Алгебраическое числовое поле

Расширение поля рациональных чисел до поля конечной степени (и, следовательно, алгебраического)

В математике алгебраическое числовое поле (или просто числовое поле ) — это поле расширения поля рациональных чисел , такое, что расширение поля имеет конечную степень (и, следовательно, является алгебраическим полем расширения). Таким образом, это поле, которое содержит и имеет конечную размерность , если рассматривать его как векторное пространство над . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Изучение полей алгебраических чисел и, в более общем плане, алгебраических расширений поля рациональных чисел является центральной темой алгебраической теории чисел . Это исследование выявляет скрытые структуры за рациональными числами, используя алгебраические методы.

Определение

Предпосылки

Понятие поля алгебраических чисел опирается на концепцию поля . Поле состоит из набора элементов вместе с двумя операциями, а именно сложением и умножением , и некоторыми предположениями о дистрибутивности . Эти операции превращают поле в абелеву группу при сложении, и они превращают ненулевые элементы поля в другую абелеву группу при умножении. Ярким примером поля является поле рациональных чисел , обычно обозначаемое , вместе с его обычными операциями сложения и умножения. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Другое понятие, необходимое для определения полей алгебраических чисел, — это векторные пространства . В той мере, в какой это необходимо, векторные пространства можно рассматривать как состоящие из последовательностей (или кортежей )

( х ₁ , х ₂ , …)

чьи записи являются элементами фиксированного поля, такого как поле . Любые две такие последовательности могут быть сложены путем сложения соответствующих записей. Кроме того, все члены любой последовательности могут быть умножены на один элемент c фиксированного поля. Эти две операции, известные как сложение векторов и скалярное умножение, удовлетворяют ряду свойств, которые служат для абстрактного определения векторных пространств. Векторные пространства могут быть « бесконечномерными », то есть последовательности, составляющие векторные пространства, могут иметь бесконечную длину. Если, однако, векторное пространство состоит из конечных последовательностей ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

( х ₁ , х ₂ , …, х _n ),

Говорят, что векторное пространство имеет конечную размерность n .

Определение

Алгебраическое числовое поле (или просто числовое поле ) — это конечностепенное расширение поля рациональных чисел. Здесь степень означает размерность поля как векторного пространства над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Примеры

• Наименьшее и самое базовое числовое поле — это поле рациональных чисел. Многие свойства общих числовых полей моделируются по свойствам . В то же время многие другие свойства алгебраических числовых полей существенно отличаются от свойств рациональных чисел — одним из примечательных примеров является то, что кольцо алгебраических целых чисел числового поля в общем случае не является областью главных идеалов . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Рациональные числа Гаусса , обозначаемые (читаются как « присоединенные »), образуют первый (исторически) нетривиальный пример числового поля. Его элементами являются элементы вида , где и a, и b являются рациональными числами, а i — мнимая единица . Такие выражения можно складывать, вычитать и умножать в соответствии с обычными правилами арифметики, а затем упрощать с помощью тождества Явно, для действительных чисел : Ненулевые рациональные числа Гаусса являются обратимыми , что можно увидеть из тождества Из этого следует, что рациональные числа Гаусса образуют числовое поле, которое является двумерным как векторное пространство над . ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle a+bi}$$ $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• В более общем смысле, для любого целого числа , свободного от квадратов , квадратичное поле — это числовое поле, полученное присоединением квадратного корня из к полю рациональных чисел. Арифметические операции в этом поле определяются по аналогии со случаем гауссовых рациональных чисел, . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=-1}$
• Циклотомическое поле , где — числовое поле, полученное присоединением первообразного корня из единицы . Это поле содержит все комплексные корни из единицы степени n и его размерность над равна , где — функция Эйлера . $${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$$ ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {(2\pi i/n)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

Не примеры

• Действительные числа , , и комплексные числа , , являются полями, имеющими бесконечную размерность как -векторные пространства; следовательно, они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности и как множеств, тогда как каждое числовое поле обязательно счетно . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Множество упорядоченных пар рациональных чисел с поэлементным сложением и умножением представляет собой двумерную коммутативную алгебру над . Однако это не поле, поскольку оно имеет делители нуля : ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}$$

Алгебраичность и кольцо целых чисел

Как правило, в абстрактной алгебре расширение поля является алгебраическим , если каждый элемент большего поля является нулем (ненулевого) многочлена с коэффициентами в : ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

