Сингулярная гомология

Понятие в алгебраической топологии

В алгебраической топологии сингулярная гомология относится к изучению определенного набора алгебраических инвариантов топологического пространства X , так называемых групп гомологий Интуитивно сингулярная гомология учитывает, для каждого измерения n , n -мерные дыры пространства. Сингулярная гомология является частным примером теории гомологии , которая теперь выросла в довольно широкую коллекцию теорий. Из различных теорий она, возможно, одна из самых простых для понимания, поскольку построена на довольно конкретных конструкциях (см. также связанную теорию симплициальной гомологии ). ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Короче говоря, сингулярные гомологии строятся путем взятия отображений стандартного n -симплекса в топологическое пространство и составления их в формальные суммы , называемые сингулярными цепями . Граничная операция — отображение каждого n -мерного симплекса в его ( n −1)-мерную границу — индуцирует сингулярный цепной комплекс . Сингулярные гомологии затем являются гомологиями цепного комплекса. Полученные группы гомологии одинаковы для всех гомотопически эквивалентных пространств, что является причиной их изучения. Эти конструкции могут быть применены ко всем топологическим пространствам, и поэтому сингулярная гомология выражается как функтор из категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп .

Особые симплексы

Стандартный 2-симплекс Δ ² в R ³

Сингулярный n -симплекс в топологическом пространстве X — это непрерывная функция (также называемая отображением) из стандартного n -симплекса в X , записанная как Это отображение не обязательно должно быть инъективным , и могут существовать неэквивалентные сингулярные симплексы с одинаковым образом в X . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\to X.}$

Граница обозначается как , определяется как формальная сумма сингулярных ( n  − 1)-симплексов, представленных ограничением на грани стандартного n -симплекса, с чередующимся знаком для учета ориентации. (Формальная сумма является элементом свободной абелевой группы на симплексах. Основой группы является бесконечное множество всех возможных сингулярных симплексов. Групповая операция - "сложение", а сумма симплекса a с симплексом b обычно обозначается просто a  +  b , но a  +  a  = 2 a и так далее. Каждый симплекс a имеет отрицательное − a .) Таким образом, если мы обозначим его вершины ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle \partial _{n}\sigma ,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle [p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=[\sigma (e_{0}),\sigma (e_{1}),\ldots ,\sigma (e_{n})]}$

соответствующие вершинам стандартного n -симплекса (который, конечно, не полностью определяет сингулярный симплекс, полученный с помощью ), то ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \partial _{n}\sigma =\partial _{n}[p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{n}]=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma \mid _{e_{0},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}}}$

представляет собой формальную сумму граней симплексного изображения, обозначенную определенным образом. ^[1] (То есть, конкретная грань должна быть ограничением на грань , которая зависит от порядка перечисления ее вершин.) Так, например, граница (кривой, идущей от к ) представляет собой формальную сумму (или «формальную разность») . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]}$

Сингулярный цепной комплекс

Пример сингулярных 1-цепей: Фиолетовая и оранжевая 1-цепи не могут быть реализованы как граница 2-цепи.

Обычное построение сингулярных гомологии осуществляется путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободной абелевой группы , а затем путем демонстрации того, что мы можем определить определенную группу, группу гомологий топологического пространства, включающую граничный оператор.

Рассмотрим сначала множество всех возможных сингулярных n -симплексов на топологическом пространстве X . Это множество может быть использовано в качестве базиса свободной абелевой группы , так что каждый сингулярный n -симплекс является генератором группы. Этот набор генераторов, конечно, обычно бесконечен, часто несчетен , поскольку существует много способов отображения симплекса в типичное топологическое пространство. Свободная абелева группа, порождённая этим базисом, обычно обозначается как . Элементы из называются сингулярными n -цепями ; они являются формальными суммами сингулярных симплексов с целыми коэффициентами. ${\displaystyle \sigma _{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Граница легко расширяется для действия на сингулярных n -цепях. Расширение, называемое оператором границы , записывается как ${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

является гомоморфизмом групп. Граничный оператор вместе с образуют цепной комплекс абелевых групп, называемый сингулярным комплексом . Его часто обозначают как или проще . ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$

Ядро граничного оператора есть , и называется группой сингулярных n -циклов . Образ граничного оператора есть , и называется группой сингулярных n -границ . ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\operatorname {im} (\partial _{n+1})}$

Можно также показать, что , подразумевая . Тогда -я группа гомологий определяется как фактор-группа ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle B_{n}(X)\subseteq Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}(X)/B_{n}(X).}$

Элементы называются классами гомологии . ^[2] ${\displaystyle H_{n}(X)}$

Гомотопическая инвариантность

Если X и Y — два топологических пространства с одинаковым гомотопическим типом (т.е. гомотопически эквивалентны ), то

${\displaystyle H_{n}(X)\cong H_{n}(Y)\,}$

для всех n ≥ 0. Это означает, что группы гомологии являются гомотопическими инвариантами, а следовательно, и топологическими инвариантами .

