Полевой след

В математике след поля — это конкретная функция , определенная относительно конечного расширения поля L / K , которое является K -линейным отображением из L на K.

Определение

Пусть K — поле , а L — конечное расширение (и, следовательно, алгебраическое расширение ) поля K. L можно рассматривать как векторное пространство над полем K. Умножение на α , элемент поля L ,

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ given by }}m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

является K - линейным преобразованием этого векторного пространства в себя. След , Tr _{L / K} ( α ), определяется как след (в смысле линейной алгебры ) этого линейного преобразования. ^[1]

Для α в L пусть σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) будут корнями ( подсчитанными с кратностью) минимального многочлена α над K (в некотором поле расширения K ). Тогда

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ).}$

Если L / K разделимы , то каждый корень появляется только один раз ^[2] (однако это не означает, что коэффициент выше равен единице; например, если α является единичным элементом 1 ряда K , то след равен [ L : K  ] умноженному на 1).

В частности, если L / K является расширением Галуа и α принадлежит L , то след α является суммой всех сопряженных Галуа α , [ ^1] т.е.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

где Gal( L / K ) обозначает группу Галуа L / K .

Пример

Пусть — квадратичное расширение . Тогда базис — это Если тогда матрица — это: ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}.}$ ${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle m_{\alpha }}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$,

и поэтому, [ ^1] Минимальный многочлен α равен X ² − 2 a X + ( a ² − db ² ) . ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+a-b{\sqrt {d}}=2a}$ 

Свойства следа

Некоторые свойства функции следа справедливы для любого конечного расширения. ^[3]

След Tr _{L / K}  : L → K является K - линейным отображением ( K - линейным функционалом), то есть

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$.

Если α ∈ K , то ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

Кроме того, трассировка хорошо ведет себя в башнях полей : если M является конечным расширением L , то трассировка от M до K является просто композицией трассировки от M до L со трассировкой от L до K , т.е.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$.

Конечные поля

Пусть L = GF( q ⁿ ) — конечное расширение конечного поля K = GF( q ). Поскольку L / K — расширение Галуа , если α принадлежит L , то след α — это сумма всех сопряженных по Галуа элементов α , т.е. ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}.}$

В этой настройке у нас есть дополнительные свойства: ^[5]

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$.
• Для любого существует ровно элементов с . ${\displaystyle \alpha \in K}$ ${\displaystyle q^{n-1}}$ ${\displaystyle b\in L}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha }$

Теорема . ^[6] Для b ∈ L пусть F _b будет отображением Тогда F _b ≠ F _{c ,} если b ≠ c . Более того, K -линейные преобразования из L в K являются в точности отображениями вида F _{b ,} когда b изменяется по полю L . ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$

Когда K является простым подполем L , след называется абсолютным следом , в противном случае — относительным следом . ^[4]

Приложение

Квадратное уравнение , ax ² + bx + c = 0 с a  ≠ 0 и коэффициентами в конечном поле имеет либо 0, 1, либо 2 корня в GF( q ) (и два корня, подсчитанных с кратностью, в квадратичном расширении GF( q ² )). Если характеристика GF( q ) нечетная , дискриминант Δ = b ² − 4 ac указывает количество корней в GF( q ) и классическая квадратная формула дает корни. Однако, когда GF( q ) имеет четную характеристику (т. е. q = 2 ^h для некоторого положительного целого числа h ), эти формулы больше не применимы. ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$

Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 с коэффициентами в конечном поле GF(2 ^h ). ^[7] Если b = 0, то это уравнение имеет единственное решение в GF( q ). Если b ≠ 0 , то подстановка y = ax / b преобразует квадратное уравнение к виду: ${\displaystyle x={\sqrt {\frac {c}{a}}}}$

${\displaystyle y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}.}$

Это уравнение имеет два решения в GF( q ) тогда и только тогда, когда абсолютный след В этом случае, если y  =  s является одним из решений, то y  =  s  + 1 является другим. Пусть k будет любым элементом GF( q ) с Тогда решение уравнения задается как: ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.}$

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}.}$

При h = 2 m'  + 1 решение дается более простым выражением:

${\displaystyle y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}.}$

Форма следа

Когда L / K является сепарабельным, след обеспечивает теорию двойственности через форму следа : отображение из L × L в K, отправляющее ( x , y ) в Tr _{L / K} ( xy ), является невырожденной , симметричной билинейной формой , называемой формой следа. Если L / K является расширением Галуа, форма следа инвариантна относительно группы Галуа.

Форма следа используется в алгебраической теории чисел в теории различных идеалов .

Форма следа для конечного расширения поля степени L / K имеет неотрицательную сигнатуру для любого порядка полей K. ^[8] Обратное утверждение , что каждый класс эквивалентности Витта с неотрицательной сигнатурой содержит форму следа, верно для алгебраических числовых полей K. ^[8 ]

Если L / K является неотделимым расширением , то следовая форма тождественно равна 0. ^[9]

Смотрите также

• Норма поля
• Уменьшенный след

Примечания

1. Ротман 2002, стр. 940
2. Ротман 2002, стр. 941
3. Роман 2006, стр. 151
4. Lidl & Niederreiter 1997, стр.54
5. Маллен и Панарио 2013, стр. 21
6. Lidl & Niederreiter 1997, стр.56.
7. Хиршфельд 1979, стр. 3-4
8. Lorenz (2008) стр.38
9. Isaacs 1994, стр. 369, как указано в сноске Rotman 2002, стр. 943

Ссылки

• Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0
• Айзекс, И.М. (1994), Алгебра, курс для аспирантов , Brooks/Cole Publishing
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 20 (второе издание), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, ЗБЛ  0866.11069
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Збл  1130.12001.
• Маллен, Гэри Л.; Панарио, Дэниел (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Роман, Стивен (2006), Теория поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 158 (второе издание), Springer, Глава 8, ISBN 978-0-387-27677-9, ЗБЛ  1172.12001
• Ротман, Джозеф Дж. (2002), Современная алгебра , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7

Дальнейшее чтение

• Conner, PE; Perlis, R. (1984). Обзор следовых форм полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. Том 2. World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Збл  0551.10017.
• Раздел VI.5 из Lang, Serge (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001