Дискриминант алгебраического числового поля

Измеряет размер кольца целых чисел алгебраического числового поля.

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученная из Q присоединением корня x ³  −  x ²  − 2 x  + 1. Эта фундаментальная область находится внутри K  ⊗ _Q  R . Дискриминант K равен 49 = 7 ² . Соответственно, объем фундаментальной области равен 7, и K разветвлен только в точке 7.

В математике дискриминант поля алгебраических чисел — это числовой инвариант , который, грубо говоря, измеряет размер ( кольца целых чисел ) поля алгебраических чисел. Более конкретно, он пропорционален квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и регулирует, какие простые числа являются разветвленными .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах , таких как функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда K и аналитическая формула числа классов для K. Теорема Эрмита утверждает , что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще является открытой проблемой и предметом текущих исследований. ^[1]

Дискриминант K можно называть абсолютным дискриминантом K , чтобы отличать его от относительного дискриминанта расширения K / L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L , и, как и абсолютный дискриминант, он указывает, какие простые числа разветвлены в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, допускающее, чтобы L было больше Q ; фактически, когда L  =  Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z , порожденным абсолютным дискриминантом K .

Определение

Пусть K — алгебраическое числовое поле, и пусть O _K — его кольцо целых чисел . Пусть b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис O _K (т. е. базис как Z -модуль ), и пусть {σ _{1 ,} ... , σ _n } — множество вложений K в комплексные числа (т. е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K → C ). Дискриминант K — это квадрат  определителя  матрицы B размером n на n , ( i , j ) -элементом которой является σ i ( _b j ) _. Символически,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

Эквивалентно, можно использовать след от K до Q. В частности, определите форму следа как матрицу, ( i , j )-элемент которой равен Tr _{K / Q} ( b _i b _j ). Эта матрица равна B ^T B , поэтому квадрат дискриминанта K является определителем этой матрицы.

Дискриминант порядка в K с целочисленным базисом b ₁ , ..., b _n определяется аналогично.

Примеры

• Квадратичные числовые поля : пусть d — целое число, свободное от квадратов , тогда дискриминант равен ^[2] ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}$

Целое число, которое встречается как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом . ^[3]

• Циклотомические поля : пусть n  > 2 будет целым числом, пусть ζ _n будет примитивным корнем n- й степени из единицы , и пусть K _n = Q (ζ _n ) будет n-м циклотомическим полем. Дискриминант K _n задается как ^{[2] [4]}

${\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$

где — функция Эйлера , а произведение в знаменателе — по простым числам p, делящим n . ${\displaystyle \varphi (n)}$

• Степенные основания: В случае, когда кольцо целых чисел имеет степенной интегральный базис , то есть может быть записано как O _K = Z [α], дискриминант K равен дискриминанту минимального многочлена α. Чтобы увидеть это, можно выбрать интегральный базис O _K как b ₁  = 1, b ₂  = α, b ₃  =  α ² , ..., b _n  =  α ^{n −1} . Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, связанной с α _i  = σ _i (α), квадрат определителя которой равен

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$

что в точности является определением дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть K = Q (α) — числовое поле, полученное присоединением корня α к многочлену x 3 ⁻  x  2 ⁻  2 x  − 8. Это оригинальный пример Ричарда Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задается как {1, α, α(α + 1)/2}, а дискриминант K равен −503. ^{[5] [6]}
• Повторные дискриминанты: дискриминант квадратичного поля однозначно идентифицирует его, но это неверно, в общем случае, для числовых полей более высокой степени . Например, есть два неизоморфных кубических поля дискриминанта 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x ³ − 21 x + 28 или x ³ − 21 x − 35 , соответственно. ^[7]

Основные результаты

• Теорема Брилла : ^[8] Знак дискриминанта равен (−1) r ^{2 _,} где r 2 _— число комплексных позиций K . ^[9]
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда  p делит Δ _K. ^{[10] [11]}
• Теорема Штикельбергера : ^[12]

${\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.}$

• Граница Минковского : ^[13] Пусть n обозначает степень расширения K / Q , а r2 _— число комплексных позиций K , тогда

${\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}$

• Теорема Минковского : ^[14] Если K не равно Q , то |Δ _K | > 1 (это следует непосредственно из границы Минковского).
• Теорема Эрмита–Минковского : ^[15] Пусть N — положительное целое число. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) полей алгебраических чисел K с |Δ _K | < N. Опять же, это следует из связи Минковского с теоремой Эрмита (о том, что существует лишь конечное число полей алгебраических чисел с заданным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что каждое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля. ^[16]

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871 году. ^[16] К этому моменту он уже знал связь между дискриминантом и ветвлением. ^[17]

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта, доказательство которого было опубликовано Шарлем Эрмитом в 1857 году. ^[18] В 1877 году Александр фон Брилл определил знак дискриминанта. ^[19] Леопольд Кронекер впервые сформулировал теорему Минковского в 1882 году, ^[20] хотя первое доказательство было дано Германом Минковским в 1891 году. ^[21] В том же году Минковский опубликовал свою оценку дискриминанта. ^[22] Ближе к концу девятнадцатого века Людвиг Штикельбергер получил свою теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре. ^{[23] [24]}

