Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле ( нем. [ləˈʒœn diʁiˈkleː] ; [1] 13 февраля 1805 — 5 мая 1859) — немецкий математик , внесший вклад в теорию чисел (включая создание области аналитической теории чисел ) и в теорию Ряды Фурье и другие темы математического анализа ; ему приписывают то, что он был одним из первых математиков, давших современное формальное определение функции .
Хотя его фамилия — Лежен Дирихле, его обычно называют его мононимом Дирихле , в частности, из-за результатов, названных в его честь.
Густав Лежен Дирихле родился 13 февраля 1805 года в Дюрене , городе на левом берегу Рейна, который в то время входил в состав Первой Французской империи , отошедшей к Пруссии после Венского конгресса в 1815 году. Его отец Иоганн Арнольд Лежен Дирихле был почтмейстером, купцом и членом городского совета. Его дед по отцовской линии приехал в Дюрен из Ришелетт (или, скорее, Ришель ), небольшого поселения в 5 км (3 милях) к северо-востоку от Льежа в Бельгии , откуда и пошла его фамилия «Лежен Дирихле» (« le jeune de Richelette », по- французски «юноша из Ришельт») было получено. [2]
Хотя его семья не была богатой, и он был младшим из семи детей, родители поддерживали его образование. Его записали в начальную школу, а затем в частную школу в надежде, что позже он станет купцом. Юный Дирихле, проявивший сильный интерес к математике еще до 12 лет, убедил родителей позволить ему продолжить учебу. В 1817 году его отправили в Боннскую гимназию под присмотр Петера Йозефа Эльвенича , студента, которого знала его семья. В 1820 году Дирихле перешёл в иезуитскую гимназию в Кёльне , где уроки у Георга Ома помогли расширить его познания в математике. Год спустя он покинул гимназию, имея только аттестат, так как неспособность бегло говорить по- латыни помешала ему получить аттестат зрелости . [2]
Дирихле снова убедил своих родителей оказать дополнительную финансовую поддержку его учебе по математике, вопреки их желанию сделать карьеру в области права. Поскольку в то время в Германии было мало возможностей для изучения высшей математики ( в Геттингенском университете учился только Гаусс , который номинально был профессором астрономии и в любом случае не любил преподавание), Дирихле решил поехать в Париж в мае 1822 года. Там он посещал занятия в колледже . де Франс и в Парижском университете , изучая математику, в частности, у Ашетта , одновременно занимаясь частным изучением «Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса , книги, которую он хранил при себе всю свою жизнь. В 1823 году его порекомендовали генералу Максимилиану Фою , который нанял его в качестве частного репетитора для обучения своих детей немецкому языку . Заработная плата, наконец, позволила Дирихле стать независимым от финансовой поддержки родителей. [3]
Его первое оригинальное исследование, включающее часть доказательства Великой теоремы Ферма для случая n = 5 , принесло ему немедленную известность, став первым достижением в этой теореме после собственного доказательства Ферма для случая n = 4 и доказательства Эйлера . для n = 3 . Адриен-Мари Лежандр , один из рефери, вскоре завершил доказательство по этому делу; Дирихле завершил свое собственное доказательство вскоре после Лежандра, а несколько лет спустя представил полное доказательство для случая n = 14 . [4] В июне 1825 года его приняли читать лекцию по частичному доказательству для случая n = 5 во Французской академии наук , что было исключительным подвигом для 20-летнего студента без ученой степени. [2] Его лекция в Академии также поставила Дирихле в тесный контакт с Фурье и Пуассоном , которые повысили его интерес к теоретической физике , особенно к аналитической теории тепла Фурье .
