stringtranslate.com

период Гаусса

В математике , в области теории чисел , гауссовский период — это определенный вид суммы корней из единицы . Периоды позволяют проводить явные вычисления в циклотомических полях, связанных с теорией Галуа и гармоническим анализом ( дискретное преобразование Фурье ). Они являются основными в классической теории, называемой циклотомией . Тесно связана с суммой Гаусса , типом экспоненциальной суммы , которая является линейной комбинацией периодов.

История

Как следует из названия, периоды были введены Гауссом и легли в основу его теории построения циркуля и линейки . Например, построение гептадекагона (формула, которая способствовала его репутации) зависело от алгебры таких периодов, из которых

пример, включающий корень семнадцатой степени из единицы

Общее определение

Дано целое число n > 1, пусть H — любая подгруппа мультипликативной группы

обратимых вычетов по модулю n , и пусть

Период Гаусса P представляет собой сумму примитивных корней n-й степени из единицы , где пробегает все элементы фиксированного смежного класса H в G.

Определение P можно также сформулировать в терминах следа поля . Мы имеем

для некоторого подполя L поля Q (ζ) и некоторого j, взаимно простого с n . Это соответствует предыдущему определению, отождествляя G и H с группами Галуа Q (ζ)/ Q и Q (ζ)/ L , соответственно. Выбор j определяет выбор смежного класса H в G в предыдущем определении.

Пример

Ситуация наиболее проста, когда n — простое число p > 2. В этом случае G является циклической группой порядка p − 1 и имеет одну подгруппу H порядка d для каждого множителя d числа p − 1. Например, мы можем взять H индекса два . В этом случае H состоит из квадратичных вычетов по модулю p . Соответствующему этому H мы имеем гауссовский период

суммируется по ( p − 1)/2 квадратичным вычетам, а другой период P* суммируется по ( p − 1)/2 квадратичным невычетам. Легко видеть, что

так как левая часть добавляет все примитивные корни p -й степени из 1. Мы также знаем из определения следа, что P лежит в квадратичном расширении Q . Следовательно, как знал Гаусс, P удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Оценка квадрата суммы P связана с проблемой подсчета того, сколько квадратичных вычетов между 1 и p − 1 следуют за квадратичными вычетами. Решение элементарно (как мы бы сейчас сказали, оно вычисляет локальную дзета-функцию для кривой, которая является коникой ) . Можно

( PP *) 2 = p или − p , для p = 4 m + 1 или 4 m + 3 соответственно.

Таким образом, это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле лежит в Q (ζ). (Это можно также вывести с помощью аргументов ветвления в алгебраической теории чисел ; см. квадратичное поле .)

Как в конечном итоге показал Гаусс, для оценки PP * правильный квадратный корень, который нужно взять, является положительным (соответственно, i раз положительное действительное число) в обоих случаях. Таким образом, явное значение периода P дается как

суммы Гаусса

Как более подробно обсуждается ниже, гауссовские периоды тесно связаны с другим классом сумм корней из единицы, которые теперь обычно называют суммами Гаусса (иногда суммами Гаусса ). Величина PP *, представленная выше, является квадратичной суммой Гаусса mod p , простейшим нетривиальным примером суммы Гаусса. Можно заметить, что PP * также может быть записана как

где здесь обозначает символ Лежандра ( a / p ), а сумма берется по классам вычетов по модулю p . В более общем случае, учитывая характер Дирихле χ mod n , сумма Гаусса mod n, связанная с χ, равна

Для частного случая главного характера Дирихле сумма Гаусса сводится к сумме Рамануджана :

где μ — функция Мёбиуса .

Суммы Гаусса повсеместно встречаются в теории чисел; например, они существенно встречаются в функциональных уравнениях L -функций . (Суммы Гаусса в некотором смысле являются аналогами гамма -функции в конечных полях . [ необходимо пояснение ] [ необходима ссылка ] )

Связь гауссовых периодов и сумм Гаусса

Периоды Гаусса связаны с суммами Гаусса , для которых характер χ тривиален на H . Такие χ принимают одно и то же значение во всех элементах a в фиксированном смежном классе H в G . Например, квадратичный характер mod p , описанный выше, принимает значение 1 в каждом квадратичном вычете и принимает значение -1 в каждом квадратичном невычете. Таким образом, сумма Гаусса может быть записана как линейная комбинация периодов Гаусса (с коэффициентами χ( a )); обратное также верно, как следствие соотношений ортогональности для группы ( Z / n Z ) × . Другими словами, периоды Гаусса и суммы Гаусса являются преобразованиями Фурье друг друга . Периоды Гаусса обычно лежат в меньших полях, так как, например, когда n является простым числом p , значения χ( a ) являются корнями ( p − 1)-й степени из единицы. С другой стороны, суммы Гаусса обладают более приятными алгебраическими свойствами.

Ссылки