Каждое расширение поля конечной степени является алгебраическим. (Доказательство: для в просто рассмотрим – мы получим линейную зависимость, т. е. многочлен, который является корнем.) В частности, это относится к полям алгебраических чисел, поэтому любой элемент поля алгебраических чисел можно записать как ноль многочлена с рациональными коэффициентами. Поэтому элементы также называются алгебраическими числами . Если задан многочлен такой, что , его можно расположить так, чтобы старший коэффициент был равен единице, разделив на него все коэффициенты, если необходимо. Многочлен с этим свойством называется моническим многочленом . В общем случае он будет иметь рациональные коэффициенты. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(f)=0}$ ${\displaystyle e_{m}}$

Однако, если коэффициенты монического многочлена на самом деле все целые числа, то он называется алгебраическим целым числом . ${\displaystyle f}$

Любое (обычное) целое число является алгебраическим целым числом, поскольку оно является нулем линейного монического многочлена: ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$.

Можно показать, что любое алгебраическое целое число, которое также является рациональным числом, на самом деле должно быть целым числом, отсюда и название «алгебраическое целое число». Снова используя абстрактную алгебру, в частности понятие конечно порождённого модуля , можно показать, что сумма и произведение любых двух алгебраических целых чисел по-прежнему являются алгебраическим целым числом. Отсюда следует, что алгебраические целые числа в образуют кольцо, обозначаемое как кольцо целых чисел . Это подкольцо ( то есть кольцо, содержащееся в) . Поле не содержит делителей нуля , и это свойство наследуется любым подкольцом, поэтому кольцо целых чисел является областью целостности . Поле является полем дробей области целостности . Таким образом, можно перемещаться между полем алгебраических чисел и его кольцом целых чисел . Кольца алгебраических целых чисел обладают тремя отличительными свойствами: во-первых, это область целостности, которая целочисленно замкнута в своём поле дробей . Во-вторых, является нётеровым кольцом . Наконец, каждый ненулевой простой идеал является максимальным или , что эквивалентно, размерность Крулля этого кольца равна единице. Абстрактное коммутативное кольцо с этими тремя свойствами называется дедекиндовым кольцом (или дедекиндовой областью ), в честь Ричарда Дедекинда , который провел глубокое исследование колец алгебраических целых чисел. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Уникальная факторизация

Для общих колец Дедекинда , в частности колец целых чисел, существует единственное разложение идеалов в произведение простых идеалов . Например, идеал в кольце квадратичных целых чисел разлагается в простые идеалы как ${\displaystyle (6)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

Однако, в отличие от кольца целых чисел , кольцо целых чисел собственного расширения не обязательно должно допускать однозначное разложение чисел на произведение простых чисел или, точнее, простых элементов . Это происходит уже для квадратичных целых чисел , например, в , однозначность разложения нарушается: ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

Используя норму, можно показать, что эти две факторизации на самом деле неэквивалентны в том смысле, что множители отличаются не только на единицу в . Евклидовы области являются уникальными областями факторизации; например , кольцо гауссовых целых чисел , и , кольцо целых чисел Эйзенштейна , где — кубический корень из единицы (не равный 1), обладают этим свойством. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega }$

Аналитические объекты: ζ-функции,Л-функции и формула числа классов

Неудача уникальной факторизации измеряется числом класса , обычно обозначаемым h , мощностью так называемой идеальной группы классов . Эта группа всегда конечна. Кольцо целых чисел обладает уникальной факторизацией тогда и только тогда, когда оно является главным кольцом или, что эквивалентно, если имеет число класса 1 . При заданном числовом поле число класса часто трудно вычислить. Проблема числа класса , восходящая к Гауссу , связана с существованием мнимых квадратичных числовых полей (т. е. ) с заданным числом класса. Формула числа класса связывает h с другими фундаментальными инвариантами . Она включает в себя дзета-функцию Дедекинда ζ (s), функцию от комплексной переменной s , определяемую как ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}$ ${\displaystyle K}$ _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(Произведение берется по всем простым идеалам , обозначает норму простого идеала или, что эквивалентно, (конечное) число элементов в поле вычетов . Бесконечное произведение сходится только при Re ( s ) > 1, в общем случае для определения функции для всех s необходимы аналитическое продолжение и функциональное уравнение для дзета-функции ). Дзета-функция Дедекинда обобщает дзета-функцию Римана тем, что ζ ( s ) = ζ( s ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

