Дискриминант

Функция коэффициентов многочлена, дающая информацию о его корнях

В математике дискриминант многочлена — это величина, зависящая от коэффициентов и позволяющая вывести некоторые свойства корней, не вычисляя их. Точнее, это полиномиальная функция коэффициентов исходного многочлена. Дискриминант широко используется в полиномиальной факторизации , теории чисел и алгебраической геометрии .

Дискриминант квадратичного многочлена равен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

величина, которая стоит под квадратным корнем в квадратной формуле . Если этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет двойной корень . В случае вещественных коэффициентов он положителен, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицателен, если он имеет два различных комплексно-сопряженных корня. ^[1] Аналогично, дискриминант кубического многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень . В случае кубики с действительными коэффициентами дискриминант положителен, если многочлен имеет три различных вещественных корня, и отрицателен, если он имеет один вещественный корень и два различных комплексно-сопряженных корня. ${\displaystyle a\neq 0,}$

В более общем смысле, дискриминант одномерного многочлена положительной степени равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Для вещественных коэффициентов и отсутствия кратных корней дискриминант положителен, если количество недействительных корней кратно 4 (включая отсутствие кратных корней), и отрицателен в противном случае.

Некоторые обобщения также называются дискриминантами: дискриминант поля алгебраических чисел ; дискриминант квадратичной формы ; и, в более общем смысле, дискриминант формы , однородного многочлена или проективной гиперповерхности (эти три понятия по существу эквивалентны).

Источник

Термин «дискриминант» был придуман в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[2]

Определение

Позволять

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

быть многочленом степени n (это означает ), такой, что коэффициенты принадлежат полю или, в более общем смысле, коммутативному кольцу . Результирующий A и его производная , _ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}$

— многочлен с целыми коэффициентами, который является определителем матрицы Сильвестра A и A ′ . Ненулевые элементы первого столбца матрицы Сильвестра — это и , таким образом, результат кратен. Следовательно , дискриминант — с точностью до своего знака — определяется как частное результата A и A' по формуле : ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle na_{n},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

Исторически этот знак был выбран таким образом, что дискриминант над действительными числами будет положительным, когда все корни многочлена действительны. Деление на не может быть четко определено, если кольцо коэффициентов содержит делители нуля . Такой проблемы можно избежать, заменив на 1 в первом столбце матрицы Сильвестра — перед вычислением определителя. В любом случае дискриминант представляет собой полином с целыми коэффициентами. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

Выражение через корни

Когда указанный выше многочлен определен над полем , он имеет n корней, не обязательно все различные, в любом алгебраически замкнутом расширении поля. (Если коэффициенты — действительные числа, корни могут быть взяты в области комплексных чисел , где применяется основная теорема алгебры .) ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$

В терминах корней дискриминант равен

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}$

Таким образом, это квадрат времени полинома Вандермонда . ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$

Это выражение для дискриминанта часто принимают за определение. Понятно, что если многочлен имеет кратный корень , то его дискриминант равен нулю, и что в случае действительных коэффициентов, если все корни вещественные и простые , то дискриминант положителен. В отличие от предыдущего определения, это выражение не является очевидным полиномом от коэффициентов, но это следует либо из фундаментальной теоремы теории Галуа , либо из фундаментальной теоремы о симметричных полиномах и формул Виеты , если отметить, что это выражение является симметричным полиномом от коэффициентов. корни А. _

Низкие степени

Дискриминант линейного многочлена (степени 1) рассматривается редко. При необходимости его обычно определяют равным 1 (используя обычные соглашения для пустого произведения и учитывая , что один из двух блоков матрицы Сильвестра пуст ) . Не существует общего соглашения о дискриминанте постоянного многочлена (т. е. многочлена степени 0).

Для малых степеней дискриминант довольно прост (см. ниже), но для более высоких степеней он может стать громоздким. Например, дискриминант общей квартики имеет 16 членов, ^{[3] [4]} дискриминант квинтики имеет 59 членов, ^{[4] [5]} и дискриминант секстики имеет 246 членов. ^{[4] [6]} Это последовательность OEIS A007878.