В частности, если X — связное стягиваемое пространство , то все его группы гомологии равны 0, за исключением . ${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} }$

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологии можно набросать следующим образом. Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм

${\displaystyle f_{\sharp }:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(Y).}$

Можно сразу убедиться, что

${\displaystyle \partial f_{\sharp }=f_{\sharp }\partial ,}$

то есть f _# — это цепное отображение , которое сводится к гомоморфизмам по гомологии

${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y).}$

Теперь покажем, что если f и g гомотопически эквивалентны, то f _* = g _* . Из этого следует, что если f — гомотопическая эквивалентность, то f _* — изоморфизм.

Пусть F  : X × [0, 1] → Y — гомотопия, которая переводит f в g . На уровне цепей определим гомоморфизм

${\displaystyle P:C_{n}(X)\rightarrow C_{n+1}(Y)}$

что, геометрически говоря, переводит базисный элемент σ: Δ ⁿ → X из C _n ( X ) в «призму» P (σ): Δ ⁿ × I → Y . Граница P (σ) может быть выражена как

${\displaystyle \partial P(\sigma )=f_{\sharp }(\sigma )-g_{\sharp }(\sigma )-P(\partial \sigma ).}$

Итак, если α в C _n ( X ) является n -циклом, то f _# ( α ) и g _# ( α ) отличаются границей:

${\displaystyle f_{\sharp }(\alpha )-g_{\sharp }(\alpha )=\partial P(\alpha ),}$

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение. ^[3]

Группы гомологий общих пространств

В таблице ниже показаны k-е группы гомологии n-мерных вещественных проективных пространств RP ⁿ , комплексных проективных пространств CP ⁿ , точки, сферы S ⁿ ( ) и 3-тора T ³ с целыми коэффициентами. ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Функториальность

Конструкция выше может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется действием непрерывных отображений. Эта общность подразумевает, что сингулярная теория гомологии может быть переписана на языке теории категорий . В частности, группа гомологии может пониматься как функтор из категории топологических пространств Top в категорию абелевых групп Ab .

Рассмотрим сначала, что является отображением из топологических пространств в свободные абелевы группы. Это предполагает, что может быть принято за функтор, при условии, что можно понять его действие на морфизмы Top . Теперь, морфизмы Top являются непрерывными функциями, поэтому, если является непрерывным отображением топологических пространств, его можно расширить до гомоморфизма групп ${\displaystyle X\mapsto C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f_{*}:C_{n}(X)\to C_{n}(Y)\,}$

определяя

${\displaystyle f_{*}\left(\sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}a_{i}(f\circ \sigma _{i})}$

где — сингулярный симплекс, а — сингулярная n -цепь, то есть элемент . Это показывает, что — функтор ${\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп .

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что . Это позволяет рассматривать весь комплекс цепи как функтор. В частности, это показывает, что отображение является функтором ${\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. По гомотопической аксиоме, имеем, что также является функтором, называемым гомологическим функтором, действующим на hTop , фактор -гомотопической категории : ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}$

Это отличает сингулярную гомологию от других теорий гомологии, где все еще является функтором, но не обязательно определен на всех Top . В некотором смысле сингулярная гомология является «крупнейшей» теорией гомологии, в том смысле, что каждая теория гомологии на подкатегории Top согласуется с сингулярной гомологией на этой подкатегории. С другой стороны, сингулярная гомология не обладает самыми чистыми категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология . ${\displaystyle H_{n}}$

В более общем смысле, гомологический функтор определяется аксиоматически, как функтор на абелевой категории , или, альтернативно, как функтор на цепных комплексах , удовлетворяющий аксиомам, требующим граничного морфизма , который превращает короткие точные последовательности в длинные точные последовательности . В случае сингулярных гомологий гомологический функтор может быть разложен на две части, топологическую часть и алгебраическую часть. Топологическая часть задается как

${\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }$

который отображает топологические пространства как и непрерывные функции как . Здесь, таким образом, понимается сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категорию цепных комплексов Comp (или Kom ). Категория цепных комплексов имеет цепные комплексы в качестве своих объектов , а цепные отображения в качестве своих морфизмов . ${\displaystyle X\mapsto (C_{\bullet }(X),\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle f\mapsto f_{*}}$ ${\displaystyle C_{\bullet }}$

Вторая, алгебраическая часть — это функтор гомологии

${\displaystyle H_{n}:\mathbf {Comp} \to \mathbf {Ab} }$

какие карты

${\displaystyle C_{\bullet }\mapsto H_{n}(C_{\bullet })=Z_{n}(C_{\bullet })/B_{n}(C_{\bullet })}$

и переводит цепные отображения в отображения абелевых групп. Именно этот функтор гомологии может быть определен аксиоматически, так что он стоит сам по себе как функтор в категории цепных комплексов.