Формула числа классов гласит, что ζ ( s ) имеет простой полюс при s = 1, и в этой точке остаток определяется выражением _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

Здесь r ₁ и r ₂ классически обозначают число действительных вложений и пар комплексных вложений , соответственно . При этом Reg является регулятором , w — число корней из единицы в , а D — дискриминант . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

L-функции Дирихле являются более утонченным вариантом . Оба типа функций кодируют арифметическое поведение и , соответственно. Например, теорема Дирихле утверждает, что в любой арифметической прогрессии ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

с взаимно простыми и существует бесконечно много простых чисел. Эта теорема следует из того факта, что -функция Дирихле отлична от нуля при . Используя гораздо более продвинутые методы, включая алгебраическую K-теорию и меры Тамагавы , современная теория чисел занимается описанием, хотя и в значительной степени предположительным (см. гипотеза о числе Тамагавы ), значений более общих L-функций . ^[2] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s=1}$

Основы числовых полей

Интегральная основа

Целостным базисом числового поля степени является множество ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$

В = { б ₁ , …, б _n }

из n целых алгебраических чисел в , таких, что каждый элемент кольца целых чисел из может быть записан единственным образом как Z -линейная комбинация элементов из B ; то есть для любого x из мы имеем ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

х = м ₁ б ₁ + ⋯ + м _н б _н ,

где m _i — (обычные) целые числа. Тогда также имеет место тот факт, что любой элемент из может быть записан однозначно как ${\displaystyle K}$

м ₁ б ₁ + ⋯ + м _н б _н ,

где теперь m _i — рациональные числа. Тогда алгебраические целые числа — это именно те элементы, где m _i — все целые числа. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Работая локально и используя такие инструменты, как карта Фробениуса , всегда можно явно вычислить такой базис, и теперь для систем компьютерной алгебры стало стандартом иметь встроенные программы для этого.

Основа власти

Пусть будет числовым полем степени . Среди всех возможных базисов (рассматриваемых как -векторное пространство) существуют особые, известные как степенные базисы , которые являются базисами вида ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

для некоторого элемента . По теореме о примитивном элементе существует такой , называемый примитивным элементом . Если можно выбрать в и таким образом, что является базисом как свободный Z -модуль, то называется степенным интегральным базисом , а поле называется моногенным полем . Пример числового поля, которое не является моногенным, впервые был приведен Дедекиндом. Его примером является поле, полученное присоединением корня многочлена ^[3] ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

Регулярное представление, трассировка и дискриминант

Напомним, что любое расширение поля имеет уникальную структуру -векторного пространства. Используя умножение в , элемент поля над базовым полем может быть представлен матрицами , требуя Здесь есть фиксированный базис для , рассматриваемый как -векторное пространство. Рациональные числа однозначно определяются и выбором базиса, поскольку любой элемент из может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных элементов. Такой способ сопоставления матрицы любому элементу поля называется регулярным представлением . Квадратная матрица представляет собой эффект умножения на в данном базисе. Из этого следует, что если элемент из представлен матрицей , то произведение представляется матричным произведением . Инварианты матриц, такие как след , определитель и характеристический многочлен , зависят исключительно от элемента поля , а не от базиса . В частности, след матрицы называется следом элемента поля и обозначается , а определитель называется нормой x и обозначается . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$ $${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$ ${\displaystyle N(x)}$

Теперь это можно немного обобщить, вместо этого рассмотрев расширение поля и дав -базис для . Тогда есть связанная матрица , которая имеет след и норму, определяемые как след и определитель матрицы . ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

Пример

Рассмотрим расширение поля , где . Тогда у нас есть -базис, заданный как , поскольку любой может быть выражен как некоторая -линейная комбинация Затем мы можем взять некоторое , где и вычислить . Записав это, получаем Мы можем найти матрицу , записав соответствующее матричное уравнение, дающее показывающее Затем мы можем вычислить след и определитель с относительной легкостью, задав след и норму. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}$$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$ ${\displaystyle x\cdot y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A(x)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$

