В математике ожидается , что L-функции теории чисел будут иметь несколько характерных свойств, одно из которых заключается в том, что они удовлетворяют определенным функциональным уравнениям . Существует сложная теория того, какими должны быть эти уравнения, большая часть которой все еще носит предположительный характер.
Прототипический пример, дзета-функция Римана имеет функциональное уравнение, связывающее ее значение при комплексном числе s с ее значением при 1 − s . В каждом случае это относится к некоторому значению ζ( s ), которое определяется только аналитическим продолжением из определения бесконечного ряда . То есть, записывая — как это принято — σ для действительной части s , функциональное уравнение связывает случаи
и также изменяет случай с
в критической полосе к другому такому случаю, отраженному в линии σ = ½. Поэтому использование функционального уравнения является основным, чтобы изучить дзета-функцию во всей комплексной плоскости .
Рассматриваемое функциональное уравнение для дзета-функции Римана принимает простую форму
где Z ( s ) — это ζ( s ), умноженное на гамма-фактор , включающий гамма-функцию . Теперь это читается как «дополнительный» фактор в произведении Эйлера для дзета-функции, соответствующий бесконечно простому числу . Точно такая же форма функционального уравнения справедлива для дзета-функции Дедекинда числового поля K с соответствующим гамма-фактором , который зависит только от вложений K (в алгебраических терминах — от тензорного произведения K с действительным полем ).
Существует похожее уравнение для L-функций Дирихле , но на этот раз связывающее их попарно: [1]
где χ — примитивный характер Дирихле , χ * — его комплексно сопряженная функция, Λ — L-функция, умноженная на гамма-множитель, и ε — комплексное число с абсолютным значением 1, имеющее форму
где G (χ) — сумма Гаусса, образованная из χ. Это уравнение имеет одну и ту же функцию с обеих сторон тогда и только тогда, когда χ — действительный символ , принимающий значения в {0,1,−1}. Тогда ε должно быть равно 1 или −1, а случай значения −1 подразумевал бы нуль Λ ( s ) при s = ½. Согласно теории (Гаусса, по сути) сумм Гаусса, значение всегда равно 1, поэтому такого простого нуля не может существовать (функция четна относительно точки).
Единая теория таких функциональных уравнений была дана Эрихом Гекке , и эта теория была вновь рассмотрена в диссертации Тейта Джоном Тейтом . Гекке нашел обобщенные характеры числовых полей, теперь называемые характерами Гекке , для которых его доказательство (основанное на тета-функциях ) также работало. Эти характеры и связанные с ними L-функции теперь понимаются как строго связанные с комплексным умножением , как характеры Дирихле с циклотомическими полями .
Существуют также функциональные уравнения для локальных дзета-функций , возникающие на фундаментальном уровне для (аналога) двойственности Пуанкаре в этальных когомологиях . Предполагается, что произведения Эйлера дзета-функции Хассе–Вейля для алгебраического многообразия V над числовым полем K , образованные путем редукции по модулю простых идеалов для получения локальных дзета-функций, имеют глобальное функциональное уравнение; но в настоящее время это считается недостижимым, за исключением особых случаев. Определение можно прочитать непосредственно из теории этальных когомологий, опять же; но в целом для получения функционального уравнения, по-видимому, требуется некоторое предположение, исходящее из теории автоморфного представления . Гипотеза Таниямы–Шимуры была частным случаем этой общей теории. Связав аспект гамма-фактора с теорией Ходжа и детально изучив ожидаемый фактор ε, теория как эмпирическая была доведена до довольно утонченного состояния, даже если доказательства отсутствуют.
