Билинейная форма

В математике билинейная форма — это билинейное отображение $V \times V \to K$ на векторном пространстве $V$ (элементы которого называются векторами ) над полем K (элементы которого называются скалярами ). Другими словами, билинейная форма — это функция $B : V \times V \to K$ , которая линейна по каждому аргументу в отдельности:

$B (u + v, w) = B (u, w) +$ $B$ $($ $v$ $,$ $w$ $)$ $и$ B $($ $λu$ $,$ $v$ $)$ $=$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$
$B (u, v + w) = B (u, v) +$ $B$ $($ $u$ $,$ $w$ $)$ $и$ B $($ $u$ $,$ $λv$ $)$ $=$ $λB$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$

Скалярное произведение является примером билинейной формы. ^[1] $\mathbb {R} ^{n}$

Определение билинейной формы можно расширить, включив в него модули над кольцом , заменив линейные отображения гомоморфизмами модулей .

Когда $K$ — поле комплексных чисел $C$ , часто больший интерес представляют полуторалинейные формы , которые похожи на билинейные формы, но являются сопряженно-линейными по одному аргументу.

Координатное представление

Пусть $V$ — n $-$ мерное векторное пространство с базисом ${e 1, \dots, e n}$ .

Матрица A $размера n \times n$ , определяемая соотношением $A$ $ij$ $=$ $B$ $($ $e$ $i$ $,$ $e$ $j$ $),$ называется матрицей билинейной формы по базису ${$ $e$ $1$ $, \dots,$ $e$ $n$ $}$ .

Если матрица $x размера$ $n \times 1$ представляет вектор $x$ относительно этого базиса, и аналогично матрица $y размера$ $n$ $\times 1$ представляет другой вектор $y$ , то: $B(\mathbf {x},\mathbf {y})=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{ n}x_{i}A_{ij}y_{j}.$

Билинейная форма имеет различные матрицы на разных базисах. Однако матрицы билинейной формы на разных базисах все конгруэнтны . Точнее, если ${f 1, \dots, f n}$ — другой базис $V$ , то где форма — обратимая матрица $S$ . Тогда матрица билинейной формы на новом базисе — $S$ $T$ $AS$ . $\mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e} _{i},$ $S_{i,j}$

Характеристики

Невырожденные билинейные формы

Каждая билинейная форма $B$ на $V$ определяет пару линейных отображений из $V$ в его сопряженное пространство $V *$ . Определим $B 1, B 2 : V \to V *$ следующим образом:

B 1 (v)(w) = B (v, w)

B 2 (v)(w) = B (w, v)

Это часто обозначается как

B 1 (v) = B (v, \cdot)

B 2 (v) = B (\cdot, v)

где точка ( ⋅ ) указывает слот, в который следует поместить аргумент для результирующего линейного функционала (см. Каррирование ).

Для конечномерного векторного пространства $V$ , если один из $B 1$ или $B 2$ является изоморфизмом, то оба являются таковыми, и билинейная форма $B$ называется невырожденной . Более конкретно, для конечномерного векторного пространства невырожденность означает, что каждый ненулевой элемент нетривиально спаривается с некоторым другим элементом:

B(x,y)=0

для всех подразумевается, что

x

= 0

y\in V

B(x,y)=0

для всех подразумевается, что

y

= 0

x\in V

Соответствующее понятие для модуля над коммутативным кольцом состоит в том, что билинейная форма — этоунимодулярным, если $V \to V *$ — изоморфизм. Если задан конечно порождённый модуль над коммутативным кольцом, спаривание может быть инъективным (следовательно, «невырожденным» в указанном выше смысле), но не унимодулярным. Например, над целыми числами спаривание $B (x, y) = 2 xy$ невырождено, но не унимодулярно, поскольку индуцированное отображение из $V = Z$ в $V * = Z$ является умножением на 2.

Если $V$ конечномерно, то можно отождествить $V$ с его двойным дуальным $V **$ . Тогда можно показать, что $B 2$ является транспонированием линейного отображения $B 1$ (если $V$ бесконечномерно, то $B 2$ является транспонированием $B 1 ,$ ограниченным образом $V$ в $V **$ ). При наличии $B$ можно определить транспонирование B как билинейную форму, заданную $формулой$

^тB ( v , w ) = B ( w , v ).

