Этальные когомологии

В математике этальные когомологические группы алгебраического многообразия или схемы являются алгебраическими аналогами обычных когомологических групп с конечными коэффициентами топологического пространства , введенными Гротендиком для доказательства гипотез Вейля . Этальная теория когомологий может быть использована для построения ℓ-адических когомологий , которые являются примером теории когомологий Вейля в алгебраической геометрии. Это имеет множество приложений, таких как доказательство гипотез Вейля и построение представлений конечных групп типа Ли .

История

Этальные когомологии были введены Александром Гротендиком (1960), используя некоторые предложения Жана-Пьера Серра , и были мотивированы попыткой построить теорию когомологий Вейля , чтобы доказать гипотезы Вейля . Основы были вскоре разработаны Гротендиком совместно с Майклом Артином и опубликованы как (Артин 1962) и SGA 4. Гротендик использовал этальные когомологии для доказательства некоторых гипотез Вейля ( Бернард Дворк уже сумел доказать рациональность части гипотез в 1960 году, используя p-адические методы), а оставшаяся гипотеза, аналог гипотезы Римана , была доказана Пьером Делинем (1974) с использованием ℓ-адических когомологий.

Дальнейший контакт с классической теорией был найден в форме версии Гротендика группы Брауэра ; она была вскоре применена к диофантовой геометрии Юрием Маниным . Бремя и успех общей теории, безусловно, заключались как в интеграции всей этой информации, так и в доказательстве общих результатов, таких как двойственность Пуанкаре и теорема Лефшеца о неподвижной точке в этом контексте.

Гротендик изначально разрабатывал этальные когомологии в чрезвычайно общей обстановке, работая с такими концепциями, как топосы Гротендика и вселенные Гротендика . Оглядываясь назад, можно сказать, что большая часть этого механизма оказалась ненужной для большинства практических приложений этальной теории, и Делинь (1977) дал упрощенное изложение теории этальных когомологий. Использование Гротендиком этих вселенных (существование которых не может быть доказано в теории множеств Цермело–Френкеля ) привело к некоторым предположениям о том, что этальные когомологии и их приложения (такие как доказательство Великой теоремы Ферма ) требуют аксиом за пределами ZFC. Однако на практике этальные когомологии используются в основном в случае конструктивных пучков над схемами конечного типа над целыми числами, и для этого не нужны глубокие аксиомы теории множеств: при должном уходе необходимые объекты могут быть построены без использования каких-либо несчетных множеств, и это можно сделать в ZFC и даже в гораздо более слабых теориях.

Этальные когомологии быстро нашли другие применения, например, Делинь и Жорж Люстиг использовали их для построения представлений конечных групп типа Ли ; см. теорию Делинь–Люстига .

Мотивация

Для комплексных алгебраических многообразий инварианты из алгебраической топологии, такие как фундаментальная группа и группы когомологий, очень полезны, и хотелось бы иметь аналоги этих многообразий для других полей, таких как конечные поля. (Одной из причин этого является то, что Вейль предположил, что гипотезы Вейля могут быть доказаны с использованием такой теории когомологий.) В случае когомологий когерентных пучков Серр показал, что можно получить удовлетворительную теорию, просто используя топологию Зарисского алгебраического многообразия, а в случае комплексных многообразий это дает те же группы когомологий (для когерентных пучков), что и гораздо более тонкая комплексная топология. Однако для постоянных пучков, таких как пучок целых чисел, это не работает: группы когомологий, определенные с использованием топологии Зарисского, ведут себя плохо. Например, Вейль представил себе теорию когомологий для многообразий над конечными полями с мощностью, аналогичной обычной сингулярной когомологии топологических пространств, но на самом деле любой постоянный пучок на неприводимом многообразии имеет тривиальные когомологии (все высшие группы когомологий исчезают).

