, поскольку в них нет перекрестных членов, смешивающих две буквы, но при этом они не имеют общих свойств. Например, известно, что существует бесконечно много натуральных чисел x , y и z таких, что x ⁿ + y ⁿ = z ^m , где n и m — относительно простые натуральные числа. ^{[заметка 2]}

Гипотеза Ферма

Задача II.8 в «Арифметике Диофанта » издания 1621 года . Справа — поле, слишком маленькое, чтобы вместить предполагаемое доказательство Ферма его «последней теоремы».

Задача II.8 арифметики спрашивает , как данное квадратное число разбивается на два других квадрата; другими словами, для данного рационального числа k найдите рациональные числа u и v такие, что k ² = u ² + v ² . Диофант показывает, как решить эту задачу суммы квадратов для k = 4 (решениями являются u = 16/5 и v = 12/5 ). ^[29]

Около 1637 года Ферма написал свою Великую теорему на полях своего экземпляра «Арифметики» рядом с задачей Диофанта о сумме квадратов : ^{[30] [31] [32]}

После смерти Ферма в 1665 году его сын Клеман-Самуэль Ферма выпустил новое издание книги (1670 г.), дополненное комментариями отца. ^[35] Хотя на самом деле это не была теорема в то время (то есть математическое утверждение, для которого существует доказательство ), примечание на полях со временем стало известно как Великая теорема Ферма , ^[30] поскольку это была последняя из заявленных теорем Ферма, которая осталась недоказанной. ^{[36] [37]}

Неизвестно, действительно ли Ферма нашел действительное доказательство для всех показателей n , но это кажется маловероятным. Сохранилось только одно связанное с ним доказательство, а именно для случая n = 4 , как описано в разделе § Доказательства для конкретных показателей.

Хотя Ферма ставил случаи n  = 4 и n  = 3 как вызов своим математическим корреспондентам, таким как Марин Мерсенн , Блез Паскаль и Джон Уоллис , ^[38] он никогда не ставил общий случай. ^[39] Более того, за последние тридцать лет своей жизни Ферма никогда больше не писал о своем «поистине чудесном доказательстве» общего случая и никогда не публиковал его. Ван дер Портен ^[40] предполагает, что, хотя отсутствие доказательства незначительно, отсутствие проблем означает, что Ферма осознал, что у него нет доказательства; он цитирует Вейля ^[41] , который утверждает, что Ферма, должно быть, на короткое время обманул себя необратимой идеей. Методы, которые Ферма мог использовать в таком «чудесном доказательстве», неизвестны.

Доказательство Уайлса и Тейлора основано на методах 20-го века. ^[42] Доказательство Ферма должно было бы быть элементарным по сравнению с ним, учитывая математические знания того времени.

Хотя великая гипотеза Харви Фридмана подразумевает , что любая доказуемая теорема (включая последнюю теорему Ферма) может быть доказана с использованием только « арифметики элементарных функций », такое доказательство должно быть «элементарным» только в техническом смысле и может включать миллионы шагов. таким образом, оно слишком длинное, чтобы служить доказательством Ферма.

Доказательства для конкретных показателей

Бесконечное спуск Ферма для случая Великой теоремы Ферма n = 4 в издании « Арифметики Диофанта » 1670 года (стр. 338–339).

Экспонента = 4

Сохранилось только одно соответствующее доказательство Ферма , в котором он использует технику бесконечного спуска , чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может равняться квадрату целого числа. ^{[43] [44] [45]} Его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение

${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$

не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, это доказывает Великую теорему Ферма для случая n = 4 , поскольку уравнение a ⁴ + b ⁴ = c ⁴ можно записать как c ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ² .

Альтернативные доказательства случая n = 4 были развиты позже ^[46] Френиклем де Бесси (1676 г.), ^[47] Леонардом Эйлером (1738 г.), ^[48] Кауслером (1802 г.), ^[49] Питером Барлоу (1811 г.), ^{[50] ]} Адриен-Мари Лежандр (1830), ^[51] Шопис (1825), ^[52] Олри Теркем (1846), ^[53] Жозеф Бертран (1851), ^[54] Виктор Лебег (1853, 1859, 1862), ^{[55] ]} Теофиль Пепен (1883), ^[56] Тафельмахер (1893), ^[57] Давид Гильберт (1897), ^[58] Бендз (1901), ^[59] Гамбиоли (1901), ^[60] Леопольд Кронекер (1901), ^{[ 61]} Банг (1905), ^[62] Зоммер (1907), ^[63] Боттари (1908), ^[64] Карел Рыхлик (1910), ^[65] Нуцхорн (1912), ^[66] Роберт Кармайкл (1913), ^{[ 67]} Хэнкок (1931), ^[68] Георге Вранчану (1966), ^[69] Грант и Перелла (1999), ^[70] Барбара (2007), ^[71] и Долан (2011). ^[72]

Другие представители

После того, как Ферма доказал частный случай n = 4 , общее доказательство для всех n потребовало только того, чтобы теорема была доказана для всех нечетных простых показателей. ^[73] Другими словами, нужно было доказать только то, что уравнение a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ не имеет целых положительных решений ( a , b , c ) , когда n — нечетное простое число . Это следует из того, что решение ( a , b , c ) для данного n эквивалентно решению для всех факторов n . Для иллюстрации позвольте n разложить на d и e , n  =  de . Общее уравнение

а ^н + б ^н = с ^н

подразумевает, что ( a ^d , b ^d , c ^d ) является решением показателя e

( а ^d ) ^е + ( б ^d ) ^{е знак} равно ( c ^d ) ^е .

Таким образом, чтобы доказать, что уравнение Ферма не имеет решений при n > 2 , достаточно доказать, что оно не имеет решений хотя бы для одного простого множителя каждого n . Каждое целое число n > 2 делится на 4 или на нечетное простое число (или на то и другое). Следовательно, Великую теорему Ферма можно было бы доказать для всех n , если бы ее можно было доказать для n = 4 и для всех нечетных простых чисел p .

В течение двух столетий после выдвижения гипотезы (1637–1839) Великая теорема Ферма была доказана для трех нечетных простых показателей p  = 3, 5 и 7. Случай p = 3 был впервые сформулирован Абу-Махмудом Ходжанди (10 век), но его попытка доказать теорему была неверной. ^{[74] [75]} В 1770 году Леонард Эйлер дал доказательство p  = 3, ^[76] , но его доказательство методом бесконечного спуска ^[77] содержало серьезный пробел. ^{[78] [79] [80]} Однако, поскольку Эйлер сам доказал лемму, необходимую для завершения доказательства в другой работе, ему обычно приписывают первое доказательство. ^{[45] [81] [82]} Независимые доказательства были опубликованы ^[83] Кауслером (1802 г.), ^[49] Лежандром (1823, 1830 г.), ^{[51] [84]} Кальцолари (1855 г.), ^[85] Габриэлем Ламе (1865 г. ). ), ^[86] Питер Гатри Тейт (1872), ^[87] Зигмунд Гюнтер (1878), ^[88] Гамбиоли (1901), ^[60] Крей (1909), ^[89] Рыхлик (1910), ^[65] Штокхаус ( 1910), ^[90] Кармайкл (1915), ^[91] Йоханнес ван дер Корпут (1915), ^[92] Аксель Туэ (1917), ^[93] и Дуарте (1944). ^[94]

Случай p = 5 был независимо доказан ^[95] Лежандром и Питером Густавом Леженом Дирихле около 1825 года. ^{[96] [97] [45] [98]} Альтернативные доказательства были разработаны ^[99] Карлом Фридрихом Гауссом (1875, посмертно), ^[100] Лебег (1843), ^[101] Ламе (1847), ^[102] Гамбиоли (1901), ^{[60] [103]} Веребрусов (1905), ^{[104] [ нужна полная цитата ]} Рыхлик (1910), ^{[105] ] [ сомнительно ] [ нужна полная цитата ]} ван дер Корпут (1915), ^[92] и Гай Терджанян (1987). ^[106]