Левый радикал и правый радикал формы $B$ являются ядрами B $1$ и $B$ $2$ соответственно; ^[2] они являются векторами, ортогональными всему пространству слева и справа. ^[3 $]$

Если $V$ конечномерно, то ранг B $1$ равен рангу $B$ $2$ . Если это число равно $dim($ $V$ $)$ , то $B$ $1$ и $B$ $2$ являются линейными изоморфизмами из $V$ в $V$ $*$ . В этом случае $B$ невырождено. По теореме о ранге–нуле $это$ эквивалентно условию, что левый и эквивалентно правый радикалы тривиальны. Для конечномерных пространств это часто принимается за определение невырожденности:

Определение: B невырожден , если

B (v, w) = 0

для всех w влечет

v = 0

Для любого линейного отображения $A : V \to V *$ можно получить билинейную форму B на V посредством

B ( v , w ) = A ( v )( w ).

Эта форма будет невырожденной тогда и только тогда, когда $A$ является изоморфизмом.

Если $V$ конечномерно , то относительно некоторого базиса для $V$ билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда определитель связанной матрицы равен нулю. Аналогично, невырожденная форма — это форма, для которой определитель связанной матрицы отличен от нуля (матрица невырождена ). Эти утверждения не зависят от выбранного базиса. Для модуля над коммутативным кольцом унимодулярная форма — это форма, для которой определитель связанной матрицы равен единице ( например, 1), отсюда и термин; обратите внимание, что форма, определитель матрицы которой отличен от нуля, но не является единицей, будет невырожденной, но не унимодулярной, например $B$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 2$ $xy$ над целыми числами.

Симметричные, кососимметричные и чередующиеся формы

Мы определяем билинейную форму как

симметричным , если $B (v, w) = B (w, v)$ для всех $v$ , $w$ из $V$ ;
чередование , если $B (v, v) = 0$ для всех $v$ из $V$ ;
кососимметричный илиантисимметрично , если $B (v, w) = - B (w, v)$ для всех $v$ , $w$ из $V$ ;
Предложение
Каждая чередующаяся форма кососимметрична.
Доказательство
Это можно увидеть, разложив $B (v + w, v + w)$ .

Если характеристика K не равна $2$ , то обратное также верно: каждая кососимметричная форма является знакопеременной. Однако, если $char(K) = 2$ , то кососимметричная форма совпадает с симметричной формой, и существуют симметричные/кососимметричные формы, которые не являются знакопеременными.

Билинейная форма симметрична (соответственно кососимметрична) тогда и только тогда, когда ее координатная матрица (относительно любого базиса) симметрична (соответственно кососимметрична ). Билинейная форма является знакопеременной тогда и только тогда, когда ее координатная матрица кососимметрична и все диагональные элементы равны нулю (что следует из кососимметричности, когда $char(K) \neq 2$ ).

Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда отображения $B 1, B 2 : V \to V *$ равны, и кососимметрична тогда и только тогда, когда они являются отрицательными друг другу. Если $char(K) \neq 2$ , то можно разложить билинейную форму на симметричную и кососимметричную части следующим образом , где $t$ $B$ — транспонированная форма $B$ (определенная выше). $B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),$

Рефлексивные билинейные формы и ортогональные векторы

Определение: Билинейная форма

B : V \times V \to K

называется рефлексивной , если

B (v, w) = 0

влечет

B (w, v) = 0

для всех v , w из V .

Определение: Пусть

B : V \times V \to K

— рефлексивная билинейная форма. v , w в V ортогональны относительно B, если

B (v, w) = 0

Билинейная форма $B$ рефлексивна тогда и только тогда, когда она симметрична или знакопеременна. ^[4] При отсутствии рефлексивности мы должны различать левую и правую ортогональность. В рефлексивном пространстве левый и правый радикалы согласуются и называются ядром или радикалом билинейной формы: подпространством всех векторов, ортогональных любому другому вектору. Вектор $v$ с матричным представлением $x$ находится в радикале билинейной формы с матричным представлением $A$ тогда и только тогда, когда $Ax = 0 \Leftrightarrow x T A = 0.$ Радикал всегда является подпространством $V$ . Он тривиален тогда и только тогда, когда матрица $A$ невырождена, и, таким образом, тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена.