Гомотопические отображения снова входят в картину, определяя гомотопически эквивалентные цепные отображения. Таким образом, можно определить фактор-категорию hComp или K , гомотопическую категорию цепных комплексов .

Коэффициенты вР

Для любого единичного кольца R множество сингулярных n -симплексов на топологическом пространстве можно взять в качестве генераторов свободного R -модуля . То есть, вместо того, чтобы выполнять приведенные выше построения с начальной точки свободных абелевых групп, вместо них используются свободные R -модули. Все построения проходят с небольшими изменениями или без них. Результат этого таков:

${\displaystyle H_{n}(X;R)\ }$

который теперь является R -модулем . Конечно, это обычно не свободный модуль. Обычная группа гомологии восстанавливается, если отметить, что

${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}$

когда кольцо берется как кольцо целых чисел. Обозначение H _n ( X ; R ) не следует путать с почти идентичным обозначением H _n ( X , A ), которое обозначает относительную гомологию (ниже).

Теорема об универсальных коэффициентах предоставляет механизм для вычисления гомологии с коэффициентами R в терминах гомологии с обычными целочисленными коэффициентами, используя короткую точную последовательность

${\displaystyle 0\to H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R\to H_{n}(X;R)\to \mathrm {Tor} _{1}(H_{n-1}(X;\mathbb {Z} ),R)\to 0.}$

где Tor — функтор Tor . ^[8] Следует отметить, что если R не имеет кручения, то для любого G , поэтому указанная выше короткая точная последовательность сводится к изоморфизму между и ${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}(G,R)=0}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )\otimes R}$ ${\displaystyle H_{n}(X;R).}$

Относительная гомология

Для подпространства относительная гомология H _n ( X , A ) понимается как гомология фактора цепных комплексов, то есть, ${\displaystyle A\subset X}$

${\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}$

где частное цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0.}$^[9]

Сниженная гомология

Редуцированная гомология пространства X , обозначенная как , представляет собой небольшую модификацию обычной гомологии, которая упрощает выражения некоторых соотношений и соответствует интуитивному представлению о том, что все группы гомологии точки должны быть равны нулю. ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)}$

Для обычной гомологии, определенной на цепном комплексе:

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

Чтобы определить редуцированную гомологию, мы дополняем цепной комплекс дополнительным элементом между и нулем: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \to 0}$

где . Это можно обосновать, интерпретируя пустое множество как «(-1)-симплекс», что означает, что . ${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle C_{-1}\simeq \mathbb {Z} }$

Группы редуцированной гомологии теперь определяются как для положительных n и . ^[10] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

При n > 0, , а при n = 0, ${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} .}$

Когомологии

Дуализируя комплекс цепи гомологии (т.е. применяя функтор Hom(-, R ), где R — любое кольцо), мы получаем комплекс коцепи с отображением кограницы . Группы когомологий X определяются как группы гомологии этого комплекса; в шутку, «когомологии — это гомологии co [дуального комплекса]». ${\displaystyle \delta }$

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологии. Во-первых, они образуют дифференциальную градуированную алгебру следующим образом:

• градуированный набор групп образует градуированный R - модуль ;
• этому можно придать структуру градуированной R - алгебры , используя кубковое произведение ;
• гомоморфизм Бокштейна β дает дифференциал.

Существуют дополнительные операции когомологии , а алгебра когомологий имеет структуру сложения mod p (как и прежде, когомологии mod p являются когомологиями комплекса коцепей mod p , а не редукция mod p когомологий), в частности, структуру алгебры Стинрода .

Гомологии и когомологии Бетти

Поскольку число теорий гомологии стало большим (см. Категория:Теория гомологии ), термины гомологии Бетти и когомологии Бетти иногда применяются (особенно авторами, пишущими по алгебраической геометрии ) к сингулярной теории, поскольку они приводят к числам Бетти наиболее известных пространств, таких как симплициальные комплексы и замкнутые многообразия .

Необычайная гомология

Если определить теорию гомологии аксиоматически (через аксиомы Эйленберга–Стинрода ), а затем ослабить одну из аксиом ( аксиому размерности ), то получится обобщенная теория, называемая необычной теорией гомологии . Они первоначально возникли в форме необычных теорий когомологии , а именно K-теории и теории кобордизмов . В этом контексте сингулярная гомология называется обычной гомологией.

Смотрите также

• Производная категория
• Теорема об исчерпывании
• Теорема Гуревича
• Симплициальная гомология
• Клеточная гомология

Ссылки

1. Хэтчер, 105
2. Хэтчер, 108
3. Теорема 2.10. Хэтчер, 111
4. Хэтчер, 144
5. Хэтчер, 140
6. Хэтчер, 110
7. Хэтчер, 142-143
8. Хэтчер, 264
9. Хэтчер, 115
10. Хэтчер, 110

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0 
• Дж. П. Мэй, Краткий курс алгебраической топологии , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-51183-9 
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1