Случай p = 7 был доказан ^{[107] [108] [45] [98]} Ламе в 1839 году. ^[109] Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 году Лебегом, ^[110] и были опубликованы еще более простые доказательства ^[111]. Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 годах. ^[112] Альтернативные доказательства были разработаны Теофилем Пепеном (1876) ^[113] и Эдмоном Майе (1897). ^[114]

Великая теорема Ферма была также доказана для показателей n  = 6, 10 и 14. Доказательства для n = 6 были опубликованы Кауслером, ^[49] Туэ, ^[115] Тафельмахером, ^[116] Линдом, ^[117] Капферером, ^{[118] ]} Свифт, ^[119] и Бреуш. ^[120] Аналогичным образом, Дирихле ^[121] и Терджаниан ^[122] доказали случай n  = 14, а Капферер ^[118] и Бреуш ^[120] доказали случай n  = 10. Строго говоря, эти доказательства излишни, поскольку эти случаи следуют из доказательств для n  = 3, 5 и 7 соответственно. Тем не менее, рассуждения этих доказательств с четной экспонентой отличаются от их аналогов с нечетной экспонентой. Доказательство Дирихле для n  = 14 было опубликовано в 1832 году, до доказательства Ламе 1839 года для n = 7 . ^[123]

^{Во всех доказательствах для конкретных показателей использовалась техника} бесконечного спуска Ферма либо в исходной форме , ^либо в форме спуска по эллиптическим кривым или абелевым многообразиям. Однако детали и вспомогательные аргументы часто были ad hoc и привязаны к отдельному рассматриваемому показателю. ^[124] Поскольку они становились все более сложными по мере увеличения p , казалось маловероятным, что общий случай Великой теоремы Ферма может быть доказан, опираясь на доказательства для отдельных показателей. ^[124] Хотя некоторые общие результаты по Великой теореме Ферма были опубликованы в начале 19 века Нильсом Хенриком Абелем и Питером Барлоу , ^{[125] [126]} первая значительная работа по общей теореме была сделана Софи Жермен . ^[127]

Ранние современные прорывы

Софи Жермен

В начале 19 века Софи Жермен разработала несколько новых подходов к доказательству Великой теоремы Ферма для всех показателей. ^[128] Во-первых, она определила набор вспомогательных простых чисел , построенных из простого показателя по уравнению , где любое целое число, не делящееся на три. Она показала, что, если никакие целые числа, возведенные в ю степень, не были соседними по модулю ( условие непоследовательности ), то произведение необходимо разделить . Ее цель состояла в том, чтобы с помощью математической индукции доказать, что для любого заданного бесконечное количество вспомогательных простых чисел удовлетворяют условию непоследовательности и, таким образом, делятся ; поскольку произведение может иметь не более конечного числа простых множителей, такое доказательство установило бы Великую теорему Ферма. Хотя она разработала множество методов установления условия непоследовательности, ей не удалось достичь своей стратегической цели. Она также работала над установлением нижних пределов размера решений уравнения Ферма для заданного показателя степени , модифицированная версия которого была опубликована Адриеном-Мари Лежандром . В качестве побочного продукта этой последней работы она доказала теорему Софи Жермен , которая подтвердила первый случай Великой теоремы Ферма (а именно, случай, когда не делится ) для каждого нечетного простого показателя меньше , ^{[128] [129]} и для все простые числа такие, что хотя бы один из , , , и является простым (в частности, такие простые числа называются простыми числами Софи Жермен ) . Жермен безуспешно пытался доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных показателей, в частности для , что было доказано Ги Терджаняном в 1977 году. ^[130] В 1985 году Леонард Адлеман , Роджер Хит-Браун и Этьен Фуври доказали, что первый случай Великая теорема Ферма справедлива для бесконечного числа нечетных простых чисел . ^[131] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta =2hp+1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle 270}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2p+1}$ ${\displaystyle 4p+1}$ ${\displaystyle 8p+1}$ ${\displaystyle 10p+1}$ ${\displaystyle 14p+1}$ ${\displaystyle 16p+1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2p+1}$ ${\displaystyle n=2p}$ ${\displaystyle p}$

Эрнст Куммер и теория идеалов

В 1847 году Габриэль Ламе изложил доказательство Великой теоремы Ферма, основанное на факторизации уравнения x ^p + y ^p = z ^p в комплексных числах , в частности, кругового поля, основанного на корнях числа 1 . Однако его доказательство не удалось, поскольку оно ошибочно предполагало, что такие комплексные числа можно однозначно разложить на простые числа, подобно целым числам. На этот пробел сразу же указал Джозеф Лиувилл , который позже прочитал статью Эрнста Куммера , демонстрирующую эту неудачу уникальной факторизации .

Куммер поставил перед собой задачу определить, можно ли обобщить круговое поле , включив в него новые простые числа, чтобы восстановить уникальную факторизацию. Он преуспел в этой задаче, разработав идеальные числа .

(Примечание: часто утверждается, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» из-за интереса к Великой теореме Ферма; часто рассказывают даже историю о том, что Куммер, как и Ламе , верил, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не рассказал об этом ему, его аргументация основывалась на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хензелем в 1910 году, и факты указывают на то, что она, вероятно, возникла из-за путаницы одного из источников Хензеля. Гарольд Эдвардс говорит, что убеждение, что Куммер в основном интересовался Великой теоремой Ферма " заведомо ошибается». ^[132] См. историю идеальных чисел .)

Используя общий подход, изложенный Ламе, Куммер доказал оба случая Великой теоремы Ферма для всех правильных простых чисел . Однако он не смог доказать теорему для исключительных простых чисел (неправильных простых чисел), которые предположительно встречаются примерно в 39% случаев ; единственные неправильные простые числа ниже 270 — это 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 и 263.

Гипотеза Морделла

В 1920-х годах Луи Морделл выдвинул гипотезу, которая подразумевала, что уравнение Ферма имеет не более конечного числа нетривиальных примитивных целочисленных решений, если показатель степени n больше двух. ^{[133] [134]} Эта гипотеза была доказана в 1983 году Гердом Фалтингсом , ^[135] и теперь известна как теорема Фалтингса .

Вычислительные исследования

Во второй половине 20-го века вычислительные методы были использованы для расширения подхода Куммера к нерегулярным простым числам. В 1954 году Гарри Вандивер использовал компьютер SWAC , чтобы доказать Великую теорему Ферма для всех простых чисел до 2521. ^[136] К 1978 году Сэмюэл Вагстафф распространил это на все простые числа меньше 125 000. ^[137] К 1993 году Великая теорема Ферма была доказана для всех простых чисел меньше четырех миллионов. ^[5]

Однако, несмотря на эти усилия и их результаты, не существовало доказательства Великой теоремы Ферма. Доказательства отдельных показателей по своей природе никогда не могли доказать общий случай: даже если все показатели были проверены до чрезвычайно большого числа X, все равно мог существовать более высокий показатель, превышающий X, для которого это утверждение не было верным. (Так было и с некоторыми другими прошлыми гипотезами, и в этой гипотезе это нельзя исключать.) ^[138]

Связь с эллиптическими кривыми

Стратегия, которая в конечном итоге привела к успешному доказательству Великой теоремы Ферма, возникла из «поразительной» ^{[139] : 211} гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля , выдвинутой примерно в 1955 году, которую многие математики считали почти невозможно доказать, ^{[139] : 223} и был связан в 1980-х годах Герхардом Фреем , Жан-Пьером Серром и Кеном Рибетом с уравнением Ферма. Выполнив частичное доказательство этой гипотезы в 1994 году, Эндрю Уайлс в конечном итоге преуспел в доказательстве Великой теоремы Ферма, а также проложил путь к полному доказательству того, что сейчас известно как теорема модульности .

Гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля

Примерно в 1955 году японские математики Горо Симура и Ютака Танияма заметили возможную связь между двумя, казалось бы, совершенно разными ветвями математики — эллиптическими кривыми и модульными формами . Полученная в результате теорема о модулярности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной , а это означает, что ей может быть сопоставлена ​​уникальная модульная форма .