Предположим, что $W$ — подпространство. Определим ортогональное дополнение^[5] $W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ для всех }}\mathbf {w} \in W\right\}.$

Для невырожденной формы на конечномерном пространстве отображение $V/W \to W ⊥$ является биекцией , а размерность $W ⊥$ равна $dim(V) - dim(W)$ .

Ограниченные и эллиптические билинейные формы

Определение: Билинейная форма на нормированном векторном пространстве $(V, ‖\cdot‖)$ ограничена , если существует константа C такая $,$ что для всех $u, v \in V$ , $B(\mathbf {u},\mathbf {v})\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$

Определение: Билинейная форма на нормированном векторном пространстве $(V, ‖\cdot‖)$ является эллиптической или коэрцитивной , если существует константа $c > 0$ такая, что для всех $u \in V$ , $B(\mathbf {u},\mathbf {u})\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.$

Соответствующая квадратичная форма

Для любой билинейной формы $B : V \times V \to K$ существует связанная с ней квадратичная форма $Q : V \to K,$ определяемая соотношением $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

Когда $char(K) \neq 2$ , квадратичная форма Q определяется симметричной частью билинейной формы B и не зависит от антисимметричной части. В этом случае существует взаимно-однозначное соответствие между симметричной частью билинейной формы и квадратичной формой, и имеет смысл говорить о симметричной билинейной форме, связанной с квадратичной формой.

Когда $char(K) = 2$ и $dim V > 1$ , это соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами нарушается.

Отношение к тензорным произведениям

По универсальному свойству тензорного произведения существует каноническое соответствие между билинейными формами на $V$ и линейными отображениями $V \otimes V \to K.$ Если $B$ — билинейная форма на $V,$ соответствующее линейное отображение задается как

v \otimes w \mapsto B (v, w)

В другом направлении, если $F : V \otimes V \to K$ — линейное отображение, соответствующая билинейная форма задается путем композиции F с билинейным отображением $V \times V \to V \otimes V$ , которое переводит $(v, w)$ в $v \otimes w$ .

Множество всех линейных отображений $V \otimes V \to K$ является двойственным пространством V $\otimes V,$ поэтому билинейные формы можно рассматривать как элементы $(V \otimes V) * ,$ которые (когда $V$ конечномерно) канонически изоморфны $V * \otimes V *$ .

Аналогично, симметричные билинейные формы можно рассматривать как элементы $(Sym 2 V) *$ (двойственные второй симметричной степени V $) , а чередующиеся билинейные формы —$ $как$ элементы $(Λ 2 V) * ≃ Λ 2 V *$ (вторая внешняя степень $V$ ∗ ). Если $char K \neq 2$ , $(Sym 2 V) * ≃ Sym 2 (V$ $*$ $)$ .

Обобщения

Пары различных векторных пространств

Большая часть теории доступна для билинейного отображения двух векторных пространств над одним и тем же базовым полем в это поле.

В : В \times В \to К

Здесь мы все еще имеем индуцированные линейные отображения из $V$ в $W *$ и из $W$ в $V *$ . Может случиться, что эти отображения являются изоморфизмами; предполагая конечные размерности, если одно является изоморфизмом, другое должно быть. Когда это происходит, говорят, что B является совершенным сопряжением .

В конечных размерностях это эквивалентно тому, что спаривание является невырожденным (пространства обязательно имеют одинаковые размерности). Для модулей (вместо векторных пространств), так же как невырожденная форма слабее унимодулярной формы, невырожденное спаривание является более слабым понятием, чем совершенное спаривание. Спаривание может быть невырожденным, не будучи совершенным спариванием, например, $Z \times Z \to Z$ через $(x, y) \mapsto 2 xy$ является невырожденным, но индуцирует умножение на 2 на отображении $Z \to Z *$ .