Характеристики

По определению стандартные свойства следов и определителей матриц переносятся на Tr и N: Tr( x ) является линейной функцией x , что выражается формулой Tr ( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr( λx ) = λ Tr( x ) , а норма является мультипликативной однородной функцией степени n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ⁿ N( x ) . Здесь λ является рациональным числом, а x , y являются любыми двумя элементами . ${\displaystyle K}$

Полученная следовая форма является билинейной формой, определяемой с помощью следа, как указано в . Интегральная следовая форма , целочисленная симметричная матрица , определяется как , где b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис для . Дискриминант определяется как det( t ). Он является целым числом и является инвариантным свойством поля , не зависящим от выбора целочисленного базиса. $${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$ $${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Матрица, связанная с элементом x из , также может быть использована для предоставления других, эквивалентных описаний алгебраических целых чисел. Элемент x из является алгебраическим целым числом тогда и только тогда, когда характеристический многочлен p _A матрицы A , связанной с x , является моническим многочленом с целыми коэффициентами. Предположим, что матрица A , представляющая элемент x , имеет целые элементы в некотором базисе e . По теореме Кэли–Гамильтона , p _A ( A ) = 0, и отсюда следует, что p _A ( x ) = 0, так что x является алгебраическим целым числом. Наоборот, если x является элементом из , который является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то то же свойство справедливо для соответствующей матрицы A . В этом случае можно доказать, что A является целочисленной матрицей в подходящем базисе . Свойство быть алгебраическим целым числом определяется способом, который не зависит от выбора базиса в . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Пример с интегральным базисом

Рассмотрим , где x удовлетворяет x ³ − 11 x ² + x + 1 = 0. Тогда интегральный базис — это [1, x , 1/2( x ²  + 1)], а соответствующая интегральная следовая форма — это ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

«3» в верхнем левом углу этой матрицы — это след матрицы отображения, определяемой первым базисным элементом (1) в регулярном представлении на . Этот базисный элемент индуцирует тождественное отображение на 3-мерном векторном пространстве, . След матрицы тождественного отображения на 3-мерном векторном пространстве равен 3. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Определитель этого равен 1304 = 2 ³ ·163 , дискриминант поля; для сравнения корневой дискриминант , или дискриминант многочлена, равен 5216 = 2 ⁵ ·163 .

Места

Математики девятнадцатого века предполагали, что алгебраические числа являются разновидностью комплексных чисел. ^{[4] [5]} Эта ситуация изменилась с открытием p-адических чисел Гензелем в 1897 году; и теперь принято рассматривать все возможные вложения числового поля в его различные топологические дополнения одновременно. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Место числового поля — это класс эквивалентности абсолютных значений на ^{[6] стр} . 9. По сути, абсолютное значение — это понятие для измерения размера элементов . Два таких абсолютных значения считаются эквивалентными, если они порождают одно и то же понятие малости (или близости). Отношение эквивалентности между абсолютными значениями задается некоторым таким образом, что означает, что мы возводим значение нормы в -ю степень. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$ $${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$ ${\displaystyle |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

В общем, типы мест делятся на три режима. Во-первых (и в основном несущественно), тривиальное абсолютное значение | | ₀ , которое принимает значение на всех ненулевых . Второй и третий классы — это архимедовы места и неархимедовы (или ультраметрические) места . Завершение относительно места задается в обоих случаях путем взятия последовательностей Коши и вычитания нулевых последовательностей , то есть последовательностей таких, что стремится к нулю, когда стремится к бесконечности. Можно показать, что это снова поле, так называемое завершение в заданном месте , обозначаемое . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Для , возникают следующие нетривиальные нормы ( теорема Островского ): (обычное) абсолютное значение , иногда обозначаемое , которое порождает полное топологическое поле действительных чисел . С другой стороны, для любого простого числа , p -адическое абсолютное значение определяется как ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

| q | _p = p ^{− n} , где q = p ⁿ a / b и a и b — целые числа, не делящиеся на p .