Причина, по которой топология Зарисского не работает хорошо, заключается в том, что она слишком грубая: в ней слишком мало открытых множеств. Кажется, нет хорошего способа исправить это, используя более тонкую топологию на общем алгебраическом многообразии. Ключевое понимание Гротендика состояло в том, что он понял, что нет причин, по которым более общие открытые множества должны быть подмножествами алгебраического многообразия: определение пучка прекрасно работает для любой категории, а не только для категории открытых подмножеств пространства. Он определил этальные когомологии, заменив категорию открытых подмножеств пространства категорией этальных отображений в пространство: грубо говоря, их можно рассматривать как открытые подмножества конечных неразветвленных покрытий пространства. Оказывается (после большой работы), что они дают как раз достаточно дополнительных открытых множеств, чтобы можно было получить разумные группы когомологий для некоторых постоянных коэффициентов, в частности для коэффициентов Z / n Z, когда n взаимно просто с характеристикой поля, над которым мы работаем.

Вот некоторые основные положения теории:

Требование этальности — это условие , которое позволило бы применить теорему о неявной функции , если бы она была верна в алгебраической геометрии (но это не так — в старой литературе неявные алгебраические функции называются алгеброидными).
Существуют некоторые основные случаи размерности 0 и 1, а также для абелева многообразия , где ответы с постоянными пучками коэффициентов могут быть предсказаны (с помощью когомологий Галуа и модулей Тейта ).

Определения

Для любой схемы X категория Et( X ) является категорией всех этальных морфизмов из схемы в X . Это аналог категории открытых подмножеств топологического пространства, и ее объекты можно неформально рассматривать как «этальные открытые подмножества» X . Пересечение двух открытых множеств топологического пространства соответствует обратному протягиванию двух этальных отображений в X . Здесь есть довольно незначительная теоретико-множественная проблема, поскольку Et( X ) является «большой» категорией: ее объекты не образуют множество.

Предпучок на топологическом пространстве X — это контравариантный функтор из категории открытых подмножеств в множества. По аналогии мы определяем этальный предпучок на схеме X как контравариантный функтор из Et( X ) в множества.

Предпучок F на топологическом пространстве называется пучком , если он удовлетворяет условию пучка: всякий раз, когда открытое подмножество покрыто открытыми подмножествами U _i , и нам даны элементы F ( U _i ) для всех i , ограничения которых на U _i ∩ U _j совпадают для всех i , j , то они являются образами единственного элемента F ( U ). По аналогии, этальный предпучок называется пучком, если он удовлетворяет тому же условию (с пересечениями открытых множеств, замененными обратными протягиваниями этальных морфизмов, и где говорят, что набор этальных отображений в U покрывает U , если топологическое пространство, лежащее в основе U , является объединением их образов). В более общем смысле, можно определить пучок для любой топологии Гротендика на категории аналогичным образом.

Категория пучков абелевых групп над схемой имеет достаточно инъективных объектов, поэтому можно определить правые производные функторы левых точных функторов. Группы этальных когомологий H ⁱ ( F ) пучка F абелевых групп определяются как правые производные функторы функтора сечений,

F\to \Гамма (F)

(где пространство сечений Γ( F ) пучка F есть F ( X )). Сечения пучка можно рассматривать как Hom( Z , F ), где Z — пучок, который возвращает целые числа как абелеву группу . Идея производного функтора здесь заключается в том, что функтор сечений не уважает точные последовательности , поскольку он не является прямоточным; согласно общим принципам гомологической алгебры будет последовательность функторов H ⁰ , H ¹ , ... , которые представляют собой «компенсации», которые должны быть сделаны для восстановления некоторой меры точности (длинные точные последовательности, возникающие из коротких). Функтор H ⁰ совпадает с функтором сечений Γ.

В более общем случае морфизм схем f : X → Y индуцирует отображение f _∗ из этальных пучков над X в этальные пучки над Y , а его правые производные функторы обозначаются как R ^q f _∗ , где q — неотрицательное целое число. В частном случае, когда Y — спектр алгебраически замкнутого поля (точка), R ^q f _∗ ( F ) совпадает с H ^q ( F ).

Предположим, что X — нётерова схема. Абелев этальный пучок F над X называется конечным локально постоянным , если он представлен этальным покрытием X. Он называется конструктивным, если X может быть покрыто конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F является конечным локально постоянным. Он называется кручением , если F ( U ) — группа кручения для всех этальных покрытий U множества X. Конечные локально постоянные пучки конструктивны, а конструктивные пучки являются кручением. Каждый торсионный пучок является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.

