Гептадекагон

Многоугольник с 17 гранями

В геометрии гептадекагон , септадекагон или 17-угольник — это семнадцатиугольник .

Правильный гептадекагон

Правильный гептадекагон обозначается символом Шлефли {17} .

Строительство

Публикация К. Ф. Гаусса в Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung.

Так как 17 является простым числом Ферма , правильный семиугольник является конструируемым многоугольником (то есть таким, который можно построить с помощью циркуля и неразмеченной линейки ): это показал Карл Фридрих Гаусс в 1796 году в возрасте 19 лет . ^[1] Это доказательство представляло собой первый прогресс в построении правильных многоугольников за более чем 2000 лет. ^[1] Доказательство Гаусса опирается, во-первых, на тот факт, что конструируемость эквивалентна выразимости тригонометрических функций общего угла в терминах арифметических операций и извлечения квадратных корней , а во-вторых, на его доказательстве того, что это можно сделать, если нечетные простые множители , числа сторон правильного многоугольника, являются различными простыми числами Ферма, которые имеют вид для некоторого неотрицательного целого числа . Таким образом, построение правильного семиугольника включает в себя нахождение косинуса в терминах квадратных корней. В книге Гаусса Disquisitiones Arithmeticae ^[2] это (в современных обозначениях) дается как ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{17}}=&{\frac {1}{16}}\left({\sqrt {17}}-1+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\right)\\&+{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right).\\\end{aligned}}}$

Гауссово построение правильного гептадекагона.

Построения правильного треугольника , пятиугольника , пятнадцатиугольника и многоугольников с числом сторон в 2 ^h раз больше были даны Евклидом, но построения, основанные на простых числах Ферма, отличных от 3 и 5, были неизвестны древним. (Единственными известными простыми числами Ферма являются F _n для n = 0, 1, 2, 3, 4. Это 3, 5, 17, 257 и 65537.)

Явное построение гептадекагона было дано Гербертом Уильямом Ричмондом в 1893 году. Следующий метод построения использует окружности Карлейля , как показано ниже. Основываясь на построении правильного 17-угольника, можно легко построить n -угольники, где n является произведением 17 на 3 или 5 (или на оба) и любую степень 2: правильный 51-угольник, 85-угольник или 255-угольник и любой правильный n -угольник с 2 ^h раз большим числом сторон.

Конструкция по Дуэйну В. ДеТемплу с кругами Карлейля, ^[4] анимация 1 мин 57 сек

Другое построение правильного гептадекагона с использованием линейки и циркуля выглядит следующим образом:

TP Stowell из Рочестера, штат Нью-Йорк, ответил на запрос WE Heal, Wheeling, Indiana в The Analyst в 1877 году: ^[5]

«Построить правильный многоугольник с семнадцатью сторонами в окружности. Провести радиус CO под прямым углом к ​​диаметру AB. На OC и OB взять OQ, равный половине, а OD — равной восьмой части радиуса. Сделать DE и DF равными DQ, а EG и FH — соответственно EQ и FQ; взять OK как среднее пропорциональное между OH и OQ и через K провести KM параллельно AB, пересекая полуокружность, описанную на OG в точке M; провести MN параллельно OC, пересекая данную окружность в точке N — дуга AN составляет семнадцатую часть всей окружности».

Построение согласно
"отправлено TP Stowell, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: "возьмем OK как среднее пропорциональное между OH и OQ"

Построение согласно
"отправлено TP Stowell, зачислено в Leybourn's Math. Repository, 1818" .
Добавлено: "принять OK как среднее пропорциональное между OH и OQ" , анимация

Следующий простой дизайн принадлежит Герберту Уильяму Ричмонду и датируется 1893 годом: ^[6]

«Пусть OA, OB (рис. 6) будут двумя перпендикулярными радиусами окружности. Пусть OI составляет одну четвертую OB, а угол OIE — одну четвертую OIA; также найдите в OA точку F, такую, что EIF равен 45°. Пусть окружность на AF как диаметр пересекает OB в K, и пусть окружность с центром в E и радиусом EK пересекает OA в N ₃ и N ₅ ; тогда, если ординаты N ₃ P ₃ , N ₅ P ₅ провести к окружности, дуги AP ₃ , AP ₅ будут составлять 3/17 и 5/17 окружности».

• Точка N ₃ находится очень близко к центральной точке теоремы Фалеса над AF.

Строительство по HW Richmond

Строительство по Г. У. Ричмонду в виде анимации

Следующая конструкция является вариацией конструкции Г. У. Ричмонда.

Отличия от оригинала:

• Окружность k ₂ определяет точку H вместо биссектрисы w ₃ .
• Окружность k4 _вокруг точки G' (отражение точки G относительно m) дает точку N, которая уже не так близка к M, для построения касательной.
• Некоторые имена изменены.

Гептадекагон в принципе по Г. У. Ричмонду, вариант конструкции относительно точки N

Еще одна более поздняя конструкция представлена ​​Каллаги. ^[3]

Тригонометрический вывод с использованием вложенных квадратных уравнений

Объедините вложенную формулу двойного угла с формулой дополнительного угла, чтобы получить вложенный квадратный многочлен ниже.