Терминология различается в охвате билинейных форм. Например, Ф. Риз Харви обсуждает «восемь типов внутреннего произведения». ^[6] Для их определения он использует диагональные матрицы A _{ij ,} имеющие только +1 или −1 для ненулевых элементов. Некоторые из «внутренних произведений» являются симплектическими формами , а некоторые — полуторалинейными формами или эрмитовыми формами . Вместо общего поля $K$ прописываются случаи с действительными числами $R$ , комплексными числами $C$ и кватернионами $H$ . Билинейная форма называется действительным симметричным случаем и обозначается как $R$ $($ $p$ $,$ $q$ $)$ , где $p$ $+$ $q$ $=$ $n$ . Затем он формулирует связь с традиционной терминологией: ^[7] $\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}$

Некоторые из действительных симметричных случаев очень важны. Положительно определенный случай R ( n , 0) называется евклидовым пространством , в то время как случай одного минуса, R ( n −1, 1), называется лоренцевым пространством . Если n = 4 , то лоренцево пространство также называется пространством Минковского или пространством-временем Минковского . Особый случай R ( p , p ) будет называться расщепленным случаем .

Общие модули

Для данного кольца $R$ , правого $R$ -модуля $M$ и его двойственного модуля $M *$ отображение $B : M * \times M \to R$ называется билинейной формой, если

В (и + v, х) = В (и, х) + В (v, х)

В (и, х + у) = В (и, х) + В (и, у)

B (αu, xβ) = αB (u, x) β

для всех $u, v \in M *$ , всех x $, y \in M и$ всех $α, β \in R.$

Отображение $⟨\cdot,\cdot⟩ : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ известно как естественное спаривание , также называемое канонической билинейной формой на $M * \times M$ . ^[8]

Линейное отображение $S : M * \to M * : u \mapsto S (u)$ индуцирует билинейную форму $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , а линейное отображение $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ индуцирует билинейную форму $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ u, T (x)⟩$ .

Наоборот, билинейная форма $B : M * \times M \to R$ индуцирует R -линейные отображения $S : M * \to M * : u \mapsto (x \mapsto B (u, x))$ и $T' :$ $M$ $\to$ $M$ $**$ $:$ $x$ $\mapsto$ $($ $u$ $\mapsto$ $B$ $($ $u$ $,$ $x$ $))$ . Здесь $M **$ обозначает двойной дуал M .

Смотрите также

Цитаты

^ "Глава 3. Билинейные формы — Конспект лекций для MA1212" (PDF) . 2021-01-16.
^ Якобсон 2009, стр. 346.
^ Желобенко 2006, стр. 11.
^ Гроув 1997.
^ Адкинс и Вайнтрауб 1992, стр. 359.
↑ Харви 1990, стр. 22.
↑ Харви 1990, стр. 23.
↑ Бурбаки 1970, стр. 233.

Ссылки

Эдкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, ЗБЛ 0768.00003
Бурбаки, Н. (1970), Алгебра , Спрингер
Куперштейн, Брюс (2010), «Глава 8: Билинейные формы и отображения», Advanced Linear Algebra , CRC Press , стр. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
Гроув, Ларри С. (1997), Группы и персонажи , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Бакалаврские тексты по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, ЗБЛ 0288.15002
Харви, Ф. Риз (1990), «Глава 2: Восемь типов пространств внутренних произведений», Спиноры и калибровки , Academic Press , стр. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
Попов, В. Л. (1987), «Билинейная форма», в Хазевинкель, М. (ред.), Энциклопедия математики , т. 1, Kluwer Academic Publishers , стр. 390–392. Также: Билинейная форма , стр. 390, в Google Books
Якобсон, Натан (2009), Базовая алгебра , т. I (2-е изд.), Courier Corporation, ISBN 978-0-486-47189-1
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 73, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-06009-X, ЗБЛ 0292.10016
Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 50, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012), Линейная алгебра и геометрия, Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
Шилов, Георгий Э. (1977), Сильверман, Ричард А. (ред.), Линейная алгебра , Довер, ISBN 0-486-63518-X
Желобенко, Дмитрий Петрович (2006), Основные структуры и методы теории представлений , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3731-1

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Билинейные формы .

«Билинейная форма», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
"Билинейная форма". PlanetMath .

В данной статье использованы материалы из Unimodular на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .