Теорема Кюннета

Связывает гомологию двух объектов с гомологией их продукта

В математике , особенно в гомологической алгебре и алгебраической топологии , теорема Кюннета , также называемая формулой Кюннета , — это утверждение, связывающее гомологию двух объектов с гомологией их произведения. Классическое утверждение теоремы Кюннета связывает сингулярную гомологию двух топологических пространств X и Y и их пространство произведения . В простейшем возможном случае это отношение тензорного произведения , но для приложений очень часто необходимо применять определенные инструменты гомологической алгебры, чтобы выразить ответ. ${\displaystyle X\times Y}$

Теорема Кюннета или формула Кюннета верна во многих различных теориях гомологии и когомологии, и это название стало общим. Эти многочисленные результаты названы в честь немецкого математика Германа Кюннета .

Сингулярные гомологии с коэффициентами в поле

Пусть X и Y — два топологических пространства. В общем случае используются сингулярные гомологии; но если X и Y оказываются CW-комплексами , то их можно заменить клеточной гомологией , поскольку она изоморфна сингулярной гомологии. Простейший случай — когда кольцо коэффициентов для гомологии является полем F. В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярной гомологии) утверждает, что для любого целого числа k ,

${\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;F)\otimes H_{j}(Y;F)\cong H_{k}(X\times Y;F)}$.

Более того, изоморфизм является естественным изоморфизмом . Отображение из суммы в группу гомологий произведения называется перекрестным произведением . Точнее, существует операция перекрестного произведения, с помощью которой i -цикл на X и j -цикл на Y могут быть объединены для создания -цикла на ; так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в . ${\displaystyle (i+j)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle H_{k}(X\times Y)}$

Следствием этого результата является то, что числа Бетти , размерности гомологии с коэффициентами, могут быть определены из чисел X и Y. Если — производящая функция последовательности чисел Бетти пространства Z , то ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle p_{Z}(t)}$ ${\displaystyle b_{k}(Z)}$

${\displaystyle p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).}$

Здесь, когда имеется конечное число чисел Бетти для X и Y , каждое из которых является натуральным числом , а не , это читается как тождество на многочленах Пуанкаре . В общем случае это формальные степенные ряды с возможно бесконечными коэффициентами, и их следует интерпретировать соответствующим образом. Более того, приведенное выше утверждение справедливо не только для чисел Бетти, но и для производящих функций размерностей гомологии над любым полем. (Если целочисленная гомология не является свободной от кручения , то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.) ${\displaystyle \infty }$

Сингулярные гомологии с коэффициентами в области главных идеалов

Вышеприведенная формула проста, поскольку векторные пространства над полем имеют очень ограниченное поведение. По мере того, как кольцо коэффициентов становится более общим, соотношение становится более сложным. Следующий простейший случай — это случай, когда кольцо коэффициентов является областью главных идеалов . Этот случай особенно важен, поскольку целые числа являются PID. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В этом случае уравнение выше больше не всегда верно. Поправочный коэффициент, по-видимому, учитывает возможность явлений кручения. Этот поправочный коэффициент выражается через функтор Tor , первый производный функтор тензорного произведения.

Когда R является ПИ, то правильное утверждение теоремы Кюннета состоит в том, что для любых топологических пространств X и Y существуют естественные короткие точные последовательности

${\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{j}(Y;R)\to H_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R))\to 0.}$

Более того, эти последовательности разделяются , но не канонически .

Пример

Короткие точные последовательности, описанные выше, можно легко использовать для вычисления групп гомологии с целыми коэффициентами произведения двух вещественных проективных плоскостей , другими словами, . Эти пространства являются CW-комплексами . Обозначая группу гомологии для краткости через , из простого вычисления с клеточной гомологией известно , что ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{i}(\mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle h_{0}\cong \mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{1}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{i}=0}$для всех остальных значений i .

Единственная ненулевая группа Tor (торсионное произведение), которая может быть образована из этих значений, — это ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\cong \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Таким образом, короткая точная последовательность Кюннета сводится в каждой степени к изоморфизму, поскольку в каждом случае либо слева, либо справа в последовательности есть нулевая группа. Результатом является

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}$

а все остальные группы гомологии равны нулю.

Спектральная последовательность Кюннета

Для общего коммутативного кольца R гомологии X и Y связаны с гомологиями их произведений спектральной последовательностью Кюннета

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\mathrm {Tor} _{p}^{R}(H_{q_{1}}(X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y;R).}$

В описанных выше случаях эта спектральная последовательность схлопывается, давая изоморфизм или короткую точную последовательность.

Связь с гомологической алгеброй и идея доказательства

Цепной комплекс пространства X × Y связан с цепными комплексами X и Y естественным квазиизоморфизмом

${\displaystyle C_{*}(X\times Y)\cong C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y).}$

Для сингулярных цепей это теорема Эйленберга и Зильбера . Для клеточных цепей на комплексах CW это прямой изоморфизм. Тогда гомологии тензорного произведения справа задаются спектральной формулой Кюннета гомологической алгебры. ^[1]

Свободность цепочечных модулей означает, что в этом геометрическом случае нет необходимости использовать какую-либо гипергомологию или полное производное тензорное произведение.

Существуют аналоги приведенных выше утверждений для сингулярных когомологий и когомологий пучков . Для когомологий пучков на алгебраическом многообразии Александр Гротендик нашел шесть спектральных последовательностей, связывающих возможные группы гипергомологии двух цепных комплексов пучков и группы гипергомологии их тензорного произведения. ^[2]

Теоремы Кюннета в обобщенных теориях гомологии и когомологии

Существует множество обобщенных (или «экстраординарных») теорий гомологии и когомологии для топологических пространств. Наиболее известны K-теория и кобордизмы . В отличие от обычных гомологии и когомологии, они, как правило, не могут быть определены с помощью цепных комплексов. Таким образом, теоремы Кюннета не могут быть получены указанными выше методами гомологической алгебры. Тем не менее, теоремы Кюннета в той же форме были доказаны во многих случаях различными другими методами. Первыми были теорема Кюннета Майкла Атьи для комплексной K-теории и результат Пьера Коннера и Эдвина Э. Флойда о кобордизмах. ^{[3] [4]} Появился общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над высокоструктурированными кольцевыми спектрами . ^{[5] [6]} Гомотопическая категория таких модулей очень похожа на производную категорию в гомологической алгебре.

Ссылки

1. См. последнюю главу Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Berlin: Springer, ISBN 0-387-03823-X
2. Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963), «Элементы алгебраической геометрии (редигес с сотрудничеством Жана Дьедонне): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde party», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 17 : 5–91, заархивировано из оригинал 19 апреля 2016 г. , получено 29 июля 2008 г.(EGA III ₂ , Теорема 6.7.3.).
3. Атья, Майкл Ф. (1967), K-теория , Нью-Йорк: WA Бенджамин
4. Коннер, Пьер Э .; Флойд, Эдвин Э. (1964), Дифференцируемые периодические отображения , Берлин: Springer
5. Робинсон, Алан (1983), «Производные тензорные произведения в стабильной гомотопической теории», Топология , 22 (1): 1–18, doi : 10.1016/0040-9383(83)90042-3 , MR  0682056
6. Элмендорф, Энтони Д.; Кржиж, Игорь; Манделл, Майкл А. и Мэй, Дж. Питер (1997), Кольца, модули и алгебры в стабильной теории гомотопий , Математические обзоры и монографии, т. 47, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0638-6, МР  1417719

Внешние ссылки

• «Формула Кюннета», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]