Квадратичное поле

Поле (математика), созданное квадратным корнем целого числа

В теории алгебраических чисел квадратичное поле — это поле алгебраических чисел второй степени над рациональными числами . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Каждое такое квадратичное поле является некоторым где (единственно определенным) бесквадратным целым числом , отличным от и . Если , то соответствующее квадратичное поле называется вещественным квадратичным полем , а если , то оно называется мнимым квадратичным полем или комплексным квадратичным полем , что соответствует тому, является ли оно подполем поля действительных чисел . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle d<0}$

Квадратичные поля изучались очень глубоко, первоначально как часть теории бинарных квадратичных форм . Остаются некоторые нерешенные проблемы. Проблема номера класса особенно важна.

Кольцо целых чисел

Дискриминант

Для ненулевого квадратного свободного целого числа дискриминант квадратичного поля равен if конгруэнтен по модулю , и в противном случае . Например, если есть , то поле гауссовых рациональных чисел и дискриминант есть . Причиной такого различия является то, что кольцо целых чисел порождается в первом случае и во втором случае. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

Набор дискриминантов квадратичных полей в точности совпадает с набором фундаментальных дискриминантов .

Простая факторизация в идеалы

Любое простое число порождает идеал в кольце целых квадратичного поля . В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа это может быть ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle p}$инертен _

${\displaystyle (p)}$является первичным идеалом.

Факторкольцо – это конечное поле с элементами: . ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$ расколы

${\displaystyle (p)}$является произведением двух различных простых идеалов . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Факторкольцо — это произведение . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$разветвлен _

${\displaystyle (p)}$является квадратом простого идеала . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Факторкольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы.

Третий случай имеет место тогда и только тогда, когда делит дискриминант . Первый и второй случаи имеют место, когда символ Кронекера равен и соответственно. Например, если — нечетное простое число, не делящее , то оно распадается тогда и только тогда, когда оно конгруэнтно квадрату по модулю . Первые два случая в определенном смысле имеют одинаковую вероятность при пробегании простых чисел — см. теорему о плотности Чеботарева . ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа в квадратичном поле зависит только от модуля , где – дискриминант поля. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Группа классов

Определение группы классов расширения квадратичного поля может быть выполнено с использованием границы Минковского и символа Кронекера из-за конечности группы классов . ^[3] Квадратичное поле имеет дискриминант ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$

^[4]

$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

Тогда группа идеальных классов порождается простыми идеалами, норма которых меньше . Это можно сделать, рассмотрев разложение идеалов для простых чисел, где ^{[1] стр. 72} Эти разложения можно найти с помощью теоремы Дедекинда – Куммера . ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

Квадратичные подполя круговых полей

Квадратичное подполе простого кругового поля

Классический пример построения квадратичного поля — взять уникальное квадратичное поле внутри кругового поля , порожденного примитивным корнем степени из единицы с нечетным простым числом. Единственность является следствием теории Галуа , в которой существует единственная подгруппа индекса в группе Галуа над . Как объяснялось в период Гаусса , дискриминант квадратичного поля равен for и for . Это также можно предсказать на основе достаточной теории ветвления . Фактически, это единственное простое число, которое разветвляется в круговом поле, а также единственное простое число, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает «другие» дискриминанты и в соответствующих случаях. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle -p}$ ${\displaystyle p=4n+3}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -4p}$ ${\displaystyle 4p}$

Другие круговые поля

Если взять другие круговые поля, они имеют группы Галуа с дополнительным кручением, поэтому содержат по крайней мере три квадратичных поля. В общем случае квадратичное поле дискриминанта поля можно получить как подполе кругового поля корней из единицы. Это выражает тот факт, что проводником квадратичного поля является абсолютное значение его дискриминанта, частный случай формулы проводник-дискриминант . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Порядки полей квадратичных чисел малого дискриминанта

В следующей таблице показаны некоторые порядки малого дискриминанта квадратичных полей. Максимальный порядок поля алгебраических чисел — это его кольцо целых чисел , а дискриминант максимального порядка — это дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка — это произведение дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат определителя матрицы, выражающей базис немаксимального порядка, над базисом максимального порядка. Все эти дискриминанты могут быть определены по формуле Дискриминант поля алгебраических чисел § Определение .

Для действительных квадратичных колец целых чисел идеальное число класса , которое измеряет неудачу уникальной факторизации, приведено в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.

Некоторые из этих примеров перечислены в книге Артин, Алгебра (2-е изд.), §13.8.

Смотрите также

• Число Эйзенштейна – Кронекера
• Родовой персонаж
• Число Хегнера
• Инфраструктура (теория чисел)
• Квадратичное целое число
• Квадратичный иррациональный
• Теорема Штарка – Хигнера
• Дзета-функция Дедекинда
• Квадратично замкнутое поле

Примечания

1. Стивенхаген. «Цифровые кольца» (PDF) . п. 36.
2. Самуэль 1972, стр. 76f.
3. Штейн, Уильям. «Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход» (PDF) . стр. 77–86.
4. Конрад, Кейт. «РАСЧЕТЫ ГРУППЫ КЛАССОВ» (PDF) .

Рекомендации

• Бьюэлл, Дункан (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1Глава 6.
• Сэмюэл, Пьер (1972), Алгебраическая теория чисел (изд. в твердом переплете), Париж / Бостон: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Сэмюэл, Пьер (2008), Алгебраическая теория чисел (изд. в мягкой обложке), Дувр, ISBN 978-0-486-46666-8
• Стюарт, Индиана ; Талл, Д.О. (1979), Алгебраическая теория чисел , Чепмен и Холл, ISBN 0-412-13840-9Глава 3.1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичное поле». Математический мир .
• «Квадратичное поле», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]