ℓ-адические группы когомологий

В приложениях к алгебраической геометрии над конечным полем F _q с характеристикой p , основной целью было найти замену для сингулярных групп когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами, которые недоступны так же, как для геометрии алгебраического многообразия над полем комплексных чисел . Этальные когомологии прекрасно работают для коэффициентов Z / n Z для n, взаимно простого с p , но дают неудовлетворительные результаты для некрутильных коэффициентов. Чтобы получить когомологические группы без кручения из этальных когомологий, нужно взять обратный предел этальных групп когомологий с определенными коэффициентами кручения; это называется ℓ-адическими когомологиями , где ℓ обозначает любое простое число, отличное от p . Для схем V рассматриваются группы когомологий

H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z})

и определяет ℓ-адическую группу когомологий

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell})=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

как их обратный предел . Здесь Z _ℓ обозначает ℓ-адические целые числа , но определение дается с помощью системы «постоянных» пучков с конечными коэффициентами Z /ℓ ^k Z . (Здесь есть печально известная ловушка: когомологии не коммутируют с взятием обратных пределов, а ℓ-адическая группа когомологий, определяемая как обратный предел, не является когомологиями с коэффициентами в этальном пучке Z _ℓ ; последняя группа когомологий существует, но дает «неправильные» группы когомологий.)

В более общем случае, если F — обратная система этальных пучков F _i , то когомологии F определяются как обратный предел когомологий пучков F _i

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

и хотя есть естественная карта

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

Обычно это не изоморфизм. ℓ-адический пучок — это особый вид обратной системы этальных пучков F _i , где i пробегает положительные целые числа, а F _i — модуль над Z /ℓ ⁱ Z , а отображение из F _{i +1} в F _{i —} это просто редукция mod Z /ℓ ⁱ Z .

Когда V — неособая алгебраическая кривая рода g , H ¹ — свободный Z _ℓ -модуль ранга 2 g , двойственный модулю Тейта якобиевого многообразия V . Поскольку первое число Бетти римановой поверхности рода g равно 2 g , это изоморфно обычным сингулярным когомологиям с коэффициентами Z ℓ для комплексных алгебраических кривых. Это также показывает одну из причин _, по которой требуется условие ℓ ≠ p : когда ℓ = p ранг модуля Тейта не превышает g .

Подгруппы кручения могут возникать и были применены Майклом Артином и Дэвидом Мамфордом к геометрическим вопросам ^{[ требуется ссылка ]} . Чтобы удалить любую подгруппу кручения из ℓ-адических групп когомологий и получить группы когомологий, которые являются векторными пространствами над полями характеристики 0, определяют

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.

Эта нотация вводит в заблуждение: символ Q _ℓ слева не представляет ни этальный пучок, ни ℓ-адический пучок. Этальная когомология с коэффициентами в постоянном этальном пучке Q _ℓ также существует, но она сильно отличается от . Путаница между этими двумя группами является распространенной ошибкой. $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$

Характеристики

В общем случае ℓ-адические когомологические группы многообразия, как правило, имеют свойства, схожие со свойствами сингулярных когомологических групп комплексных многообразий, за исключением того, что они являются модулями над ℓ-адическими целыми числами (или числами), а не над целыми числами (или рациональными числами). Они удовлетворяют форме двойственности Пуанкаре на несингулярных проективных многообразиях, а ℓ-адические когомологические группы "редукции mod p" комплексного многообразия, как правило, имеют тот же ранг, что и сингулярные когомологические группы. Формула Кюннета также верна.

Например, первая группа когомологий комплексной эллиптической кривой является свободным модулем ранга 2 над целыми числами, в то время как первая ℓ-адическая группа когомологий эллиптической кривой над конечным полем является свободным модулем ранга 2 над ℓ-адическими целыми числами, при условии, что ℓ не является характеристикой соответствующего поля, и является двойственной к его модулю Тейта .

Есть один способ, которым ℓ-адические когомологические группы лучше, чем сингулярные когомологические группы: они, как правило, подвергаются действию групп Галуа . Например, если комплексное многообразие определено над рациональными числами, его ℓ-адические когомологические группы подвергаются действию абсолютной группы Галуа рациональных чисел: они дают представления Галуа .

Элементы группы Галуа рациональных чисел, кроме тождества и комплексного сопряжения , обычно не действуют непрерывно на комплексном многообразии, определенном над рациональными числами, поэтому не действуют на сингулярные группы когомологий. Этот феномен представлений Галуа связан с тем фактом, что фундаментальная группа топологического пространства действует на сингулярные группы когомологий, поскольку Гротендик показал, что группу Галуа можно рассматривать как своего рода фундаментальную группу. (См. также теорию Галуа Гротендика .)

Вычисление этальных групп когомологий для алгебраических кривых

Основным начальным шагом в вычислении этальных когомологий многообразия является их вычисление для полных связных гладких алгебраических кривых X над алгебраически замкнутыми полями k . Затем этальные когомологические группы произвольных многообразий можно контролировать с помощью аналогов обычной техники алгебраической топологии, такой как спектральная последовательность расслоения. Для кривых вычисление занимает несколько шагов, как указано ниже (Artin 1962). Пусть G _m обозначает пучок неисчезающих функций.

РасчетЧАС1(Х, Гм)

Точная последовательность этальных пучков

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

дает длинную точную последовательность групп когомологий

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

Здесь j — инъекция общей точки, i _x — инъекция замкнутой точки x , G _{m , K} — пучок G _m на Spec K (общая точка X ), а Z _x — копия Z для каждой замкнутой точки X . Группы H ⁱ ( i _x* Z ) обращаются в нуль, если i > 0 (потому что i _x* Z — небоскребный пучок ), а для i = 0 они равны Z , так что их сумма — это просто группа делителей X . Более того, первая группа когомологий H ¹ ( X , j _∗G _{m , K} ) изоморфна группе когомологий Галуа H ¹ ( K , K *), которая обращается в нуль по теореме Гильберта 90 . Следовательно, длинная точная последовательность этальных групп когомологий дает точную последовательность

K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

где Div( X ) — группа делителей X , а K — ее функциональное поле. В частности, H ¹ ( X , G _m ) — группа Пикара Pic( X ) (и первые группы когомологий G _m одинаковы для этальной топологии и топологии Зарисского). Этот шаг работает для многообразий X любой размерности (с заменой точек на подмногообразия коразмерности 1), а не только для кривых.

РасчетПривет(Х, Гм)

Та же самая длинная точная последовательность выше показывает, что если i ≥ 2, то группа когомологий H ⁱ ( X , G _m ) изоморфна H ⁱ ( X , j _*G _{m , K} ), которая изоморфна группе когомологий Галуа H ⁱ ( K , K *). Теорема Цена подразумевает, что группа Брауэра поля функций K от одной переменной над алгебраически замкнутым полем обращается в нуль. Это, в свою очередь, подразумевает, что все группы когомологий Галуа H ⁱ ( K , K *) обращаются в нуль при i ≥ 1, поэтому все группы когомологий H ⁱ ( X , G _m ) обращаются в нуль, если i ≥ 2.

РасчетПривет(Х,мк н)

Если μ _n — пучок корней n -й степени из единицы, а n и характеристика поля k — взаимно простые целые числа, то:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где Pic _n ( X ) — группа из n точек кручения Pic( X ). Это следует из предыдущих результатов с использованием длинной точной последовательности

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

точной последовательности Куммера этальных пучков

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

и вставив известные значения

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

В частности, мы получаем точную последовательность

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

Если n делится на p, этот аргумент не работает, поскольку корни p -й степени из единицы ведут себя странно над полями характеристики p . В топологии Зарисского последовательность Куммера не точна справа, поскольку неисчезающая функция обычно не имеет корня n -й степени локально для топологии Зарисского, поэтому это одно из мест, где использование этальной топологии вместо топологии Зарисского является существенным.