Поскольку генерал Фой умер в ноябре 1825 года и не смог найти оплачиваемую должность во Франции, Дирихле был вынужден вернуться в Пруссию. Фурье и Пуассон представили его Александру фон Гумбольдту , призванному присоединиться ко двору короля Фридриха Вильгельма III . Гумбольдт, планируя сделать Берлин центром науки и исследований, немедленно предложил свою помощь Дирихле, направив письма в его пользу прусскому правительству и в Прусскую академию наук . Гумбольдт также получил рекомендательное письмо от Гаусса, который, прочитав свои мемуары о теореме Ферма, написал с необычной похвалой, что «Дирихле проявил превосходный талант». [5] При поддержке Гумбольдта и Гаусса Дирихле предложили должность преподавателя в университете Бреслау . Однако, поскольку он не защитил докторскую диссертацию, он представил свои мемуары о теореме Ферма в качестве диссертации в Боннский университет . И снова его незнание латыни лишило его возможности провести необходимое публичное обсуждение его диссертации; после долгих обсуждений университет решил обойти проблему, присвоив ему степень почетного доктора в феврале 1827 года. Кроме того, министр образования предоставил ему разрешение на диспут по латыни, необходимый для получения хабилитации . Дирихле получил хабилитацию и в 1827–28 году читал лекции в качестве приват-доцента в Бреслау . [2]
Находясь в Бреслау, Дирихле продолжил свои исследования в области теории чисел, опубликовав важный вклад в биквадратичный закон взаимности , который в то время был в центре внимания исследований Гаусса. Александр фон Гумбольдт воспользовался этими новыми результатами, которые также вызвали восторженную похвалу со стороны Фридриха Бесселя , чтобы организовать для него желанный перевод в Берлин. Учитывая молодой возраст Дирихле (в то время ему было 23 года), Гумбольдт смог устроить его лишь на пробную должность в Прусской военной академии в Берлине, номинально оставаясь при этом работающим в Университете Бреслау. Испытательный срок был продлен на три года, пока положение не стало определенным в 1831 году.
После переезда Дирихле в Берлин Гумбольдт познакомил его с большими салонами , которыми владел банкир Авраам Мендельсон Бартольди и его семья. Их дом был еженедельным местом сбора берлинских художников и ученых, в том числе детей Авраама Феликса и Фанни Мендельсон , выдающихся музыкантов, а также художника Вильгельма Хензеля (мужа Фанни). Дирихле проявил большой интерес к дочери Авраама Ребекке, на которой женился в 1832 году.
Ребекка Генриетта Лежен Дирихле (урожденная Ребекка Мендельсон; 11 апреля 1811 — 1 декабря 1858) была внучкой Моисея Мендельсона и младшей сестрой Феликса Мендельсона и Фанни Мендельсон . [6] [7] Ребекка родилась в Гамбурге . [8] В 1816 году ее родители организовали ее крещение, после чего она взяла имя Ребекка Генриетта Мендельсон Бартольди. [9] Она стала частью известного салона своих родителей, Авраама Мендельсона и его жены Леи, имея социальные контакты с важными музыкантами, художниками и учеными в очень творческий период немецкой интеллектуальной жизни. В 1829 году она исполнила небольшую роль на премьере оперы Феликса «Die Heimkehr aus der Fremde» , состоявшейся в доме Мендельсона . Позже она написала:
Мои старшие брат и сестра украли мою репутацию художника. В любой другой семье меня бы высоко ценили как музыканта и, возможно, возглавили бы группу. Рядом с Феликсом и Фанни я не мог претендовать ни на какое признание. [10]
В 1832 году она вышла замуж за Дирихле, которого познакомил с семьей Мендельсона Александр фон Гумбольдт . [11] В 1833 году у них родился первый сын Уолтер. Она умерла в Геттингене в 1858 году .
Как только он приехал в Берлин, Дирихле подал заявление на чтение лекций в Берлинском университете , и министр просвещения одобрил перевод и в 1831 году определил его на философский факультет . Факультет потребовал от него пройти повторную хабилитационную квалификацию, и хотя Дирихле написал Habilitationsschrift по мере необходимости, он отложил чтение обязательной лекции на латыни еще на 20 лет, до 1851 года. Поскольку он не выполнил это формальное требование, он остался прикрепленным к профессорско-преподавательский состав с менее чем полными правами, включая ограниченное вознаграждение, что вынуждало его параллельно сохранять преподавательскую должность в Военном училище. В 1832 году Дирихле стал членом Прусской академии наук , самым молодым членом которой было всего 27 лет. [2]
Дирихле пользовался хорошей репутацией среди студентов благодаря ясности своих объяснений, и ему нравилось преподавать, особенно потому, что его университетские лекции, как правило, были посвящены более сложным темам, по которым он проводил исследования: теории чисел (он был первым немецким профессором, читавшим лекции по теория чисел), анализ и математическая физика . Он консультировал докторских диссертаций нескольких важных немецких математиков, таких как Готхольд Эйзенштейн , Леопольд Кронекер , Рудольф Липшиц и Карл Вильгельм Борхардт , а также оказал влияние на математическое формирование многих других ученых, в том числе Элвина Бруно Кристоффеля , Вильгельма Вебера , Эдуарда Гейне , Людвига фон Зейдель и Юлиус Вайнгартен . В Военной академии Дирихле сумел ввести в учебную программу дифференциальное и интегральное исчисление , повысив там уровень научного образования. Однако постепенно он начал чувствовать, что его двойная преподавательская нагрузка в Военной академии и университете ограничивает время, отведенное для его исследований. [2]
Находясь в Берлине, Дирихле поддерживал контакты с другими математиками. В 1829 году во время путешествия он встретил Карла Якоби , в то время профессора математики Кенигсбергского университета . На протяжении многих лет они продолжали встречаться и переписываться по исследовательским вопросам, со временем став близкими друзьями. В 1839 году во время визита в Париж Дирихле встретил Жозефа Лиувиля , два математика стали друзьями, поддерживали контакт и даже навещали друг друга семьями несколько лет спустя. В 1839 году Якоби прислал Дирихле статью Эрнста Куммера , в то время школьного учителя. Осознав потенциал Куммера, они помогли ему быть избранным в Берлинскую академию и в 1842 году добились для него полной профессорской должности в университете Бреслау. В 1840 году Куммер женился на Оттилии Мендельсон, двоюродной сестре Ребекки.
В 1843 году, когда Якоби заболел, Дирихле отправился в Кенигсберг, чтобы помочь ему, а затем заручился помощью личного врача короля Фридриха Вильгельма IV . Когда врач рекомендовал Якоби провести некоторое время в Италии, Дирихле присоединился к нему в поездке вместе со своей семьей. В Италию их сопровождал Людвиг Шлефли , приехавший в качестве переводчика; поскольку он сильно интересовался математикой, Дирихле и Якоби читали ему лекции во время поездки, а позже он сам стал выдающимся математиком. [2] Семья Дирихле продлила свое пребывание в Италии до 1845 года, там родилась их дочь Флора. В 1844 году Якоби переехал в Берлин в качестве королевского пенсионера, и их дружба стала еще ближе. В 1846 году, когда Гейдельбергский университет попытался завербовать Дирихле, Якоби предоставил фон Гумбольдту необходимую поддержку, чтобы добиться удвоения зарплаты Дирихле в университете и удержать его в Берлине; однако и тогда ему не выплачивали полную профессорскую зарплату, и он не мог покинуть Военную академию. [12]
Придерживаясь либеральных взглядов, Дирихле и его семья поддержали революцию 1848 года ; он даже охранял с винтовкой дворец принца Прусского. После провала революции Военная академия временно закрылась, что привело к большой потере дохода. Когда он вновь открылся, окружающая среда стала к нему более враждебной, поскольку от офицеров, которых он обучал, ожидалось, что они будут лояльны существующему правительству. Некоторые представители прессы, не перешедшие на сторону революции, указывали на него, как и на Якоби и других либеральных профессоров, как на «красный контингент персонала». [2]
В 1849 году Дирихле вместе со своим другом Якоби участвовал в праздновании юбилея докторской степени Гаусса.
Несмотря на профессионализм Дирихле и полученные им почести, а также то, что к 1851 году он наконец выполнил все формальные требования для профессора, вопрос о повышении его жалованья в университете все еще затягивался, и он все еще не мог покинуть Военную академию. . В 1855 году, после смерти Гаусса, Геттингенский университет решил назначить Дирихле его преемником. Учитывая трудности, с которыми он столкнулся в Берлине, он решил принять предложение и немедленно переехал с семьей в Геттинген. Куммера пригласили занять должность профессора математики в Берлине. [3]
Дирихле наслаждался временем, проведенным в Геттингене, поскольку более легкая преподавательская нагрузка давала ему больше времени для исследований, и он вступил в тесный контакт с новым поколением исследователей, особенно с Рихардом Дедекиндом и Бернхардом Риманом . После переезда в Геттинген он смог получить небольшую ежегодную стипендию для Римана, чтобы он оставался там в преподавательском составе. Дедекинд, Риман, Мориц Кантор и Альфред Эннепер , хотя все они уже получили докторскую степень, посещали занятия Дирихле, чтобы учиться у него. Дедекинд, который чувствовал пробелы в своем математическом образовании, считал, что возможность учиться у Дирихле сделала его «новым человеком». [2] Позже он отредактировал и опубликовал лекции Дирихле и другие результаты по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie ( «Лекции по теории чисел »).
Летом 1858 года во время поездки в Монтрё у Дирихле случился сердечный приступ. 5 мая 1859 года он умер в Геттингене, через несколько месяцев после смерти своей жены Ребекки. [3] Мозг Дирихле хранится на кафедре физиологии Геттингенского университета вместе с мозгом Гаусса. [ сомнительно ] Академия в Берлине почтила его официальной мемориальной речью, произнесенной Куммером в 1860 году, а позже приказала опубликовать собрание его сочинений под редакцией Кронекера и Лазаря Фукса .