Относительный дискриминант

Дискриминант, определенный выше, иногда называют абсолютным дискриминантом K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта Δ _{K / L} расширения числовых полей K / L , который является идеалом в O _L . Относительный дискриминант определяется аналогично абсолютному дискриминанту, но должен учитывать, что идеалы в O _L могут не быть главными и что может не быть O _L базиса O _K . Пусть {σ ₁ , ..., σ _n } — множество вложений K в C , которые являются тождественными на L . Если b ₁ , ..., b _n — любой базис K над L , пусть d ( b ₁ , ..., b _n ) — квадрат определителя матрицы n на n , ( i , j )-элементом которой является σ _i ( b _j ). Тогда относительный дискриминант K / L является идеалом, порожденным d ( b ₁ , ..., b _n ), когда { b ₁ , ..., b _n } варьируется по всем целочисленным базисам K / L . (т. е. базисам со свойством, что b _i  ∈  O _K для всех i .) Альтернативно, относительный дискриминант K / L является нормой дифференты K / L . [ 25 ] Когда L = ^Q , относительный дискриминант Δ K / _{Q является} главным идеалом Z, порожденным абсолютным дискриминантом Δ _K  . В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны _{соотношением}

${\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}}$

где обозначает относительную норму . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Разветвление

Относительный дискриминант регулирует данные ветвления расширения поля K / L . Простой идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант Δ _{K / L} . Расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. ^[25] Приведенная выше граница Минковского показывает, что не существует нетривиальных неразветвленных расширений Q . Поля, большие Q, могут иметь неразветвленные расширения: например, для любого поля с числом классов больше единицы его поле классов Гильберта является нетривиальным неразветвленным расширением.

Корневой дискриминант

Дискриминант корня числового поля степени n K определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.}$^[27]

Соотношение между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не изменяется в неразветвленном расширении.

Асимптотические нижние границы

Даны неотрицательные рациональные числа ρ и σ , не равные одновременно 0, и положительное целое число n, такое _, что пара ( r ,2s ) = ( ρn , σn ) принадлежит Z  × 2Z , пусть αn ( ρ ,  σ ) будет инфимумом rd _K , поскольку K пробегает числовые поля степени n с r действительными вложениями и 2s комплексными вложениями, и пусть α ( ρ ,  σ ) = liminf _n → _∞  αn ₍ ρ ,  σ ). Тогда

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 60.8^{\rho }22.3^{\sigma }}$,

и обобщенная гипотеза Римана подразумевает более сильную связь

${\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geq 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.}$^[28]

Существует также нижняя граница, которая справедлива во всех степенях, а не только асимптотически: для полностью вещественных полей корневой дискриминант > 14, с 1229 исключениями. ^[29]

Асимптотические верхние границы

С другой стороны, существование бесконечной башни полей классов может дать верхние границы значений α ( ρ ,  σ ). Например, бесконечная башня полей классов над Q ( √ - m ) с m  = 3·5·7·11·19 производит поля произвольно большой степени с корневым дискриминантом 2 √ m ≈ 296,276, ^[28] так что α (0,1) < 296,276. Используя умеренно разветвленные башни, Хаджир и Мэр показали, что α (1,0) < 954,3 и α (0,1) < 82,2, ^[27] улучшая более ранние границы Мартине. ^{[28] [30]}

Отношение к другим величинам

• При внедрении в объем фундаментальной области O _K равен (иногда используется другая мера , и полученный объем равен , где r ₂ — число комплексных позиций K ). ${\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$ ${\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}$
• Благодаря своему появлению в этом томе дискриминант также появляется в функциональном уравнении дзета-функции Дедекинда K и, следовательно, в аналитической формуле числа классов и теореме Брауэра–Зигеля .
• Относительный дискриминант K / L является артиновым кондуктором регулярного представления группы Галуа K / L. Это обеспечивает связь с артиновыми кондукторами характеров группы Галуа K / L , называемую формулой кондуктор-дискриминант . ^[31]