РасчетПривет (Х, З/нЗ)

Зафиксировав примитивный корень n-й степени из единицы, мы можем отождествить группу Z / n Z с группой μ _n корней n-й степени из единицы. Тогда этальная группа H ⁱ ( X , Z / n Z ) является свободным модулем над кольцом Z / n Z и ее ранг задается формулой:

\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где g — род кривой X. Это следует из предыдущего результата, используя тот факт, что группа Пикара кривой — это точки ее якобиева многообразия , абелева многообразия размерности g , и если n взаимно просто с характеристикой, то точки порядка, делящие n в абелевом многообразии размерности g над алгебраически замкнутым полем, образуют группу, изоморфную ( Z / n Z ) ^{2 g} . Эти значения для этальной группы H ⁱ ( X , Z / n Z ) совпадают с соответствующими сингулярными группами когомологий, когда X — комплексная кривая.

РасчетПривет(Х, З/пЗ)

Аналогичным образом можно вычислить этальные когомологические группы с постоянными коэффициентами порядка, делящегося на характеристику, используя последовательность Артина–Шрайера

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

вместо последовательности Куммера. (Для коэффициентов в Z / p ⁿ Z существует аналогичная последовательность, включающая векторы Витта .) Полученные группы когомологий обычно имеют ранги меньшие, чем у соответствующих групп в характеристике 0.

Примеры групп этальных когомологий

Если X — спектр поля K с абсолютной группой Галуа G , то этальные пучки над X соответствуют непрерывным множествам (или абелевым группам), на которые действует (проконечная) группа G , а этальные когомологии пучка совпадают с групповыми когомологиями G , т. е. когомологиями Галуа K.
Если X — комплексное многообразие, то этальные когомологии с конечными коэффициентами изоморфны сингулярным когомологиям с конечными коэффициентами. (Это не относится к целочисленным коэффициентам.) В более общем случае когомологии с коэффициентами в любом конструктивном пучке одинаковы.
Если F — когерентный пучок (или G _m ), то этальные когомологии F совпадают с когомологиями когерентных пучков Серра, вычисленными с помощью топологии Зарисского (а если X — комплексное многообразие, то они совпадают с когомологиями пучков, вычисленными с помощью обычной комплексной топологии).
Для абелевых многообразий и кривых существует элементарное описание ℓ-адических когомологий. Для абелевых многообразий первая ℓ-адическая когомологическая группа является двойственной к модулю Тейта , а высшие когомологические группы задаются его внешними степенями. Для кривых первая когомологическая группа является первой когомологической группой его якобиана. Это объясняет, почему Вейль смог дать более элементарное доказательство гипотез Вейля в этих двух случаях: в общем случае можно ожидать найти элементарное доказательство всякий раз, когда существует элементарное описание ℓ-адических когомологий.

Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактным носителем

Группы этальных когомологий с компактным носителем многообразия X определяются как

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

где j — открытое погружение X в собственное многообразие Y и j _! — расширение 0 этального пучка F до Y . Это не зависит от погружения j . Если X имеет размерность не более n и F — пучок кручения, то эти группы когомологий с компактным носителем исчезают, если q > 2 n , и если, кроме того, X аффинно конечного типа над сепарабельно замкнутым полем, то группы когомологий исчезают при q > n (последнее утверждение см. в SGA 4, XIV, Cor.3.2). $H_{c}^{q}(X,F)$ $H^{q}(X,F)$

В более общем случае, если f — разделенный морфизм конечного типа из X в S (при этом X и S нётеровы), то высшие прямые образы с компактным носителем R ^q f _! определяются как

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

для любого пучка кручения F . Здесь j — любое открытое погружение X в схему Y с собственным морфизмом g в S (с f = gj ), и, как и прежде, определение не зависит от выбора j и Y . Когомологии с компактным носителем являются частным случаем этого с точкой S . Если f — отделенный морфизм конечного типа, то R ^q f _! переводит конструктивные пучки на X в конструктивные пучки на S . Если, кроме того, слои f имеют размерность не более n, то R ^q f _! обращается в нуль на пучках кручения при q > 2n . Если X — комплексное многообразие, то R ^q f _! совпадает с обычным высшим прямым образом с компактным носителем (для комплексной топологии) для пучков кручения.

Если X — гладкое алгебраическое многообразие размерности N и n взаимно просто с характеристикой, то существует отображение следа

\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

и билинейная форма Tr( a ∪ b ) со значениями в Z / n Z идентифицирует каждую из групп

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

с дуальным к другому. Это аналог двойственности Пуанкаре для этальных когомологий.

Применение к кривым

Вот как эту теорию можно применить к локальной дзета-функции алгебраической кривой .

Теорема. Пусть $X$ — кривая рода $g,$ определенная над $F p$ , конечным полем с $p$ элементами. Тогда для $n \geq 1$

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

где $α i$ — некоторые алгебраические числа, удовлетворяющие условию $| α i | = \sqrt p$ .

Это согласуется с тем, что $P 1 (F p n)$ является кривой рода0 с $p n + 1$ точками. Это также показывает, что число точек на любой кривой довольно близко (в пределах $2 gp n / 2$ ) к числу точек проективной прямой; в частности, это обобщает теорему Хассе об эллиптических кривых .

Идея доказательства

Согласно теореме Лефшеца о неподвижной точке , число неподвижных точек любого морфизма $f : X \to X$ равно сумме

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

Эта формула верна для обычных топологических многообразий и обычной топологии, но она неверна для большинства алгебраических топологий. Однако эта формула верна для этальных когомологий (хотя это не так просто доказать).

Точки $X$ , определенные над $F p n ,$ фиксируются $F n$ , где $F$ — автоморфизм Фробениуса в характеристике $p$ .

Числа Бетти этальных когомологий X $в$ размерностях 0, 1, 2 равны 1, 2g и 1 соответственно.

Согласно всему этому,

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

Это дает общую форму теоремы.

Утверждение об абсолютных значениях α $i является$ одномерной гипотезой Римана гипотез Вейля.

Вся идея укладывается в рамки мотивов : формально [ X ] = [точка] + [линия] + [1-часть], а [1-часть] имеет что-то вроде $\sqrt p$ точек.

Смотрите также

Ссылки

Артин, Майкл (1962), Топологии Гротендика , Гарвардский университет, Кафедра математики
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des Schémas - (SGA 4) - vol. 1, Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 269, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , XIX, 525 г.
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des Schémas - (SGA 4) – vol. 2, Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 270, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. iv, 418.
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des Schémas - (SGA 4) - vol. 3, Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. VI, 640.
Данилов, В.И. (2001) [1994], "Этальные когомологии", Энциклопедия математики , EMS Press
Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза де Вейля. I», Inst. Hautes Études Sci. Опубл. Математика. , 43 : 273–307, doi : 10.1007/BF02684373, S2CID 123139343
Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза де Вейля: II», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 : 137–252, doi : 10.1007/BF02684780, S2CID 189769469
Делинь, Пьер , изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — Cohomologie étale (SGA 4.5), Конспекты лекций по математике (на французском языке), vol. 569, Берлин: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/BFb0091516, ISBN. 978-0-387-08066-6, архивировано из оригинала 2009-05-15 , извлечено 2007-03-17Глава 1: doi :10.1007/BFb0091518
IV Долгачев (2001) [1994], "ℓ-адические когомологии", Энциклопедия математики , EMS Press
Фрайтаг, Э.; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-12175-8
Фу, Лэй (2011), Этальная теория когомологий. (2011) , Нанькайские трактаты по математике, т. 13, World Scientific Publishing , doi : 10.1142/7773, ISBN 9789814307727
Гротендик, Александр (1960), «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий», Proc. Internat. Congress Math. (Эдинбург, 1958) , Cambridge University Press , стр. 103–118, MR 0130879
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Princeton Mathematical Series, т. 33, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7, МР 0559531
Тамме, Гюнтер (1994), Введение в этальные когомологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57116-2

Внешние ссылки

Этальные когомологии Арчибальда и Савитта
Программа Горески-Лэнглендса для физиков
Милн, Джеймс С. (1998), Лекции по этальным когомологиям
Долгачев, ИВ (2001) [1994], "L-адические-когомологии", Энциклопедия математики , Издательство EMS