${\displaystyle \cos {\frac {2m\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {m\pi }{17}}-1}$, И

${\displaystyle \cos {\frac {16\pi }{17}}=\cos({\pi -{\frac {\pi }{17}}})=-\cos {\frac {\pi }{17}}=-X}$

Поэтому,

${\displaystyle -X=-\cos {\frac {\pi }{17}}=\cos {\frac {16\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {8\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {4\pi }{17}}-1)}^{2}-1}$

${\displaystyle \cos {\frac {4\pi }{17}}=2\cos ^{2}{\frac {2\pi }{17}}-1=2\times {(2\cos ^{2}{\frac {\pi }{17}}-1)}^{2}-1=2(2X^{2}-1)^{2}-1}$

При упрощении и решении для X,

${\displaystyle 32768X^{16}-131072X^{14}+212992X^{12}-180224X^{10}+84480X^{8}-21504X^{6}+2688X^{4}-128X^{2}+1=-X}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}=X={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Точное значение синуса и косинуса.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠м π/(17 × 2n )⁠

Если , и тогда, в зависимости от любого целого числа m ${\displaystyle A={\sqrt {2(17\pm {\sqrt {17}})}}}$ ${\displaystyle B=({\sqrt {17}}\pm 1)}$ ${\displaystyle C=17\mp 4{\sqrt {17}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {m\pi }{17}}=\pm {\frac {(A\pm B)\pm 2{\sqrt {(A\mp B){\sqrt {C}}}}}{16}}}$

${\displaystyle =\pm {\frac {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\pm ({\sqrt {17}}\pm 1)\pm 2{\sqrt {{\sqrt {34\pm {\sqrt {68}}}}\mp ({\sqrt {17}}\pm 1)}}{\sqrt {\sqrt {17\mp {\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Например, если м = 1

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}-{\sqrt {17}}+1+2{\sqrt {{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {17}}-1}}{\sqrt {\sqrt {17+{\sqrt {272}}}}}}{16}}}$

Вот выражения, упрощенные в следующей таблице.

Поэтому, применяя индукцию с m=1 и начиная с n=0:

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{0}}}={\frac {1-{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-{\sqrt {68}}}}+{\sqrt {68+{\sqrt {2448}}+{\sqrt {2720+{\sqrt {6284288}}}}}}}{16}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}}$и ${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{17\times 2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2-2\cos {\frac {\pi }{17\times 2^{n}}}}}{2}}.}$

Симметрия

Симметрии правильного гептадекагона. Вершины окрашены в соответствии с их позициями симметрии. Синие зеркальные линии проведены через вершины и ребра. Порядки вращения указаны в центре.

Правильный гептадекагон имеет симметрию Dih ₁₇ порядка 34. Поскольку 17 — простое число, то существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih ₁ и 2 циклические группы симметрии: Z ₁₇ и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на гептадекагоне. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[7] Полная симметрия правильной формы — r34 , и ни одна симметрия не обозначена как a1 . Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены как g для их центральных порядков инерции.

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для нерегулярных форм. Только подгруппа g17 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные ребра .

Связанные полигоны

Гептадекаграммы

Гептадекаграмма — это 17-сторонний звездчатый многоугольник . Существует семь правильных форм, задаваемых символами Шлефли : {17/2}, {17/3}, {17/4}, {17/5}, {17/6}, {17/7} и {17/8}. Поскольку 17 — простое число, все они являются правильными звездами, а не составными фигурами.

Петри полигоны

Правильный гептадекагон — это многоугольник Петри для одного правильного выпуклого многогранника большей размерности, спроецированный в косоортогональной проекции :

Ссылки

1. Артур Джонс, Сидней А. Моррис, Кеннет Р. Пирсон, Абстрактная алгебра и знаменитые невозможности , Springer, 1991, ISBN  0387976612 , стр. 178.
2. Карл Фридрих Гаусс "Disquisitiones Arithmeticae" eod book2ebooks, стр. 662 пункт 365.
3. Каллаги, Джеймс Дж. «Центральный угол правильного 17-угольника», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 290–292.
4. Duane W. DeTemple "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions" в The American Mathematical Monthly, том 98, выпуск 1 (февраль 1991 г.), 97–108. "4. Construction of the Regular Heptadecagon (17-gon)" стр. 101–104, стр. 103, документ web.archive, выбранный 28 января 2017 г.
5. Хендрикс, Дж. Э. (1877). «Ответ на вопрос г-на Хила; Т. П. Стоуэлл из Рочестера, штат Нью-Йорк» Аналитик: Ежемесячный журнал чистой и прикладной математики, том 1 : 94–95.Запрос, автор WE Heal, Wheeling, Indiana, стр. 64; дата доступа 30 апреля 2017 г.
6. Герберт В. Ричмонд, описание иллюстрации "Построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами" (рис. 6), The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 26: стр. 206–207. Получено 4 декабря 2015 г.
7. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278) 

Дальнейшее чтение

• Данэм, Уильям (сентябрь 1996 г.). «1996—тройная годовщина». Math Horizons . 4 : 8–13. doi :10.1080/10724117.1996.11974982. Архивировано из оригинала 13 июля 2010 г. Получено 6 декабря 2009 г.
• Клейн, Феликс и др. Знаменитые проблемы и другие монографии . – Описывает алгебраический аспект, по Гауссу.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гептадекагон». MathWorld .Содержит описание конструкции.
• «Построение гептадекагона». MathPages.com .
• Гептадекагон тригонометрические функции
• Видео BBC о новом центре исследований и разработок SolarUK
• Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Eisenbud, David (13 февраля 2015 г.). "Удивительный гептадекагон (17-угольник)" (видео) . Брэди Харан . Получено 2 марта 2015 г.
• OEIS : A210644