Теория чисел была основным исследовательским интересом Дирихле [13] — областью, в которой он нашел несколько глубоких результатов и для их доказательства использовал некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых позже были названы в его честь. В 1837 году была сформулирована теорема Дирихле об арифметических прогрессиях , использовавшая концепции математического анализа для решения алгебраической задачи и создавшая таким образом ветвь аналитической теории чисел . При доказательстве теоремы он ввёл характеры Дирихле и L-функции . [13] [14] Также в статье он отметил разницу между абсолютной и условной сходимостью рядов и ее влияние на то , что позже было названо теоремой о рядах Римана . В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметических прогрессиях целых чисел на кольцо гауссовских целых чисел . [2]
В нескольких статьях в 1838 и 1839 годах он доказал формулу числа первого класса для квадратичных форм (позже уточненную его учеником Кронекером). Формула, которую Якоби назвал результатом, «затрагивающим всю человеческую сообразительность», открыла путь к аналогичным результатам, касающимся более общих числовых полей . [2] На основе своих исследований структуры единичной группы квадратичных полей он доказал теорему Дирихле о единице , фундаментальный результат в теории алгебраических чисел . [14]
Впервые он использовал принцип «ячейки» , основной аргумент счета, в доказательстве теоремы в диофантовом приближении , позже названной в его честь аппроксимационной теоремой Дирихле . Он опубликовал важный вклад в Великую теорему Ферма , в которой доказал случаи n = 5 и n = 14 , а также в биквадратичный закон взаимности . [2] Проблема делителей Дирихле , для которой он нашел первые результаты, до сих пор остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других математиков.
Вдохновленный работой своего наставника в Париже, Дирихле опубликовал в 1829 году знаменитые мемуары, в которых изложены условия , показывающие, для каких функций имеет место сходимость ряда Фурье . [15] До решения Дирихле не только Фурье, но и Пуассон и Коши безуспешно пытались найти строгое доказательство сходимости. В мемуарах указано на ошибку Коши и представлен критерий сходимости рядов Дирихле . Он также представил функцию Дирихле как пример неинтегрируемой функции (определенный интеграл в то время все еще был развивающейся темой) и при доказательстве теоремы для ряда Фурье ввел ядро Дирихле и интеграл Дирихле . . [16]
Дирихле также изучил первую краевую задачу для уравнения Лапласа , доказав единственность решения; этот тип задач теории уравнений в частных производных позже был назван в его честь задачей Дирихле . Функция, удовлетворяющая уравнению в частных производных, подчиненному граничным условиям Дирихле, должна иметь фиксированные значения на границе. [13] В доказательстве он, в частности, использовал принцип, согласно которому решением является функция, минимизирующая так называемую энергию Дирихле . Позже Риман назвал этот подход принципом Дирихле , хотя он знал, что его также использовали Гаусс и лорд Кельвин . [2]
Пытаясь оценить диапазон функций, для которых можно показать сходимость ряда Фурье, Дирихле определяет функцию по тому свойству, что «любому x соответствует одно конечное у », но затем ограничивает свое внимание кусочно-непрерывными функциями. На основании этого ему приписывают введение современной концепции функции в отличие от более старого смутного понимания функции как аналитической формулы. [2] Имре Лакатос цитирует Германа Ханкеля как одного из первых источников этой атрибуции, но оспаривает это утверждение, говоря, что «существует достаточно доказательств того, что он понятия не имел об этой концепции [...], например, когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения». [17]
Дирихле также работал в области математической физики , читал лекции и публиковал исследования по теории потенциала (включая упомянутую выше проблему Дирихле и принцип Дирихле), теории теплоты и гидродинамики . [13] Он усовершенствовал работу Лагранжа о консервативных системах , показав, что условием равновесия является минимальная потенциальная энергия . [18]
Дирихле также читал лекции по теории вероятностей и методу наименьших квадратов , представляя некоторые оригинальные методы и результаты, в частности, для предельных теорем и улучшения метода аппроксимации Лапласа , связанного с центральной предельной теоремой . [19] Распределение Дирихле и процесс Дирихле , основанные на интеграле Дирихле , названы в его честь.
Дирихле был избран членом нескольких академий: [20]
В 1855 году Дирихле был награжден гражданской медалью ордена Pour le Mérite по рекомендации Александра фон Гумбольдта . Его именем названы кратер Дирихле на Луне и астероид Дирихле 11665 года .
Полная библиография опубликованных работ Дирихле, включая их переводы и лекции, не вошедшие в Werke , доступна по адресу:
СМИ, связанные с Питером Густавом Леженом Дирихле, на Викискладе?![{\displaystyle \mathbb {Z} [я]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)