Степень 2

Квадратичный полином имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

Квадратный корень из дискриминанта появляется в квадратной формуле для корней квадратного многочлена:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

где дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда два корня равны. Если a , b , c — действительные числа, многочлен имеет два различных действительных корня, если дискриминант положительный, и два комплексно-сопряженных корня, если он отрицательный. ^[7]

^{Дискриминант —} это произведение двойки на квадрат разности корней.

Если a , b , c — рациональные числа , то дискриминант является квадратом рационального числа тогда и только тогда, когда два корня являются рациональными числами.

Степень 3

Нулевой набор дискриминанта кубики x ³ + bx ² + cx + d , т.е. точек, удовлетворяющих b ² c ² – 4 c ³ – 4 b ³ d – 27 d ² + 18 bcd = 0 .

Кубический полином имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$^{[8] [9]}

В частном случае депрессивного кубического полинома дискриминант упрощается до ${\displaystyle x^{3}+px+q}$

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант не равен нулю, дискриминант положителен, если корнями являются три различных действительных числа, и отрицателен, если имеется один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. ^[10]

Квадратный корень из величины, сильно связанной с дискриминантом, появляется в формулах для корней кубического многочлена . В частности, эта величина может быть в -3 раза больше дискриминанта или его произведения на квадрат рационального числа; например, квадрат 1/18 в случае формулы Кардано .

Если многочлен неприводим и его коэффициенты являются рациональными числами (или принадлежат числовому полю ), то дискриминант является квадратом рационального числа (или числа из числового поля) тогда и только тогда, когда группа Галуа кубического уравнения – циклическая группа третьего порядка .

Степень 4

Дискриминант многочлена четвертой степени x ⁴ + cx ² + dx + e . Поверхность представляет точки ( c , d , e ), где многочлен имеет повторяющийся корень. Ребро возврата соответствует многочленам с тройным корнем, а самопересечение соответствует многочленам с двумя разными повторяющимися корнями.

Полином четвертой степени имеет дискриминант ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

Депрессивный полином четвертой степени имеет дискриминант ${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}\,.\end{aligned}}}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты действительные числа, а дискриминант отрицательный, то имеется два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня. И наоборот, если дискриминант положителен, то все корни либо вещественные, либо все невещественные.

Характеристики

Нулевой дискриминант

Дискриминант многочлена над полем равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля .

Дискриминант многочлена в области целого равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен и его производная имеют непостоянный общий делитель.

В характеристике 0 это эквивалентно утверждению, что многочлен не свободен от квадратов (т. е. не делится на квадрат непостоянного многочлена).

В ненулевой характеристике p дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен не является бесквадратным или имеет неприводимый множитель , который не является отделимым (т. е. неприводимый множитель является многочленом от ). ${\displaystyle x^{p}}$

Инвариантность при изменении переменной

Дискриминант многочлена с точностью до масштабирования инвариантен относительно любого проективного преобразования переменной. Поскольку проективное преобразование можно разложить на произведение переводов, гомотетий и инверсий, это приводит к следующим формулам для более простых преобразований, где P ( x ) обозначает полином степени n со старшим коэффициентом. ${\displaystyle a_{n}}$

• Инвариантность при переводе :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Это следует из выражения дискриминанта через корни

• Инвариантность по гомотетии :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

Это следует из выражения через корни, или квазиоднородности дискриминанта.

• Инвариантность путем инверсии :

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}$

когда Здесь обозначает обратный полином P ; то есть если и тогда ${\displaystyle P(0)\neq 0.}$ ${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}$ ${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0,}$

${\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}$

Инвариантность относительно кольцевых гомоморфизмов

Пусть – гомоморфизм коммутативных колец . Учитывая полином ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

${\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

в R [ x ] гомоморфизм действует на A для получения многочлена ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}$

в S [ Икс ] .

Дискриминант инвариантен относительно в следующем смысле. Если тогда ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}$

Поскольку дискриминант определяется через определитель, это свойство непосредственно вытекает из аналогичного свойства определителей.

If то может быть нулевым или нет. У человека есть, когда ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$ ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}$ ${\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}$

Когда вас интересует только то, равен ли дискриминант нулю (как это обычно бывает в алгебраической геометрии ), эти свойства можно резюмировать следующим образом:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$тогда и только тогда, когда либо или ${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}$ ${\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}$

Это часто интерпретируется как утверждение, что тогда и только тогда, когда имеет кратный корень (возможно, на бесконечности ). ${\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$ ${\displaystyle A^{\varphi }}$

Произведение полиномов

Если R = PQ — произведение полиномов от x , то

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}$

где обозначает результирующий по переменной x , а p и q — соответствующие степени P и Q. ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}$

Это свойство немедленно вытекает из замены выражения результирующего и дискриминанта на корни соответствующих многочленов.

Однородность

Дискриминант представляет собой однородный полином по коэффициентам; это также однородный полином по корням и, следовательно, квазиоднородный по коэффициентам.

Дискриминант многочлена степени n однороден степени 2 n − 2 по коэффициентам. Это можно увидеть двояко. С точки зрения формулы корней и ведущего члена, умножение всех коэффициентов на λ не меняет корни, но умножает главный член на λ . С точки зрения его выражения как определитель матрицы ( 2 n - 1) × (2 n - 1) ( матрицы Сильвестра ) _, разделенной на n , определитель является однородным степени 2 n - 1 по элементам и делит на n дает степень ₂ n − 2 .

Дискриминант многочлена степени n однороден степени n ( n − 1) по корням. Это следует из выражения дискриминанта через корни, который является произведением константы и квадрата разности корней. ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

Дискриминант многочлена степени n квазиоднороден степени n ( n − 1) по коэффициентам, если для каждого i коэффициенту присвоен вес n − i . Он также является квазиоднородным той же степени, если для каждого i коэффициенту придан вес i . Это является следствием того общего факта, что всякий многочлен, однородный и симметричный по корням, может быть выражен как квазиоднородный многочлен от элементарных симметричных функций корней. ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Рассмотрим полином

${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}$

Из предыдущего следует, что показатели степени каждого монома , входящего в дискриминант, удовлетворяют двум уравнениям ${\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}$

${\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}$

и

${\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}$

а также уравнение

${\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}$

который получается вычитанием второго уравнения из первого, умноженного на n .

Это ограничивает возможные члены дискриминанта. Для общего квадратичного многочлена имеется только две возможности и два члена в дискриминанте, тогда как общий однородный многочлен второй степени от трех переменных имеет 6 членов. Для общего кубического многочлена имеется пять возможностей и пять членов в дискриминанте, тогда как общий однородный многочлен 4-й степени от 5 переменных имеет 70 членов.

Для более высоких степеней могут существовать мономы, удовлетворяющие приведенным выше уравнениям и не входящие в дискриминант. Первый пример относится к многочлену четвертой степени , и в этом случае моном удовлетворяет уравнениям, не появляясь в дискриминанте. ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ ${\displaystyle bc^{4}d}$

Настоящие корни

В этом разделе все полиномы имеют действительные коэффициенты.

В § низких степеней было видно, что знак дискриминанта предоставляет полезную информацию о природе корней многочленов степени 2 и 3. Для более высоких степеней информация, предоставляемая дискриминантом, менее полная, но все же полезная. Точнее, для многочлена степени n имеем:

• Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
• Если дискриминант положителен, количество невещественных корней кратно 4. То есть существует целое неотрицательное число k ≤ n /4 такое, что существует 2 k пар комплексно-сопряженных корней и n - 4 k вещественных корней. .
• Если дискриминант отрицательный, количество невещественных корней не кратно 4. То есть существует целое неотрицательное число k ≤ ( n - 2)/4 такое, что существует 2 k + 1 пары комплексно-сопряженных корней. и n − 4 k + 2 действительных корня.

Однородный двумерный полином

Позволять

${\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}$

— однородный многочлен степени n от двух неопределенных.

Предположим на данный момент, что и оба отличны от нуля, имеем ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}$

Обозначая эту величину единицей, ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}$

и

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}$

Благодаря этим свойствам величина называется дискриминантом или однородным дискриминантом A. ${\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}$

Если и разрешено равняться нулю, полиномы A ( x , 1) и A (1, y ) могут иметь степень меньшую, чем n . В этом случае приведенные выше формулы и определения остаются в силе, если дискриминанты вычисляются так, как если бы все полиномы имели степень n . Это означает, что дискриминанты должны быть вычислены с неопределенными значениями, а замена для них их действительных значений производится после этого вычисления. Эквивалентно, необходимо использовать формулы § Инвариантности относительно кольцевых гомоморфизмов. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

Использование в алгебраической геометрии

Типичное использование дискриминантов в алгебраической геометрии — для изучения плоских алгебраических кривых и, в более общем плане, алгебраических гиперповерхностей . Пусть V — такая кривая или гиперповерхность; V определяется как нулевой набор многомерного многочлена . Этот многочлен можно рассматривать как одномерный многочлен от одной из неопределенных величин, с полиномами от других неопределенных величин в качестве коэффициентов. Дискриминант по выбранной неопределенности определяет гиперповерхность W в пространстве остальных неопределенностей. Точки W являются в точности проекциями точек V (включая точки на бесконечности ), которые либо являются особыми, либо имеют касательную гиперплоскость , параллельную оси выбранной неопределенности.

Например, пусть f — двумерный полином от X и Y с действительными коэффициентами, так что  f  = 0 — неявное уравнение вещественной плоской алгебраической кривой . Если рассматривать f как одномерный многочлен от Y с коэффициентами, зависящими от X , то дискриминант — это многочлен от X , корнями которого являются X -координаты особых точек, точек с касательной, параллельной оси Y , и некоторых из асимптоты параллельны оси Y. Другими словами, вычисление корней Y -дискриминанта и X -дискриминанта позволяет вычислить все замечательные точки кривой, кроме точек перегиба .

Обобщения

Есть два класса понятия дискриминанта. Первый класс — это дискриминант поля алгебраических чисел , который, в некоторых случаях, включая квадратичные поля , является дискриминантом многочлена, определяющего поле.

Дискриминанты второго класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные случаи или особенности задачи характеризуются исчезновением одного многочлена в коэффициентах. Так обстоит дело с дискриминантом многочлена, который равен нулю, когда два корня схлопываются. Большинство случаев, когда определяется такой обобщенный дискриминант, являются примерами следующего.

Пусть A — однородный многочлен от n неопределенных над полем характеристики 0 или простой характеристики, не делящей степень многочлена. Многочлен A определяет проективную гиперповерхность , которая имеет особые точки тогда и только тогда, когда n частных производных A имеют нетривиальный общий нуль . Это тот случай, когда и только если многомерный результат этих частных производных равен нулю, и этот результат можно рассматривать как дискриминант A . Однако из-за целочисленных коэффициентов, полученных в результате вывода, этот многомерный результат может делиться на степень n , и лучше взять в качестве дискриминанта примитивную часть результата, вычисленную с использованием общих коэффициентов. Ограничение на характеристику необходимо, поскольку в противном случае общий нуль частной производной не обязательно будет нулем многочлена (см. тождество Эйлера для однородных многочленов ).

В случае однородного двумерного полинома степени d этот общий дискриминант в раз превышает дискриминант, определенный в § Однородный двумерный полином. Несколько других классических типов дискриминантов, которые являются примерами общего определения, описаны в следующих разделах. ${\displaystyle d^{d-2}}$

Квадратичные формы

Квадратичная форма — это функция над векторным пространством , которая определяется по некоторому базису однородным полиномом степени 2:

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}$

или, в матричной форме,

${\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}$

для симметричной матрицы — вектор-строка и вектор-столбец . В характеристике , отличной от 2, [ ¹¹ ] дискриминант или определитель Q является определителем A . ^[12] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$

Гессианский определитель Q умножается на его дискриминант. Многомерный результат частных производных Q равен его определителю Гессе. Итак, дискриминант квадратичной формы является частным случаем приведенного выше общего определения дискриминанта. ${\displaystyle 2^{n}}$

Дискриминант квадратичной формы инвариантен относительно линейных замен переменных (т.е. замены базиса векторного пространства, на котором определена квадратичная форма) в следующем смысле: линейная замена переменных определяется неособой матрицей S , изменяет матрицу A на и, таким образом, умножает дискриминант на квадрат определителя S . Таким образом, дискриминант корректно определен только с точностью до умножения на квадрат. Другими словами, дискриминант квадратичной формы над полем K является элементом K /( K ^× ) ² , фактором мультипликативного моноида K по подгруппе ненулевых квадратов (т. е. два элемента K являются в одном и том же классе эквивалентности , если одно является произведением другого на ненулевой квадрат). Отсюда следует, что для комплексных чисел дискриминант эквивалентен 0 или 1. Для действительных чисел дискриминант эквивалентен −1, 0 или 1. Для рациональных чисел дискриминант эквивалентен уникальному бесквадратному целое число . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}$

По теореме Якоби квадратичная форма над полем характеристики, отличной от 2, может быть выражена после линейной замены переменных в диагональной форме как

${\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Точнее, квадратичная форма на может быть выражена в виде суммы

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}$

где L _i — независимые линейные формы, а n — количество переменных (некоторые из a i _могут быть равны нулю). Эквивалентно, для любой симметричной матрицы A существует элементарная матрица S, такая что является диагональной матрицей . Тогда дискриминант является произведением a _i , которое корректно определено как класс в K /( K ^× ) ² . ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}$

Геометрически дискриминант квадратичной формы от трех переменных представляет собой уравнение квадратичной проективной кривой . Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда кривая разложена на прямые (возможно, по алгебраически замкнутому расширению поля).

Квадратичная форма от четырех переменных — это уравнение проективной поверхности . Поверхность имеет особую точку тогда и только тогда, когда ее дискриминант равен нулю. В этом случае либо поверхность может быть разложена по плоскостям, либо она имеет единственную особую точку и представляет собой конус или цилиндр . В случае вещественных чисел, если дискриминант положителен, то поверхность либо не имеет вещественной точки, либо всюду имеет отрицательную гауссову кривизну . Если дискриминант отрицательный, поверхность имеет вещественные точки и отрицательную гауссову кривизну.

Конические сечения

Коническое сечение — это плоская кривая , определяемая неявным уравнением вида

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}$

где a , b , c , d , e , f — действительные числа.

Коническому сечению могут быть сопоставлены две квадратичные формы и, следовательно, два дискриминанта.

Первая квадратичная форма

${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}$

Его дискриминант является определителем

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}$

Оно равно нулю, если коническое сечение вырождается в две прямые, двойную линию или одну точку.

Второй дискриминант, единственный, который рассматривается во многих учебниках элементарной математики, — это дискриминант однородной части второй степени уравнения. Оно равно ^[13]

${\displaystyle b^{2}-ac,}$

и определяет форму конического сечения. Если этот дискриминант отрицателен, кривая либо не имеет действительных точек, либо представляет собой эллипс или окружность , либо, если она вырождена, сводится к одной точке. Если дискриминант равен нулю, кривая представляет собой параболу или, если она вырождена, двойную линию или две параллельные линии. Если дискриминант положителен, кривая представляет собой гиперболу или, если она вырождена, пару пересекающихся прямых.

Реальные квадратичные поверхности

Вещественная квадрика в евклидовом пространстве размерности три — это поверхность, которую можно определить как нули многочлена второй степени от трёх переменных. Что касается конических сечений, то есть два дискриминанта, которые можно определить естественным путем. Оба полезны для получения информации о природе квадрики.

Пусть – многочлен второй степени от трех переменных, определяющий вещественную квадрику. Первая ассоциированная квадратичная форма зависит от четырех переменных и получается путем гомогенизации P ; то есть ${\displaystyle P(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q_{4},}$

${\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}$

Обозначим его дискриминант через ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Вторая квадратичная форма зависит от трех переменных и состоит из членов второй степени числа P ; то есть ${\displaystyle Q_{3},}$

${\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}$

Обозначим его дискриминант через ${\displaystyle \Delta _{3}.}$

Если и поверхность имеет вещественные точки, то это либо гиперболический параболоид , либо однополостный гиперболоид . В обоих случаях это линейчатая поверхность , имеющая отрицательную гауссову кривизну в каждой точке. ${\displaystyle \Delta _{4}>0,}$

Если поверхность представляет собой либо эллипсоид , либо двуполостный гиперболоид , либо эллиптический параболоид . Во всех случаях он имеет положительную гауссову кривизну в каждой точке. ${\displaystyle \Delta _{4}<0,}$

Если поверхность имеет особую точку , возможно, на бесконечности . Если имеется только одна особая точка, поверхность представляет собой цилиндр или конус . При наличии нескольких особых точек поверхность состоит из двух плоскостей, двойной плоскости или одной прямой. ${\displaystyle \Delta _{4}=0,}$

Когда знак, если не 0, не дает никакой полезной информации, так как изменение P на − P не меняет поверхность, но меняет знак. Однако, если и поверхность представляет собой параболоид , который является эллиптическим или гиперболическим, в зависимости от знак ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}$ ${\displaystyle \Delta _{3},}$ ${\displaystyle \Delta _{3}.}$ ${\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{3}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{4}.}$

Дискриминант поля алгебраических чисел

Дискриминант поля алгебраических чисел измеряет размер ( кольца целых чисел ) поля алгебраических чисел.

Точнее, оно пропорционально квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа являются разветвленными .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета- функции Дедекинда K и формула числа аналитических классов для K . Теорема Эрмита утверждает, что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще остается открытой проблемой и предметом текущих исследований. ^[14]

Пусть K — поле алгебраических чисел и OK _— его кольцо целых чисел . Пусть b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис O K ₍ т. е. базис как Z -модуль ), и пусть {σ ₁ , ..., σ _n } — множество вложений K в комплексные числа (т.е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K  →  C ). Дискриминант K — это квадрат определителя матрицы B размером n _на n , ( i , j )-элементом которой является σ _i ( b j ) . Символически,

${\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}$

Дискриминант K можно назвать абсолютным дискриминантом K , чтобы отличить его от расширения K / L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L и, подобно абсолютному дискриминанту, указывает, какие простые числа разветвлены в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, позволяющее L быть больше Q ; фактически, когда L =  Q  , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z , порожденным абсолютным дискриминантом K.

Рекомендации

1. «Дискриминант | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 9 августа 2020 г.
2. Сильвестр, Джей-Джей (1851). «О замечательном открытии в теории канонических форм и гипердетерминантов». Философский журнал . 4-я серия. 2 : 391–410.
   Сильвестр придумал слово «дискриминант» на странице 406.
3. Ван, Дунмин (2004). Практика устранения: программные средства и приложения. Издательство Имперского колледжа . гл. 10 р. 180. ИСБН 1-86094-438-8.
4. «Дискриминант в математике для полиномиального уравнения | Формулы и примеры» . Проверено 21 марта 2023 г.
5. Гельфанд, Израиль М .; Капранов Михаил Михайлович ; Зелевинский, Андрей В. (1994). Дискриминанты, результанты и многомерные определители. Биркхойзер . п. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Архивировано из оригинала 13 января 2013 г.
6. Дикенштейн, Алисия ; Эмирис, Иоаннис З. (2005). Решение полиномиальных уравнений: основы, алгоритмы и приложения. Спрингер . гл. 1 р. 26. ISBN 3-540-24326-7.
7. Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца. Springer-Verlag New York, Inc., гл. 10,3 стр. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.
8. "Кубический дискриминант | Блестящая математическая и научная вики" . Проверено 21 марта 2023 г.
9. «Дискриминант кубического уравнения» . Проверено 21 марта 2023 г.
10. Ирвинг, Рональд С. (2004). Целые числа, многочлены и кольца. Springer-Verlag New York, Inc., гл. 10 упр. 10.14.4 и 10.17.4, стр. 154–156. ISBN 0-387-40397-3.
11. В характеристике 2 дискриминант квадратичной формы не определен и заменен инвариантом Арфа .
12. Кассельс, JWS (1978). Рациональные квадратичные формы . Монографии Лондонского математического общества. Том. 13. Академическая пресса . п. 6. ISBN 0-12-163260-1. Збл  0395.10029.
13. Фанчи, Джон Р. (2006). Повышение квалификации по математике для ученых и инженеров. Джон Уайли и сыновья. сек. 3.2, с. 45. ИСБН 0-471-75715-2.
14. Коэн, Анри ; Диас и Диас, Франциско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор подсчета дискриминантов», Фикер, Клаус; Кохель, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й Международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г. , Конспекты лекций по информатике, том. 2369, Берлин: Springer-Verlag, стр. 80–94, номер документа : 10.1007/3-540-45455-1_7, ISBN. 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743, МР  2041075

Внешние ссылки

• Wolfram Mathworld: Полиномиальный дискриминант
• Планетоматика: Дискриминант