Он используется для построения -адических чисел . В отличие от обычного абсолютного значения, p -адическое абсолютное значение становится меньше , когда q умножается на p , что приводит к совершенно иному поведению по сравнению с . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Обратите внимание, что общая ситуация, которая обычно рассматривается, заключается в том, что берется числовое поле и рассматривается простой идеал для его связанного кольца алгебраических чисел . Тогда будет существовать уникальное место, называемое неархимедовым местом. Кроме того, для каждого вложения будет существовать место, называемое архимедовым местом, обозначаемое . Это утверждение является теоремой, также называемой теоремой Островского . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Примеры

Поле для , где — фиксированный корень шестой степени из единицы, представляет собой богатый пример для построения явных действительных и комплексных архимедовых вложений, а также неархимедовых вложений ^{[6] стр. 15-16} . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$ ${\displaystyle \zeta }$

Архимедовы места

Здесь мы используем стандартные обозначения и для числа используемых действительных и комплексных вложений соответственно (см. ниже). ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

Вычисление архимедовых мест числового поля выполняется следующим образом: пусть будет примитивным элементом , с минимальным многочленом (над ). Над , в общем случае больше не будет неприводимым, но его неприводимые (действительные) множители имеют либо степень один, либо степень два. Поскольку нет повторяющихся корней, нет и повторяющихся множителей. Корни множителей первой степени обязательно действительны, и замена на дает вложение в ; количество таких вложений равно количеству действительных корней . Ограничение стандартного абсолютного значения на дает архимедово абсолютное значение на ; такое абсолютное значение также называется действительным местом . С другой стороны, корни множителей второй степени являются парами сопряженных комплексных чисел, что допускает два сопряженных вложения в . Любое из этих пар вложений может быть использовано для определения абсолютного значения на , которое одинаково для обоих вложений, поскольку они сопряжены . Это абсолютное значение называется комплексным местом . ^[7] [ ^8] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Если все корни выше являются действительными (соответственно, комплексными) или, что эквивалентно, любое возможное вложение фактически вынуждено находиться внутри (соответственно ), называется полностью действительным (соответственно, полностью комплексным ). ^{[9] [10]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$

Неархимедовы или ультраметрические места

Чтобы найти неархимедовы места, пусть снова и будут такими, как указано выше. В , разбивается на множители различных степеней, ни один из которых не повторяется, и степени которых в сумме дают , степень . Для каждого из этих -адически неприводимых множителей , мы можем предположить, что удовлетворяет и получить вложение в алгебраическое расширение конечной степени над . Такое локальное поле ведет себя во многих отношениях как числовое поле, и -адические числа могут аналогично играть роль рациональных чисел; в частности, мы можем определить норму и трассировку точно таким же образом, теперь задавая функции, отображающиеся в . Используя это -адическое норменное отображение для места , мы можем определить абсолютное значение, соответствующее данному -адически неприводимому множителю степени с помощью Такое абсолютное значение называется ультраметрическим , неархимедовым или -адическим местом . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{f_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

Для любого ультраметрического места v мы имеем, что | x | _v ≤ 1 для любого x из , поскольку минимальный многочлен для x имеет целые множители, и, следовательно, его p -адическая факторизация имеет множители в Z _p . Следовательно, норменный член (константный член) для каждого множителя является p -адическим целым числом, и одно из них является целым числом, используемым для определения абсолютного значения для v . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Главные идеалы вХОРОШО​

Для ультраметрического места v подмножество , определяемое соотношением | x | _v < 1 , является идеалом . Это основано на ультраметричности v : если x и y находятся в , то ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1.

На самом деле, это даже высший идеал . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Наоборот, если задан простой идеал , можно определить дискретную оценку , установив , где n — наибольшее целое число, такое что , n -кратная степень идеала. Эту оценку можно превратить в ультраметрическое место. При этом соответствии (классы эквивалентности) ультраметрических мест соответствуют простым идеалам . Для это возвращает теорему Островского: любой простой идеал в Z (который обязательно является одним простым числом) соответствует неархимедову месту и наоборот. Однако для более общих числовых полей ситуация становится более сложной, как будет объяснено ниже. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Еще один эквивалентный способ описания ультраметрических мест — посредством локализаций . Для данного ультраметрического места на числовом поле соответствующая локализация является подкольцом всех элементов, таких что |  x  | _v ≤ 1. По свойству ультраметрики является кольцом. Более того, оно содержит . Для каждого элемента x из , по крайней мере один из x или x ⁻¹ содержится в . На самом деле, поскольку можно показать, что K ^× / T ^× изоморфно целым числам, является дискретным кольцом нормирования , в частности, локальным кольцом . На самом деле, является просто локализацией в простом идеале , поэтому . Наоборот, является максимальным идеалом . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T}$

В целом, существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями в числовом поле.

Лежа над теоремой и местами

Некоторые из основных теорем в алгебраической теории чисел — это теоремы о восхождении и нисхождении , которые описывают поведение некоторого простого идеала, когда он расширяется как идеал в для некоторого расширения поля . Мы говорим, что идеал лежит над , если . Тогда одно воплощение теоремы утверждает, что простой идеал в лежит над , следовательно, всегда существует сюръективное отображение, индуцированное из включения . Поскольку существует соответствие между местами и простыми идеалами, это означает, что мы можем найти места, разделяющие место, которое индуцировано из расширения поля. То есть, если является местом , то существуют места , которые делят , в том смысле, что их индуцированные простые идеалы делят индуцированный простой идеал в . На самом деле, это наблюдение полезно ^{[6] стр. 13} при рассмотрении изменения базы алгебраического расширения поля до одного из его пополнений . Если мы запишем и запишем для индуцированного элемента , мы получим разложение . Явно, это разложение , кроме того, индуцированный многочлен разлагается как в силу леммы Гензеля ^{[11] стр. 129-131} ; следовательно , существуют вложения, где является корнем из , дающие ; следовательно, мы могли бы записать как подмножества из (что является завершением алгебраического замыкания ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ $${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ $${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X\in K}$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$ $${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle Q_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$ $${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Разветвление

Схематическое изображение ветвления: волокна почти всех точек в Y ниже состоят из трех точек, за исключением двух точек в Y, отмеченных точками, где волокна состоят из одной и двух точек (отмеченных черным) соответственно. Говорят, что отображение f разветвлено в этих точках Y .

Ветвление , вообще говоря, описывает геометрическое явление, которое может иметь место с конечно-однозначными отображениями (то есть отображениями, такими, что прообразы всех точек y в Y состоят только из конечного числа точек): мощность волокон f −1 ⁽ y ) будет, как правило, иметь одинаковое количество точек, но случается, что в особых точках y это количество падает. Например, отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

имеет n точек в каждом слое над t , а именно n (комплексных) корней t , за исключением t = 0 , где слой состоит только из одного элемента, z = 0. Говорят, что отображение «разветвлено» в нуле. Это пример разветвленного покрытия римановых поверхностей . Эта интуиция также служит для определения ветвления в алгебраической теории чисел . При заданном (обязательно конечном) расширении числовых полей простой идеал p из порождает идеал pO _K из . Этот идеал может быть или не быть простым идеалом, но, согласно теореме Ласкера–Нётер (см. выше), всегда задается как ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO = q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m ${\displaystyle K}$

с однозначно определенными простыми идеалами q _i и числами (называемыми индексами ветвления) e _i . Всякий раз, когда один индекс ветвления больше единицы, говорят, что простое p разветвляется в . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

Связь между этим определением и геометрической ситуацией осуществляется с помощью отображения спектров колец . Фактически, неразветвленные морфизмы схем в алгебраической геометрии являются прямым обобщением неразветвленных расширений числовых полей. ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

Ветвление является чисто локальным свойством, т. е. зависит только от пополнений вокруг простых чисел p и q _i . Группа инерции измеряет разницу между локальными группами Галуа в некотором месте и группами Галуа вовлеченных конечных полей вычетов.

Пример

Следующий пример иллюстрирует введенные выше понятия. Для того чтобы вычислить индекс ветвления , где ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

f ( x ) = x ³ − x − 1 = 0,

в 23 достаточно рассмотреть расширение поля . До 529 = 23 ² (т.е. по модулю 529) f можно разложить на множители ${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

Подстановка x = y + 10 в первый множитель g по модулю 529 дает y + 191, поэтому оценка |  y  | _g для y, заданная g , равна | −191 | ₂₃ = 1. С другой стороны, та же подстановка в h дает y ² − 161 y − 161 по модулю 529. Поскольку 161 = 7 × 23,

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

Поскольку возможные значения абсолютного значения места, определяемого фактором h, не ограничиваются целыми степенями числа 23, а вместо этого являются целыми степенями квадратного корня из 23, индекс ветвления расширения поля в точке 23 равен двум.

Оценки любого элемента из можно вычислить таким образом, используя результанты . Если, например, y = x ² − x − 1, использование результанта для исключения x между этим отношением и f = x ³ − x − 1 = 0 дает y ³ − 5 y ² + 4 y − 1 = 0. Если вместо этого мы исключим по отношению к множителям g и h из f , мы получим соответствующие множители для полинома для y , а затем 23-адическая оценка, примененная к постоянному (нормальному) члену, позволяет нам вычислить оценки y для g и h (которые в данном случае оба равны 1). ${\displaystyle K}$

Дискриминантная теорема Дедекинда

Значительная часть значимости дискриминанта заключается в том, что разветвленные ультраметрические места — это все места, полученные из факторизаций в , где p делит дискриминант. Это верно даже для полиномиального дискриминанта; однако обратное также верно, что если простое число p делит дискриминант, то существует p -место, которое разветвляется. Для этого обратного требуется дискриминант поля. Это теорема Дедекинда о дискриминанте . В приведенном выше примере дискриминант числового поля с x ³  −  x  − 1 = 0 равен −23, и, как мы видели, 23-адическое место разветвляется. Дискриминант Дедекинда говорит нам, что это единственное ультраметрическое место, которое делает это. Другое разветвленное место происходит из абсолютного значения на комплексном вложении . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle K}$

Группы Галуа и когомологии Галуа

В общем случае в абстрактной алгебре расширения полей K / L можно изучать, рассматривая группу Галуа Gal( K / L ), состоящую из автоморфизмов полей, оставляющих поэлементно фиксированными. Например, группа Галуа циклотомического расширения полей степени n (см. выше) задается как ( Z / n Z ) ^× , группа обратимых элементов в Z / n Z . Это первый шаг в теорию Ивасавы . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

Чтобы включить все возможные расширения, имеющие определенные свойства, понятие группы Галуа обычно применяется к (бесконечному) расширению поля K / K алгебраического замыкания , что приводит к абсолютной группе Галуа G  := Gal( K / K ) или просто Gal( K ), и к расширению . Основная теорема теории Галуа связывает поля между ними и ее алгебраическим замыканием и замкнутыми подгруппами Gal( K ). Например, абелианизация (наибольшее абелево частное) G ^ab поля G соответствует полю, называемому максимальным абелевым расширением K ^ab (называется так, поскольку любое дальнейшее расширение не является абелевым, т. е. не имеет абелевой группы Галуа). По теореме Кронекера–Вебера максимальное абелево расширение является расширением, порожденным всеми корнями из единицы . Для более общих числовых полей теория полей классов , в частности закон взаимности Артина, дает ответ, описывая G ^ab в терминах группы классов иделей . Также примечательно поле классов Гильберта , максимальное абелево неразветвленное расширение поля . Можно показать, что оно конечно над , его группа Галуа над изоморфна группе классов , в частности, его степень равна числу классов h из (см. выше). ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

В определенных ситуациях группа Галуа действует на другие математические объекты, например, на группу. Такая группа затем также называется модулем Галуа. Это позволяет использовать групповые когомологии для группы Галуа Gal( K ), также известной как когомологии Галуа , которая в первую очередь измеряет неточность взятия Gal( K )-инвариантов, но также предлагает более глубокие идеи (и вопросы). Например, группа Галуа G расширения поля L / K действует на L ^× , ненулевые элементы L . Этот модуль Галуа играет важную роль во многих арифметических дуальностях , таких как двойственность Пуату-Тейта . Группа Брауэра , первоначально задуманная для классификации алгебр с делением над , может быть переделана в группу когомологий, а именно H ² (Gal ( K , K ^× )). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Локально-глобальный принцип

Вообще говоря, термин «локально-глобальное» относится к идее, что глобальная проблема сначала решается на локальном уровне, что имеет тенденцию упрощать вопросы. Затем, конечно, информация, полученная в локальном анализе, должна быть собрана вместе, чтобы вернуться к некоторому глобальному утверждению. Например, понятие пучков овеществляет эту идею в топологии и геометрии .

Локальные и глобальные поля

Числовые поля имеют много общего с другим классом полей, часто используемых в алгебраической геометрии, известным как функциональные поля алгебраических кривых над конечными полями . Примером является K _p ( T ). Они во многих отношениях похожи, например, в том, что числовые кольца являются одномерными регулярными кольцами, как и координатные кольца (частные поля которых являются рассматриваемыми функциональными полями) кривых. Поэтому оба типа полей называются глобальными полями . В соответствии с изложенной выше философией их можно сначала изучить на локальном уровне, то есть, рассмотрев соответствующие локальные поля . Для числовых полей локальные поля являются пополнениями во всех местах, включая архимедовы (см. локальный анализ ). Для функциональных полей локальные поля являются пополнениями локальных колец во всех точках кривой для функциональных полей. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Многие результаты, справедливые для функциональных полей, справедливы также, по крайней мере, если переформулировать их должным образом, для числовых полей. Однако изучение числовых полей часто создает трудности и явления, не встречающиеся в функциональных полях. Например, в функциональных полях нет дихотомии на неархимедовы и архимедовы места. Тем не менее, функциональные поля часто служат источником интуиции того, чего следует ожидать в случае числового поля.

принцип Хассе

Прототипическим вопросом, поставленным на глобальном уровне, является вопрос о том, имеет ли некоторое полиномиальное уравнение решение в . Если это так, то это решение также является решением во всех завершениях. Локально-глобальный принцип или принцип Хассе утверждает, что для квадратных уравнений обратное также справедливо. Таким образом, проверка того, имеет ли такое уравнение решение, может быть выполнена для всех завершений , что часто проще, поскольку можно использовать аналитические методы (классические аналитические инструменты, такие как теорема о промежуточном значении в архимедовых местах и ​​p-адический анализ в неархимедовых местах). Однако это следствие не выполняется для более общих типов уравнений. Однако идея перехода от локальных данных к глобальным оказывается плодотворной в теории полей классов, например, где локальная теория полей классов используется для получения глобальных идей, упомянутых выше. Это также связано с тем фактом, что группы Галуа завершений K _v могут быть явно определены, тогда как группы Галуа глобальных полей, даже из , изучены гораздо меньше. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Адели и идели

Для того, чтобы собрать локальные данные, относящиеся ко всем локальным полям, присоединенным к , устанавливается кольцо аделей. Мультипликативный вариант называется иделами . ${\displaystyle K}$

Смотрите также

Обобщения

• Поле алгебраических функций

Алгебраическая теория чисел

• Теорема Дирихле о единице , S-единица
• Расширение Куммера
• Теорема Минковского , Геометрия чисел
• Теорема плотности Чеботарева

Теория полей классов

• Группа класса Рэй
• Группа разложения
• Поле рода

Примечания

1. Айрленд, Кеннет; Розен, Майкл (1998), Классическое введение в современную теорию чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97329-6, Гл. 1.4
2. Блох, Спенсер; Като, Казуя (1990), " L -функции и числа Тамагавы мотивов", The Grothendieck Festschrift, т. I , Progr. Math., т. 86, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 333–400, MR  1086888
3. Наркевич 2004, §2.2.6
4. Кляйнер, Израиль (1999), «Теория поля: от уравнений к аксиоматизации. I», The American Mathematical Monthly , 106 (7): 677–684, doi :10.2307/2589500, JSTOR  2589500, MR  1720431. Для Дедекинда поля были подмножествами комплексных чисел.
5. Mac Lane, Saunders (1981), «Математические модели: набросок философии математики», The American Mathematical Monthly , 88 (7): 462–472, doi :10.2307/2321751, JSTOR  2321751, MR  0628015, Эмпиризм возник из взгляда XIX века на математику как на почти сопредельную с теоретической физикой.
6. Gras, Georges (2003). Теория полей классов: от теории к практике. Берлин. ISBN 978-3-662-11323-3. OCLC  883382066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
7. Кон, Глава 11 §C стр. 108
8. Конрад
9. Кон, Глава 11 §C стр. 108
10. Конрад
11. Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-03983-0. OCLC  851391469.

Ссылки

• Кон, Харви (1988), Классическое приглашение к алгебраическим числам и полям классов , Universitext, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Кит Конрад, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Януш, Джеральд Дж. (1996), Поля алгебраических чисел (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0429-2
• Хельмут Хассе, Теория чисел , Springer Classics in Mathematics Series (2002)
• Серж Ланг , Алгебраическая теория чисел , второе издание, Springer, 2000
• Ричард А. Моллин, Алгебраическая теория чисел , CRC, 1999
• Рэм Мурти, Проблемы алгебраической теории чисел , Второе издание, Springer, 2005
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-21902-6, МР  2078267
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  1136.11001
• Андре Вайль , Основы теории чисел , третье издание, Springer, 1995