Первоначально эту связь отклонили как маловероятную или весьма спекулятивную, но к ней отнеслись более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие ее, хотя и не доказывающие ее; в результате эту гипотезу часто называли гипотезой Таниямы – Шимуры – Вейля. ^{[139] : 211–215}

Даже после того, как эта гипотеза привлекла серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно сложной или, возможно, недоступной для доказательства. ^{[139] : 203–205, 223, 226} Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждает, что это казалось «невозможным на самом деле доказать», ^{[139] : 226} и Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые верили [оно] было совершенно недоступно», добавив, что «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать о том, что вы действительно можете пойти и доказать [это]». ^{[139] : 223}

Теорема Рибе для кривых Фрея

В 1984 году Герхард Фрей заметил связь между уравнением Ферма и теоремой о модулярности, которая тогда еще была гипотезой. Если бы уравнение Ферма имело какое-либо решение ( a , b , c ) для показателя p > 2 , то можно было бы показать, что полустабильная эллиптическая кривая (теперь известная как кривая Фрея-Хеллегоуара ^{[примечание 3]} )

y ² знак равно Икс ( Икс  -  а ^п )( Икс  +  б ^п )

имел бы такие необычные свойства, что вряд ли был бы модульным. ^[140] Это противоречило бы теореме о модулярности, которая утверждала, что все эллиптические кривые являются модулярными. Таким образом, Фрей заметил, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля может одновременно доказать Великую теорему Ферма. ^{[141] [142]} В противоположность этому , опровержение или опровержение Великой теоремы Ферма опровергло бы гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля.

Говоря простым языком, Фрей показал, что, если эта интуиция относительно его уравнения верна, то любой набор из четырех чисел ( a , b , c , n ), способный опровергнуть Великую теорему Ферма, также может быть использован для опровержения теории Таниямы-Шимуры. – Гипотеза Вейля. Следовательно, если бы последнее было правдой, первое нельзя было бы опровергнуть, и оно также должно было бы быть истинным.

Следуя этой стратегии, доказательство Великой теоремы Ферма потребовало двух шагов. Во-первых, необходимо было доказать теорему модулярности или хотя бы доказать ее для тех типов эллиптических кривых, которые включали уравнение Фрея (известных как полустабильные эллиптические кривые ). Современные математики считали, что это невозможно доказать. ^{[139] : 203–205, 223, 226} Во-вторых, необходимо было показать, что интуиция Фрея была верна: если эллиптическая кривая была построена таким образом, используя набор чисел, которые были решением уравнения Ферма, результирующая эллиптическая кривая не могла быть модульной. Фрей показал, что это правдоподобно , но не дал полного доказательства. Недостающая часть (так называемая « гипотеза об эпсилоне », ныне известная как теорема Рибе ) была обнаружена Жаном-Пьером Серром , который также дал почти полное доказательство, а связь, предложенная Фреем, была окончательно доказана в 1986 году Кеном Рибетом . ^[143]

После работы Фрея, Серра и Рибета дело обстояло следующим образом:

• Великую теорему Ферма необходимо было доказать для всех показателей степени n , которые были простыми числами.
• Теорема о модулярности, если она будет доказана для полустабильных эллиптических кривых, будет означать, что все полустабильные эллиптические кривые должны быть модулярными.
• Теорема Рибе показала, что любое решение уравнения Ферма для простого числа можно использовать для создания полустабильной эллиптической кривой, которая не может быть модулярной;
• Оба этих утверждения могли быть верными только в том случае, если бы не существовало решений уравнения Ферма (поскольку тогда такая кривая не могла бы быть создана), о чем и говорила Великая теорема Ферма. Поскольку теорема Рибе уже была доказана, это означало, что доказательство теоремы модульности автоматически доказывало бы истинность Последней теоремы Ферма.

Общее доказательство Уайлса

Британский математик Эндрю Уайлс

Доказательство Рибетом гипотезы об эпсилоне в 1986 году достигло первой из двух целей, предложенных Фреем. Услышав об успехе Рибета, Эндрю Уайлс , английский математик, с детства увлеченный Великой теоремой Ферма и работавший над эллиптическими кривыми, решил посвятить себя выполнению второй половины: доказательству частного случая теоремы модульности ( тогда известной как гипотеза Таниямы–Шимуры) для полустабильных эллиптических кривых. ^{[144] [145]}

Уайлс работал над этой задачей в течение шести лет в почти полной секретности, скрывая свои усилия, публикуя предыдущую работу небольшими частями в виде отдельных статей и доверяя только своей жене. ^{[139] : 229–230} Его первоначальное исследование предполагало доказательство по индукции , ^{[139] : 230–232, 249–252} , и он основывал свою первоначальную работу и первый значительный прорыв на теории Галуа ^{[139] : 251–253, 259} до переключения к попытке расширить горизонтальную теорию Ивасавы для индуктивного аргумента примерно в 1990–91 годах, когда казалось, что не существует подхода, адекватного решению этой проблемы. ^{[139] : 258–259} Однако к середине 1991 г. теория Ивасавы, похоже, также не достигла центральных вопросов проблемы. ^{[139] : 259–260  [146] [147]} В ответ он обратился к коллегам, чтобы узнать о каких-либо намеках на передовые исследования и новые методы, и обнаружил систему Эйлера, недавно разработанную Виктором Колывагиным и Маттиасом Флахом , которая казалась «индивидуальной». сделал» для индуктивной части своего доказательства. ^{[139] : 260–261} Уайлс изучил и расширил этот подход, и он сработал. Поскольку его работа во многом опиралась на этот подход, который был новым для математики и для Уайлса, в январе 1993 года он попросил своего коллегу из Принстона Ника Каца помочь ему проверить его рассуждения на наличие тонких ошибок. Тогда они пришли к выводу, что методы, которые использовал Уайлс, похоже, работали правильно. ^{[139] : 261–265  [148] [149]}

К середине мая 1993 года Уайлс был готов сказать жене, что, по его мнению, он решил доказательство Великой теоремы Ферма ^{[139] : 265} , а к июню он почувствовал себя достаточно уверенно, чтобы представить свои результаты в трех лекциях, прочитанных 21–23 июня. 1993 г. в Институте математических наук Исаака Ньютона . ^{[150] [151]} В частности, Уайлс представил свое доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры для полустабильных эллиптических кривых; вместе с доказательством Рибе гипотезы об эпсилоне это подразумевало Великую теорему Ферма. Однако в ходе рецензирования стало очевидно , что критический момент в доказательстве был неверным. Он содержал ошибку в оценке порядка конкретной группы . Ошибка была обнаружена несколькими математиками, рецензировавшими рукопись Уайлса, в том числе Кацем (в роли рецензента) ^[152] , который предупредил Уайлса 23 августа 1993 г. ^[153]

Ошибка не сделала бы его работу бесполезной: каждая часть работы Уайлса была очень значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы, и была затронута только одна часть. ^{[139] : 289, 296–297} Однако без доказательства этой части не было реального доказательства Великой теоремы Ферма. Уайлс потратил почти год, пытаясь исправить свое доказательство, сначала самостоятельно, а затем в сотрудничестве со своим бывшим студентом Ричардом Тейлором , но безуспешно. ^{[154] [155] [156]} К концу 1993 года распространились слухи о том, что при тщательном рассмотрении доказательство Уайлса не удалось, но насколько серьезно было не известно. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы тот раскрыл свою работу, независимо от того, завершена она или нет, чтобы более широкое сообщество могло исследовать и использовать все, что ему удалось сделать. Но вместо того, чтобы быть решенной, проблема, которая первоначально казалась незначительной, теперь казалась очень значительной, гораздо более серьезной и менее простой в разрешении. ^[157]

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы сдаться, и был почти смирился с признанием своей неудачи и публикацией своей работы, чтобы другие могли опираться на нее и исправить ошибку. Он добавляет, что у него был последний взгляд, чтобы попытаться понять фундаментальные причины того, почему его подход не может работать, когда он внезапно осознал: конкретная причина, по которой подход Колывагина-Флаха не будет работать напрямую, также означает , что что его первоначальные попытки использования теории Ивасавы могли бы сработать, если бы он усилил ее, используя свой опыт, полученный в результате применения подхода Колывагина-Флаха. Исправление одного подхода с помощью инструментов другого подхода решило бы проблему для всех случаев, которые еще не были доказаны в его рецензируемой статье. ^{[154] [158]} Позже он описал, что теория Ивасавы и подход Колывагина-Флаха сами по себе неадекватны, но вместе они могут стать достаточно мощными, чтобы преодолеть это последнее препятствие. ^[154]