Примечания

1. Коэн, Диас и Диас и Оливье 2002
2. Манин, Ю. И. ; Панчишкин, А. А. (2007), Введение в современную теорию чисел , Энциклопедия математических наук, т. 49 (Второе изд.), стр. 130, ISBN 978-3-540-20364-3, ISSN  0938-0396, Збл  1079.11002
3. Определение 5.1.2 Коэна 1993 г.
4. Предложение 2.7 Вашингтона 1997 г.
5. Дедекинд 1878, стр. 30–31
6. Наркевич 2004, стр. 64
7. Коэн 1993, Теорема 6.4.6
8. Кох 1997, стр. 11
9. Лемма 2.2 Вашингтона 1997 г.
10. Следствие III.2.12 из Нойкирха 1999 г.
11. Конрад, Кейт. "Дискриминанты и разветвленные простые числа" (PDF) . Теорема 1.3 (Дедекинд). Для числового поля K простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит целый diskZ(OK)
12. Упражнение I.2.7 из Нойкирха 1999 г.
13. Предложение III.2.14 Нойкирха 1999 г.
14. Теорема III.2.17 Нойкирха 1999 г.
15. Теорема III.2.16 Нойкирха 1999 г.
16. Приложение X Дедекинда ко второму изданию книги Питера Густава Лежена Дирихле Vorlesungen über Zahlentheorie (Дедекинд, 1871)
17. Бурбаки 1994
18. Эрмит 1857.
19. Брилл 1877.
20. Кронекер 1882.
21. Минковский 1891а.
22. Минковский 1891б.
23. Штикельбергер 1897.
24. Все факты в этом абзаце можно найти в Narkiewicz 2004, стр. 59, 81.
25. Нойкирх 1999, §III.2
26. Следствие III.2.10 из Neukirch 1999 или Предложение III.2.15 из Fröhlich & Taylor 1993
27. Hajir, Farshid; Maire, Christian (2002). "Tamely wrified towers and discriminant bounds for number fields. II". J. Symbolic Comput. 33 : 415–423. doi : 10.1023/A:1017537415688 .
28. Koch 1997, стр. 181–182.
29. Войт 2008
30. Мартине, Жак (1978). «Обзоры корпусов классов и оценки дискриминантов». Inventiones Mathematicae (на французском языке). 44 : 65–73. Бибкод : 1978InMat..44...65M. дои : 10.1007/bf01389902. S2CID  122278145. Збл  0369.12007.
31. Раздел 4.4 Serre 1967

Ссылки

Первичные источники

• Брилл, Александр фон (1877), «Ueber die Discriminante», Mathematische Annalen , 12 (1): 87–89, номер документа : 10.1007/BF01442468, JFM  09.0059.02, MR  1509928, S2CID  120947279 , получено 22 августа 2009 г.
• Дедекинд, Рихард (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2-е изд.), Vieweg , получено 5 августа 2009 г.
• Дедекинд, Рихард (1878), «Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen», Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 23 (1) , получено 20 августа 2009 г.
• Эрмит, Чарльз (1857), «Extrait d'une Letter de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se reduisent les racines des équations à коэффициенты всех комплексов d'un degré et d'un дискриминантных Донне», Crelle's Journal , 1857 (53): 182–192, doi : 10.1515/crll.1857.53.182, S2CID  120694650 , получено 20 августа 2009 г.
• Кронекер, Леопольд (1882), «Grundzüge einer arithmetischen Theorie der алгебраишен Гроссен», Crelle's Journal , 92 : 1–122, JFM  14.0038.02 , получено 20 августа 2009 г.
• Минковский, Герман (1891a), «Ueber die позитивные квадратичные формы и über kettenbruchähnliche Algorithmen», Crelle's Journal , 1891 (107): 278–297, doi : 10.1515/crll.1891.107.278, JFM  23.0212.01 , получено 200 9-08 -20
• Минковский, Герман (1891b), «Теоремы арифметики», Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 112 : 209–212, JFM  23.0214.01
• Штикельбергер, Людвиг (1897), «Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten алгебраишер Zahlkörper», Труды Первого международного конгресса математиков, Цюрих , стр. 182–193, JFM  29.0172.03

Вторичные источники

• Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрума, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. МР  1290116.
• Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, т. 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, МР  1228206
• Коэн, Анри ; Диас и Диас, Франциско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор дискриминантного подсчета», в Fieker, Claus; Кохель, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й Международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г. , Конспект лекций по информатике, т. 2369, Берлин: Springer-Verlag, стр. 80–94, doi :10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743, MR  2041075
• Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), Алгебраическая теория чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 27, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6, г-н  1215934
• Кох, Хельмут (1997), Алгебраическая теория чисел , Encycl. Math. Sci., т. 62 (2-е издание 1-го издания), Springer-Verlag , ISBN 3-540-63003-1, ЗБЛ  0819.11044
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, МР  2078267
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Локальная теория полей классов», в Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Труды учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, МР  0220701
• Voight, John (2008), "Перечисление полей полностью вещественных чисел ограниченного корневого дискриминанта", в van der Poorten, Alfred J. ; Stein, Andreas (ред.), Алгоритмическая теория чисел. Труды, 8-й Международный симпозиум, ANTS-VIII, Банф, Канада, май 2008 г. , Lecture Notes in Computer Science, т. 5011, Берлин: Springer-Verlag, стр. 268–281, arXiv : 0802.0194 , doi :10.1007/978-3-540-79456-1_18, ISBN 978-3-540-79455-4, МР  2467853, S2CID  30036220, Збл  1205.11125
• Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомические поля , Graduate Texts in Mathematics, т. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, MR  1421575, Zbl  0966.11047

Дальнейшее чтение

• Милн, Джеймс С. (1998), Алгебраическая теория чисел , получено 20 августа 2008 г.