Я сидел за столом и изучал метод Колывагина-Флаха. Не то чтобы я верил, что смогу заставить это работать, но я думал, что, по крайней мере, смогу объяснить, почему это не работает. Внезапно ко мне пришло это невероятное откровение. Я понял, что метод Колывагина-Флаха не работает, но это было все, что мне нужно, чтобы заставить работать мою первоначальную теорию Ивасавы, выдвинутую тремя годами ранее. Таким образом, из пепла Колывагина-Флаха, казалось, возник истинный ответ на проблему. Это было так неописуемо красиво; это было так просто и так элегантно. Я не мог понять, как я это пропустил, и просто смотрел на него в недоумении двадцать минут. Затем в течение дня я ходил по отделу и все время возвращался к своему столу, проверяя, на месте ли он еще. Оно все еще было там. Я не мог сдержаться, я был так взволнован. Это был самый важный момент в моей трудовой жизни. Ничто из того, что я когда-либо сделаю снова, не будет значить так много.

-  Эндрю Уайлс, цитируется Саймоном Сингхом ^[159]

24 октября 1994 г. Уайлс представил две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» ^{[160] [161]} и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» ^[162] , вторая из которых была написана в соавторстве с Тейлором и доказал, что были соблюдены определенные условия, необходимые для обоснования исправленного шага в основной статье. Обе статьи были проверены и опубликованы целиком в майском выпуске журнала Annals of Mathematics за 1995 год . Метод доказательства идентификации деформационного кольца с алгеброй Гекке (теперь называемый теоремой R = T ) для доказательства теорем о подъеме модулярности стал влиятельным развитием в теории алгебраических чисел .

В этих статьях была установлена ​​теорема модулярности для полустабильных эллиптических кривых, что стало последним шагом в доказательстве Великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была выдвинута.

Последующие события

Полная гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля была окончательно доказана Даймондом (1996), ^[10] Conrad et al. (1999), ^[11] и Брейля и др. (2001) ^[12] , который, опираясь на работу Уайлса, постепенно сокращал оставшиеся случаи, пока не был доказан полный результат. Теперь полностью доказанная гипотеза стала известна как теорема модульности .

Несколько других теорем теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, также следуют из тех же рассуждений с использованием теоремы модульности. Например: ни один куб не может быть записан как сумма двух взаимно простых n- х степеней, n ≥ 3 . (Случай n = 3 был уже известен Эйлеру .)

Связь с другими проблемами и обобщениями

Великая теорема Ферма рассматривает решения уравнения Ферма: a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ с целыми положительными числами a , b и c и целым числом n , большим 2. Существует несколько обобщений уравнения Ферма на более общие уравнения, которые позволяют показатель степени n должен быть отрицательным целым числом или рациональным числом, или рассматривать три разных показателя степени.

Обобщенное уравнение Ферма

Обобщенное уравнение Ферма обобщает формулировку последней теоремы Ферма, рассматривая положительные целочисленные решения a , b , c , m , n , k , удовлетворяющие ^[163]

В частности, показатели m , n , k не обязательно должны быть равны, тогда как последняя теорема Ферма рассматривает случай m = n = k .

Гипотеза Била , также известная как гипотеза Молдина ^[164] и гипотеза Тейдемана-Загира, ^{[165] [166] [167]} утверждает, что не существует решений обобщенного уравнения Ферма в положительных целых числах a , b , c , m , n , k где a , b и c попарно взаимно просты и все m , n , k больше 2. ^[168]

Гипотеза Ферма-Каталана обобщает последнюю теорему Ферма на идеи гипотезы Каталана . [ ^{169] [170]} Гипотеза утверждает, что обобщенное уравнение Ферма имеет только конечное число решений ( a , b , c , m , n , k ) с различными тройками значений ( am ^, bn ^, ck ⁾ , где a , b , c — положительные взаимно простые целые числа, а m , n , k — положительные целые числа, удовлетворяющие

Утверждение касается конечности множества решений, поскольку известно 10 решений . ^[163]

Обратное уравнение Ферма

Когда мы допускаем, что показатель степени n является обратной величиной целого числа, т.е. n = 1/ m для некоторого целого числа m , мы имеем обратное уравнение Ферма. Все решения этого уравнения были вычислены Хендриком Ленстрой в 1992 году. ^[171] В случае в котором корни m- й степени должны быть вещественными и положительными, все решения даются формулой ^[172] ${\displaystyle a^{1/m}+b^{1/m}=c^{1/m}.}$

${\displaystyle a=rs^{m}}$

${\displaystyle b=rt^{m}}$

${\displaystyle c=r(s+t)^{m}}$

для натуральных чисел r , s , t, где s и t взаимно простые.

Рациональные показатели

Для диофантова уравнения с n , не равным 1, Беннетт, Гласс и Секели доказали в 2004 году для n > 2 , что если n и m взаимно просты, то существуют целочисленные решения тогда и только тогда, когда 6 делит m , и , и являются различные комплексные корни шестой степени одного и того же действительного числа. ^[173] ${\displaystyle a^{n/m}+b^{n/m}=c^{n/m}}$ ${\displaystyle a^{1/m}}$ ${\displaystyle b^{1/m},}$ ${\displaystyle c^{1/m}}$

Отрицательные целые показатели

п = ;−1

Все примитивные целочисленные решения (т. е. те, у которых нет простого множителя, общего для всех a , b и c ) оптического уравнения можно записать как ^[174] ${\displaystyle a^{-1}+b^{-1}=c^{-1}}$

${\displaystyle a=mk+m^{2},}$

${\displaystyle b=mk+k^{2},}$

${\displaystyle c=mk}$

для положительных взаимно простых целых чисел m , k .

п = −2

Случай n = −2 также имеет бесконечное число решений, и они имеют геометрическую интерпретацию в виде прямоугольных треугольников с целыми сторонами и целой высотой до гипотенузы . ^{[175] [176]} Все примитивные решения имеют вид ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$

${\displaystyle a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),}$

${\displaystyle b=2uv(v^{2}+u^{2}),}$

${\displaystyle d=2uv(v^{2}-u^{2}),}$

для взаимно простых целых чисел u , v с v > u . Геометрическая интерпретация состоит в том, что a и b — целые катеты прямоугольного треугольника, а d — целая высота до гипотенузы. Тогда сама гипотенуза есть целое число

${\displaystyle c=(v^{2}+u^{2})^{2},}$

итак ( a , b , c ) является пифагоровой тройкой .

п < -2

Для целых чисел n < −2 решений в целых числах не существует . Если бы оно было, уравнение можно было бы умножить на и получить , что невозможно по Великой теореме Ферма. ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}}$ ${\displaystyle (bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}}$

гипотеза abc

Гипотеза abc грубо утверждает, что если три положительных целых числа a , b и c (отсюда и название) взаимно просты и удовлетворяют условиям a + b = c , то радикал d из abc обычно ненамного меньше, чем c . В частности, гипотеза abc в ее наиболее стандартной формулировке подразумевает последнюю теорему Ферма для достаточно больших n . ^{[177] [178] [179]} Модифицированная гипотеза Шпиро эквивалентна гипотезе abc и, следовательно, имеет то же следствие. ^{[180] [179]} Эффективная версия гипотезы abc или эффективная версия модифицированной гипотезы Шпиро сразу вытекает из Великой теоремы Ферма. ^[179]

Призы и неверные доказательства

В 1816 и 1850 годах Французская академия наук объявила премию за общее доказательство Великой теоремы Ферма. ^{[181] [182]} В 1857 году академия наградила Куммера 3000 франков и золотую медаль за исследования идеальных чисел, хотя он не подал заявку на премию. ^[181] Другая премия была предложена в 1883 году Брюссельской академией. ^[183]

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок — крупную сумму по тем временам — Геттингенской академии наук в качестве награды за полное доказательство Великой теоремы Ферма. ^{[184] [185]} 27 июня 1908 года академия опубликовала девять правил присуждения премии. Среди прочего, эти правила требовали, чтобы доказательство было опубликовано в рецензируемом журнале; премия будет присуждена только через два года после публикации; и что после 13 сентября 2007 года, примерно через столетие после начала конкурса, премии вручаться не будут. [ ^{186 ]} 27 июня 1997 года Уайлс получил денежную премию Вольфскеля, которая на тот момент составляла 50 000 долларов. Гипотеза о модулярности полустабильных эллиптических кривых, открывающая новую эру в теории чисел». ^[188]

До доказательства Уайлса в комитет Вольфскеля были представлены тысячи неверных доказательств, что составило примерно 10 футов (3,0 метра) корреспонденции. ^[189] Только за первый год (1907–1908) была представлена ​​621 попытка доказательства, хотя к 1970-м годам скорость подачи снизилась примерно до 3–4 попыток доказательства в месяц. По некоторым утверждениям, Эдмунд Ландау имел тенденцию использовать для таких доказательств специальную заранее напечатанную форму, в которой место первой ошибки оставлялось пустым, чтобы его мог заполнить один из его аспирантов. ^[190] По словам рецензента Вольфскеля Ф. Шлихтинга, большинство доказательств основывалось на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялось «людьми с техническим образованием, но неудавшейся карьерой». ^[191] По словам историка математики Говарда Ивса , «Великая теорема Ферма отличается тем, что является математической проблемой, для которой было опубликовано наибольшее количество неверных доказательств». ^[183]

В популярной культуре

Популярность теоремы за пределами науки привела к тому, что ее описывают как достижение «редчайшего математического признания: нишевую роль в поп-культуре ». ^[192]

Чешская почтовая марка в память о доказательстве Уайлса

В рассказе Артура Порджеса 1954 года « Дьявол и Саймон Флэгг » рассказывается о математике , который торгуется с Дьяволом о том, что последний не может предоставить доказательство Великой теоремы Ферма в течение двадцати четырех часов. ^[193]

В эпизоде ​​«Симпсонов » « Волшебник вечнозеленой террасы » Гомер Симпсон пишет на доске уравнение , которое, по-видимому, является контрпримером к Великой теореме Ферма. Уравнение неверное, но оно кажется правильным, если ввести его в калькулятор с 10 значащими цифрами . ^[194] ${\textstyle 3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}}$

В эпизоде ​​« Королевский путь» сериала «Звёздный путь: Следующее поколение » капитан Пикард заявляет, что в 24 веке эта теорема до сих пор не доказана. Доказательство было опубликовано через 5 лет после выхода эпизода в эфир. ^[195]

Смотрите также

• Математический портал

• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Доказательство невозможности
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем
• Стена–Солнце–Солнце премьер

Сноски

1. Если бы показатель степени n не был простым или 4, то можно было бы записать n либо как произведение двух меньших целых чисел ( n = PQ ), в котором P — простое число, большее 2, а затем a ⁿ = a ^PQ знак равно ( a ^Q ) ^P для каждого из a , b и c . То есть эквивалентное решение также должно существовать для степени простого числа P , меньшей n ; в противном случае, поскольку n было бы степенью 2, большей, чем 4, и записывая n = 4 Q , тот же аргумент был бы справедлив.
2. Например, ${\displaystyle \left((j^{r}+1)^{s}\right)^{r}+\left(j(j^{r}+1)^{s}\right)^{r}=(j^{r}+1)^{rs+1}.}$
3. Эта эллиптическая кривая была впервые предложена в 1960-х годах Ивом Хеллегуарком  [ де ] , но он не обратил внимания на ее немодульность. Более подробную информацию см. в Hellegouarch, Yves (2001). Приглашение на математику Ферма-Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0.

Рекомендации

1. Сингх, стр. 18–20.
2. «Премия Абеля 2016 – полная цитата». Архивировано из оригинала 20 мая 2020 года . Проверено 16 марта 2016 г.
3. «Наука и технологии». Книга рекордов Гиннесса . Guinness Publishing Ltd., 1995. ISBN. 9780965238304.
4. Найджел Бостон. «Доказательство Великой теоремы Ферма» (PDF) . п. 5.
5. Бюлер Дж., Крэнделл Р., Эрнвалл Р., Мецянкюля Т. (1993). «Неправильные простые числа и круговые инварианты до четырех миллионов». Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (203): 151–153. Бибкод : 1993MaCom..61..151B. дои : 10.2307/2152942 . JSTOR  2152942.
6. Сингх, с. 223
7. Сингх 1997, стр. 203–205, 223, 226.
8. Сингх, с. 144 цитирует реакцию Уайлса на эту новость: «Я был наэлектризован. В тот момент я знал, что ход моей жизни меняется, потому что это означало, что для доказательства Великой теоремы Ферма все, что мне нужно было сделать, это доказать гипотезу Таниямы-Шимуры. что моя детская мечта теперь стала достойным делом, над которым стоит работать».
9. Сингх, с. 144
10. Даймонд, Фред (июль 1996 г.). «О кольцах деформации и кольцах Гекке». Анналы математики . 144 (1): 137–166. дои : 10.2307/2118586. JSTOR  2118586.
11. Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999). «Модульность некоторых потенциально представлений Барсотти-Тейт Галуа». Журнал Американского математического общества . 12 (2): 521–567. дои : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 . ISSN  0894-0347.
12. Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (15 мая 2001 г.). «О модулярности эллиптических кривых над Q {\displaystyle \mathbf {Q} } : Wild 3 {\displaystyle 3} -адические упражнения». Журнал Американского математического общества . 14 (4): 843–939. дои : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN  0894-0347.
13. Кастельвекки, Давиде (15 марта 2016 г.). «Последняя теорема Ферма принесла Эндрю Уайлсу Абелевскую премию». Природа . 531 (7594): 287. Бибкод : 2016Natur.531..287C. дои : 10.1038/nature.2016.19552 . PMID  26983518. S2CID  4383161.
14. Британский математик сэр Эндрю Уайлс получает математическую премию Абеля – The Washington Post.
15. Решена 300-летняя математическая задача, профессор выиграл 700 тысяч долларов - CNN.com.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Великая теорема Ферма». MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 7 мая 2021 г.
17. Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 448. дои : 10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Предложение Фрея в обозначениях следующей теоремы заключалось в том, чтобы показать, что (гипотетическая) эллиптическая кривая y ² = x ( x + up )( x – v ^{p )} не может быть модулярной .
18. Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Математические изобретения . 100 (2): 432. Бибкод : 1990InMat.100..431R. дои : 10.1007/BF01231195. hdl : 10338.dmlcz/147454. MR  1047143. S2CID  120614740.
19. Стиллвелл Дж (2003). Элементы теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 110–112. ISBN 0-387-95587-9. Проверено 17 марта 2016 г.
20. Аксель 1996, стр. 13–15.
21. Старк 1978, стр. 151–155.
22. Старк 1978, стр. 145–146.
23. Сингх, стр. 50–51.
24. Старк 1978, с. 145
25. Аксель 1996, стр. 44–45.
26. Сингх, стр. 56–58.
27. Аксель 1996, стр. 14–15.
28. Старк 1978, стр. 44–47.
29. Фриберг 2007, стр. 333–334.
30. Диксон 1919, с. 731
31. Сингх, стр. 60–62.
32. Аксель 1996, с. 9
33. Т. Хит, Диофант Александрийский , второе издание, Cambridge University Press, 1910, переиздано Дувром, штат Нью-Йорк, 1964, стр. 144–145.
34. Манин и Панчишкин 2007, с. 341
35. Сингх, стр. 62–66.
36. Сингх, с. 67
37. Аксель 1996, с. 10
38. Рибенбойм, стр. 13, 24.
39. ван дер Поортен, Примечания и замечания 1.2, стр. 5
40. ван дер Портен, лок. цит.
41. Андре Вейль (1984). Теория чисел: подход через историю. От Хаммурапи до Лежандра . Базель, Швейцария: Биркхойзер. п. 104.
42. Документальный фильм BBC.^{[ мертвая ссылка на YouTube ]}
43. Фриман Л. (12 мая 2005 г.). «Одно доказательство Ферма» . Проверено 23 мая 2009 г.
44. Диксон 1919, стр. 615–616.
45. Aczel 1996, с. 44
46. Рибенбойм, стр. 15–24.
47. Френикль де Бесси, Traité des Triangles Rectangles en Nombres , vol. I, 1676, Париж. Перепечатано в Mém. акад. Рой. наук. , 5 , 1666–1699 (1729)
48. Эйлер Л. (1738). «Демонстрации Theorematum quorundam arithmeticorum». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 10 : 125–146.. Переиздание Opera omnia , сер. I, «Commentationes Arithmeticae», том. I, стр. 38–58, Лейпциг: Тойбнер (1915).
49. Kausler CF (1802). «Новая демонстрация теоремы, не связанная с суммой, не дифференцируемая дуорум куборум кубум эссе posse». Novi Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 13 : 245–253.
50. Барлоу П. (1811). Элементарное исследование теории чисел . Двор церкви Святого Павла, Лондон: Дж. Джонсон. стр. 144–145.
51. Лежандр AM (1830). Теория де Номбрес (Том II) (3-е изд.). Париж: Фирмен Дидо Фрер.Перепечатано в 1955 г. А. Бланшаром (Париж).
52. Схопис (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik . Гуммбиннен: Программа.
53. Теркем О (1846). «Теоремы о силах номбров». Новые анналы математики . 5 : 70–87.
54. Бертран Дж (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre . Париж: Хашетт. стр. 217–230, 395.
55. Лебег В.А. (1853). «Решение биквадратичных уравнений z ² знак равно x ⁴ ± 2 ^м y ⁴ , z ² знак равно 2 ^м x ⁴ - y ⁴ , 2 ^м z ^{2 знак} равно x ⁴ ± y ⁴ ». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 18 : 73–86.
    Лебег В.А. (1859). Упражнения по цифровому анализу . Париж: Лейбер и Фараге. стр. 83–84, 89.
    Лебег В.А. (1862). Введение в духе Теории Номбров . Париж: Малле-Башелье. стр. 71–73.
56. Пепин Т (1883). «Этюд по неопределенному уравнению ax ⁴ + by ⁴ = cz ² ». Атти Национальной Академии Линчеи. Класс физических, математических и естественных наук. Рендиконти Линчеи. Серия IX. Математика и приложения . 36 : 34–70.
57. А. Тафельмахер (1893). «Об обучении x4 + y4 = z4». Аналитики Университета Чили . 84 : 307–320.
58. Гильберт Д. (1897). «Теория алгебраической теории». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 : 175–546.Перепечатано в 1965 году в Gesammelte Abhandlungen, vol. Я по Нью-Йорку: Челси.
59. Бендз Т.Р. (1901). Öfver diophantiska ekvationen x ^n' + y ⁿ = z ⁿ (Диссертация). Уппсала: Альмквист и Викселлс Боктрикен.
60. Гамбиоли Д (1901). «Библиографическая память о последней теории Ферма». Периодика математики . 16 : 145–192.
61. Кронекер Л. (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. Я. _ Лейпциг: Тойбнер. стр. 35–38.Перепечатано New York: Springer-Verlag в 1978 году.
62. Банг А (1905). «Нет Бевиса в Лигнигене x ⁴ - y ⁴ = z ⁴ , я не могу иметь обоснование Лёзингера». Ныт Тидсскрифт для Математика . 16Б : 31–35. JSTOR  24528323.
63. Соммер Дж (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie . Лейпциг: Тойбнер.
64. Боттари А (1908). «Интересное решение питагорического уравнения и применение всех теоретических решений теории чисел». Периодика математики . 23 : 104–110.
65. Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для n  = 4 и n  = 3 (на чешском языке)». Časopis Pro Pestování Matematicy and Fysiky . 39 : 65–86.
66. Нуцхорн Ф (1912). «День убестемте Выравнивание x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ ». Ныт Тидсскрифт для Математика . 23Б : 33–38.
67. Кармайкл Р.Д. (1913). «О невозможности некоторых диофантовых уравнений и систем уравнений». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 20 (7): 213–221. дои : 10.2307/2974106. JSTOR  2974106.
68. Хэнкок Х (1931). Основы теории алгебраических чисел, том. Я. _ Нью-Йорк: Макмиллан.
69. Врончану Г (1966). «Asupra teorema lui Fermat pentru n =4». Газета Математика Серия А. 71 : 334–335.Перепечатано в 1977 году в Opera matematica , vol. 4, стр. 202–205, Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
70. Грант, Майк, и Перелла, Малкольм, «Спускаясь к иррациональному», Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., стр. 263–267.
71. Барбара, Рой, «Последняя теорема Ферма в случае n = 4», Mathematical Gazette 91, июль 2007 г., 260–262.
72. спуска до бесконечности Ферма », Mathematical Gazette 95, июль 2011 г., 269–271.
73. Рибенбойм, стр. 1–2.
74. Диксон 1919, с. 545
75. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Абу Махмуд Хамид ибн аль-Хидр Аль-Худжанди». MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
76. Эйлер Л (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra , Рой. акад. наук, Санкт-Петербург.
77. Фриман Л. (22 мая 2005 г.). «Великая теорема Ферма: доказательство для n = 3» . Проверено 23 мая 2009 г.
78. Рибенбойм, стр. 24–25.
79. Морделл 1921, стр. 6–8.
80. Эдвардс 1996, стр. 39–40.
81. Эдвардс 1996, стр. 40, 52–54.
82. Джей Джей Мачис (2007). «О гипотетическом доказательстве Эйлера». Математические заметки . 82 (3–4): 352–356. дои : 10.1134/S0001434607090088. МР  2364600. S2CID  121798358.
83. Рибенбойм, стр. 33, 37–41.
84. Лежандр AM (1823). «Исследования вопросов неопределенного и частного анализа теории Ферма». Мемуары Королевской академии наук . 6 :1–60.Перепечатано в 1825 году как «Второе приложение» к печати 2-го издания Essai sur la Théorie des Nombres , Courcier (Париж). Также переиздано в 1909 году в «Сфинкс-Эдипе» , 4 , 97–128.
85. Кальцолари Л (1855). Ориентировочно, чтобы объяснить теорию Ферма по неопределенному уравнению x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ . Феррара.
86. Ламе Дж. (1865). «Этюд кубических биномов x ³ ± y ³ ». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 61 : 921–924, 961–965.
87. Тейт П.Г. (1872). «Математические заметки». Труды Королевского общества Эдинбурга . 7 : 144. дои : 10.1017/s0370164600041857.
88. Гюнтер, С. (1878). «Ueber die unbestimmte Gleichung x3 + y3 = a3». Sitzungsberichte der Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften в Праге : 112–120.
89. Крей, Х. (1909). «Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes». Mathematich-Naturwissenschaftliche Blätter . 6 (12): 179–180.
90. Штокхаус H (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes . Лейпциг: Брандштеттер.
91. Кармайкл Р.Д. (1915). Диофантовый анализ . Нью-Йорк: Уайли.
92. дер Корпут JG (1915). «Quelques образует квадратичные и quelques неопределенные уравнения». Новый архив для Вискунде . 11 : 45–75.
93. Туэ, Аксель (1917). «Et bevis for at ligningen A3 + B3 = C3 er unmulig i hele tal franul forskjellige tal A, B и C». Архив Mathematik og Naturvidenskab . 34 (15): 3–7.Перепечатано в Selected Mathematical Papers (1977), Осло: Universitetsforlaget, стр. 555–559.
94. Дуарте FJ (1944). «Sobre la ecuacion x ³ + y ³ + z ³ = 0». Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales (Каракас) . 8 : 971–979.
95. Фриман Л. (28 октября 2005 г.). «Великая теорема Ферма: доказательство для n = 5» . Проверено 23 мая 2009 г.
96. Рибенбойм, с. 49
97. Морделл 1921, стр. 8–9.
98. Сингх, с. 106
99. Рибенбойм, стр. 55–57.
100. Гаусс CF (1875). «Новая теория Zerlegung der Cuben». Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, vol. II (2-е изд.). Кенигль. Гес. Висс. Геттинген. стр. 387–391.(Опубликовано посмертно)
101. Лебег В.А. (1843). «Новые теории по неопределенному уравнению x ⁵ + y ⁵ = az ⁵ ». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 8 : 49–70.
102. Ламе Дж. (1847). «Запоминание о разрешении комплексных чисел A ⁵ + B ⁵ + C ⁵ = 0». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 137–171.
103. Гамбиоли Д (1903–1904). «Intorno all'ultimo teorema di Fermat». Иль Питагора . 10 : 11–13, 41–42.
104. Веребрусов А.С. (1905). «Об уравнении х ⁵ + у ⁵ = Аз ⁵ » . Москва. Математика. Саммл . 25 : 466–473.
105. Рычлик К (1910). «О последней теореме Ферма для n  = 5 (по-чешски) ». Часопис Пест. Мат . 39 : 185–195, 305–317.
106. Терджанян Г (1987). «К вопросу о В.А. Лебеге». Анналы Института Фурье . 37 (3): 19–37. дои : 10.5802/aif.1096 .
107. Рибенбойм, стр. 57–63.
108. Морделл 1921, с. 8
109. Ламе Дж. (1839). «Мемуар о последней теории Ферма». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 9 : 45–46.
     Ламе Г. (1840 г.). «Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation x ⁷ + y ⁷ = z ⁷ невозможна в нескольких частях». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 195–211.
110. Лебег В.А. (1840). «Демонстрация невозможности решения уравнения x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0 в разных числах». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 276–279, 348–349.
111. Фриман Л. (18 января 2006 г.). «Великая теорема Ферма: доказательство для n = 7» . Проверено 23 мая 2009 г.
112. Генокки А (1864). «Условно все уравнения x7 + y7 + z7 = 0». Аннали ди Математика Pura ed Applicata . 6 : 287–288. дои : 10.1007/bf03198884. S2CID  124916552.
     Генокки А (1874 г.). «Sur l'impossabilité de quelques égalités doubles». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 78 : 433–436.
     Генокки А (1876 г.). «Обобщение теории Ламе о невозможности уравнения x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 910–913.
113. Пепин Т (1876). «Невозможность уравнения x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 676–679, 743–747.
114. Майе Э (1897). «Sur l'equation indéterminée axλt + byλt = czλt». Французская ассоциация развития наук, Сент-Этьен, завершение 26-й сессии, вторая вечеринка . 26 : 156–168.
115. Туэ А (1896). «Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen». Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter . 7 .Перепечатано в Selected Mathematical Papers , стр. 19–30, Осло: Universitetsforlaget (1977).
116. Тафельмахер WLA (1897). «La ecuación x ³ + y ³ = z ² : Una demostración nueva del theorema de Fermat para el caso de las sestas potencias». Аналитики Университета Чили . 97 : 63–80.
117. Линд Б. (1909). «Einige zahlentheoretische Sätze». Архив математики и физики . 15 : 368–369.
118. Капферер Х (1913). «Beweis des Fermatschen Satzes für die Expenten 6 и 10». Архив математики и физики . 21 : 143–146.
119. Свифт Э (1914). «Решение задачи 206». Американский математический ежемесячник . 21 (7): 238–239. дои : 10.2307/2972379. JSTOR  2972379.
120. Бреуш Р. (1960). «Простое доказательство последней теоремы Ферма для n  = 6, n  = 10». Журнал «Математика» . 33 (5): 279–281. дои : 10.2307/3029800. JSTOR  3029800.
121. Дирихле PGL (1832). «Демонстрация теории Ферма для 14 ^{случаев} мощи». Журнал для королевы и математики . 9 : 390–393.Перепечатано в Werke , вып. I, стр. 189–194, Берлин: Г. Реймер (1889); переиздано Нью-Йорк: Челси (1969).
122. Терджанян Г (1974). «L'équation x ¹⁴ + y ¹⁴ = z ¹⁴ в числах». Бюллетень математических наук . Серия 2. 98 : 91–95.
123. Эдвардс 1996, стр. 73–74.
124. Эдвардс 1996, с. 74
125. Диксон 1919, с. 733
126. Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 51–54. ISBN 978-0-387-90432-0.
127. Сингх, стр. 97–109.
128. Лаубенбахер Р., Пенгелли Д. (2007). «Voici ce que j'ai trouvé: грандиозный план Софи Жермен по доказательству Великой теоремы Ферма» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 апреля 2013 года . Проверено 19 мая 2009 г.
129. Аксель 1996, с. 57
130. Терджанян, Г. (1977). «Sur l'équation x ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 p} ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 285 : 973–975.
131. Адлеман Л.М., Хит-Браун Д.Р. (июнь 1985 г.). «Первый случай последней теоремы Ферма». Математические изобретения . Берлин: Шпрингер. 79 (2): 409–416. Бибкод : 1985InMat..79..409A. дои : 10.1007/BF01388981. S2CID  122537472.
132. Эдвардс 1996, с. 79
133. Аксель 1996, стр. 84–88.
134. Сингх, стр. 232–234.
135. Фальтингс Г (1983). «Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern». Математические изобретения . 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F. дои : 10.1007/BF01388432. S2CID  121049418.
136. Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 202. ИСБН 978-0-387-90432-0.
137. Вагстафф СС младший (1978). «Нерегулярные простые числа до 125000». Математика вычислений . Американское математическое общество. 32 (142): 583–591. дои : 10.2307/2006167. JSTOR  2006167.(PDF) Архивировано 24 октября 2012 г. в Wayback Machine.
138. Хэмкинс, Джоэл Дэвид (15 июня 2010 г.). «Примеры возможных контрпримеров, ответ Дж. Д. Хэмкинса». mathoverflow.net . Проверено 15 июня 2017 г.
139. Великая теорема Ферма, Саймон Сингх, 1997, ISBN 1-85702-521-0 
140. Фрей Дж. (1986). «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями». Annales Universitatis Saraviensis. Серия Математика . 1 :1–40.
141. Сингх, стр. 194–198.
142. Аксель 1996, стр. 109–114.
143. Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Математические изобретения . 100 (2): 431–476. Бибкод : 1990InMat.100..431R. дои : 10.1007/BF01231195. hdl : 10338.dmlcz/147454. MR  1047143. S2CID  120614740.
144. Сингх, с. 205
145. Аксель 1996, стр. 117–118.
146. Сингх, стр. 237–238.
147. Аксель 1996, стр. 121–122.
148. Сингх, стр. 239–243.
149. Аксель 1996, стр. 122–125.
150. Сингх, стр. 244–253.
151. Aczel 1996, стр. 1–4, 126–128.
152. Аксель 1996, стр. 128–130.
153. Сингх, с. 257
154. Сингх, стр. 269–277.
155. Год спустя в математическом доказательстве сохраняется загвоздка, 28 июня 1994 г.
156. 26 июня – 2 июля; Год спустя загадка Ферма все еще не совсем QED 3 июля 1994 г.
157. Сингх, стр. 175–185.
158. Аксель 1996, стр. 132–134.
159. Сингх стр. 186–187 (текст сокращен)
160. Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. дои : 10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала (PDF) 28 июня 2003 года.
161. «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» (PDF) .
162. Тейлор Р. , Уайлс А. (1995). «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке». Анналы математики . 141 (3): 553–572. дои : 10.2307/2118560. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала 27 ноября 2001 года.
163. Барроу-Грин, июнь; Лидер Имре; Гауэрс, Тимоти (2008). Принстонский спутник математики. Издательство Принстонского университета. стр. 361–362. ISBN 9781400830398.
164. "Маулдин / Гипотеза Тиждемана-Загира" . Главные головоломки . Проверено 1 октября 2016 г.
165. Элкис, Ноам Д. (2007). «Азбука теории чисел» (PDF) . Обзор математики Гарвардского колледжа . 1 (1).
166. Мишель Вальдшмидт (2004). «Открытые диофантовые задачи». Московский математический журнал . 4 : 245–305. arXiv : math/0312440 . дои : 10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305. S2CID  11845578.
167. Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2000). Простые числа: вычислительная перспектива . Спрингер. п. 417. ИСБН 978-0387-25282-7.
168. "Гипотеза Била". Американское математическое общество . Проверено 21 августа 2016 г.
169. Цай, Тяньсинь; Чен, Дэйи; Чжан, Юн (2015). «Новое обобщение Великой теоремы Ферма». Журнал теории чисел . 149 : 33–45. arXiv : 1310.0897 . дои : 10.1016/j.jnt.2014.09.014. S2CID  119732583.
170. Михайлеску, Преда (2007). «Циклотомное исследование гипотезы Каталана – Ферма». Математика Геттингенсис .
171. Ленстра-младший HW (1992). «Об обратном уравнении Ферма». Дискретная математика . 106–107: 329–331. дои : 10.1016/0012-365x(92)90561-s.
172. Ньюман М (1981). «Радикальное диофантово уравнение». Журнал теории чисел . 13 (4): 495–498. дои : 10.1016/0022-314x(81)90040-8 .
173. Беннетт, Кертис Д.; Стекло, AMW; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячник . 111 (4): 322–329. дои : 10.2307/4145241. JSTOR  4145241. MR  2057186.
174. Диксон 1919, стр. 688–691.
175. Воулс, Роджер (июль 1999 г.). «Целочисленные решения a ⁻²  +  b ⁻²  =  d ⁻² ». Математический вестник . 83 (497): 269–271. дои : 10.2307/3619056. JSTOR  3619056. S2CID  123267065.
176. Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.). «Перевернутая теорема Пифагора». Математический вестник . 92 : 313–317. дои : 10.1017/S0025557200183275. S2CID  125989951.
177. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 211. Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. п. 196.
178. Элкис, Ноам (1991). «ABC подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. дои : 10.1155/S1073792891000144 . Наше доказательство обобщает известную импликацию «эффективный ABC [стрелка вправо] в конечном итоге Ферма», которая была исходной мотивацией для гипотезы ABC.
179. Гранвиль, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так же просто, как abc» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (10): 1224–1231.
180. Остерле, Джозеф (1988). «Новые подходы к «теореме» Ферма». Астериск . Семинар Бурбаки, опыт 694 (161): 165–186. ISSN  0303-1179. МР  0992208.
181. Aczel 1996, с. 69
182. Сингх, с. 105
183. Коши Т (2001). Элементарная теория чисел с приложениями . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 544. ИСБН 978-0-12-421171-1.
184. Сингх, стр. 120–125, 131–133, 295–296.
185. Аксель 1996, с. 70
186. Сингх, стр. 120–125.
187. Сингх, с. 284
188. "Цитата на Абелевскую премию 2016" . Абелевская премия . Комитет Абелевской премии. Март 2016 года . Проверено 16 марта 2016 г.
189. Сингх, с. 295
190. Колеса, жизнь и другие математические развлечения , Мартин Гарднер
191. Сингх, стр. 295–296.
192. Гармон, Джей (21 февраля 2006 г.). «Geek Trivia: Математика мифа». Техреспублика . Проверено 21 мая 2022 г.
193. Касман, Алекс (январь 2003 г.). «Математика в художественной литературе: междисциплинарный курс». ПРИМУС . 13 (1): 1–16. дои : 10.1080/10511970308984042. ISSN  1051-1970. S2CID  122365046.
194. Сингх, Саймон (2013). Симпсоны и их математические секреты. А&С Черный. стр. 35–36. ISBN 978-1-4088-3530-2.
195. Моузман, Эндрю (1 сентября 2017 г.). «Вот забавная математическая глупость из «Звездного пути: Следующее поколение»». Популярная механика . Проверено 9 июня 2023 г.

Библиография

• Аксель, Амир (1996). Великая теорема Ферма: раскрытие тайны древней математической задачи. Четыре стены, восемь окон. ISBN 978-1-56858-077-7.
• Диксон, Л.Е. (1919). История теории чисел . Диофантовый анализ. Том. II. Нью-Йорк: Издательство Челси. стр. 545–550, 615–621, 688–691, 731–776.
• Эдвардс, Х.М. (1996) [1977]. Великая теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 50. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90230-2.
• Фриберг, Йоран (2007). Удивительные следы вавилонского происхождения в греческой математике . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-270-452-8.
• Кляйнер, я (2000). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой» (PDF) . Элементы математики . 55 : 19–37. дои : 10.1007/PL00000079. S2CID  53319514. Архивировано из оригинала (PDF) 8 июня 2011 года.
• Морделл, ЖЖ (1921). Три лекции по Великой теореме Ферма . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Манин Юрий Иванович; Панчишкин, Алексей Алексеевич (2007). «Фундаментальные проблемы, идеи и теории». Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (2-е изд.). Берлин Хедельберг: Springer. ISBN 978-3-540-20364-3.
• Рибенбойм, П. (2000). Великая теорема Ферма для любителей . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4.
• Сингх, С. (1998). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.
• Старк, Х. (1978). Введение в теорию чисел. МТИ Пресс. ISBN 0-262-69060-8.

дальнейшее чтение

• Белл, Эрик Т. (1998) [1961]. Последняя проблема . Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-451-8.
• Бенсон, Дональд К. (2001). Момент доказательства: математические прозрения . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-513919-8.
• Бруднер, Харви Дж. (1994). Ферма и недостающие числа . WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3.
• Фальтингс Г. (июль 1995 г.). «Доказательство Великой теоремы Ферма Р. Тейлором и А. Уайлсом» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 42 (7): 743–746. ISSN  0002-9920.
• Моццочи, Чарльз (2000). Дневник Ферма . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2670-6.
• Рибенбойм П. (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0.
• ван дер Портен, Альф (1996). Заметки о Великой теореме Ферма . Уайли Блэквелл. ISBN 978-0-471-06261-5.
• Сайкиа, Манджил П. (июль 2011 г.). «Исследование доказательства Куммера Великой теоремы Ферма для правильных простых чисел» (PDF) . Отчет о летнем проекте IISER Мохали (Индия) . arXiv : 1307.3459 . Бибкод : 2013arXiv1307.3459S. Архивировано из оригинала (PDF) 22 сентября 2015 года . Проверено 9 марта 2014 г.
• Стивенс, Гленн (1997). «Обзор доказательства Великой теоремы Ферма». Модульные формы и Великая теорема Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 1–16. ISBN 0-387-94609-8.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с последней теоремой Ферма, на Викискладе?
• Дэйни, Чарльз (2003). «Математика Великой теоремы Ферма». Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года . Проверено 5 августа 2004 г.
• Элкис, Ноам Д. «Таблицы «почти промахов» Ферма - приближенные решения xn + yn = zn».
• Фриман, Ларри (2005). «Блог о Великой теореме Ферма».Блог, посвященный истории Великой теоремы Ферма от Ферма до Уайлса.
• «Последняя теорема Ферма». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Рибет, Кеннет А. (1995). «Представления Галуа и модульные формы». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 32 (4): 375–402. arXiv : математика/9503219 . дои : 10.1090/S0273-0979-1995-00616-6. MR  1322785. S2CID  16786407.Обсуждается различный материал, связанный с доказательством Великой теоремы Ферма: эллиптические кривые, модулярные формы, представления Галуа и их деформации, конструкция Фрея, а также гипотезы Серра и Таниямы-Шимуры.
• Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма» . Проверено 14 января 2017 г.История, история и загадка.
• Вайсштейн, Эрик В. «Великая теорема Ферма». Математический мир .
• О'Коннор Дж.Дж., Робертсон Э.Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Архивировано из оригинала 4 августа 2004 года . Проверено 5 августа 2004 г.
• "Доказательство". ПБС .В названии одного из выпусков телесериала PBS «НОВА» обсуждаются попытки Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма.
• «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)».Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса.