Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле ( / ˌ d ɪər ɪ ˈ k l eɪ / ; [1] нем.: [ləˈʒœn diʁiˈkleː] ; [2] 13 февраля 1805 — 5 мая 1859) — немецкий математик . В теории чисел он доказал частные случаи последней теоремы Ферма и создал аналитическую теорию чисел . В анализе он развил теорию рядов Фурье и одним из первых дал современное формальное определение функции . В математической физике он изучал теорию потенциала , граничные задачи , диффузию тепла и гидродинамику .
Хотя его фамилия — Лежен Дирихле, его обычно называют мононимом Дирихле , в частности, для результатов, названных в его честь.
Густав Лежен Дирихле родился 13 февраля 1805 года в Дюрене , городе на левом берегу Рейна , который в то время был частью Первой Французской империи , вернувшейся к Пруссии после Венского конгресса в 1815 году. Его отец Иоганн Арнольд Лежен Дирихле был почтмейстером, торговцем и городским советником. Его дед по отцовской линии приехал в Дюрен из Ришелетта (или, скорее, Ришеля ), небольшого поселения в 5 км (3 милях) к северо-востоку от Льежа в Бельгии , откуда и произошла его фамилия «Лежен Дирихле» (« le jeune de Richelette », по-французски «юноша из Ришелетта»). [3]
Хотя его семья не была богатой, и он был младшим из семи детей, его родители поддерживали его образование. Они записали его в начальную школу, а затем в частную школу в надежде, что он позже станет торговцем. Молодой Дирихле, который проявил сильный интерес к математике до 12 лет, убедил своих родителей разрешить ему продолжить обучение. В 1817 году они отправили его в гимназию Бонна под опеку Петера Йозефа Эльвениха , ученика, которого знала его семья. В 1820 году Дирихле перешел в иезуитскую гимназию в Кельне , где его уроки с Георгом Омом помогли расширить его познания в математике. Он покинул гимназию год спустя, имея только аттестат, так как его неспособность бегло говорить по-латыни помешала ему получить аттестат зрелости . [3]
Дирихле снова убедил своих родителей оказать ему дальнейшую финансовую поддержку для обучения математике, вопреки их желанию сделать карьеру в области права. Поскольку в то время в Германии было мало возможностей изучать высшую математику, и только Гаусс был в Геттингенском университете , который был номинально профессором астрономии и в любом случае не любил преподавать, Дирихле решил отправиться в Париж в мае 1822 года. Там он посещал занятия в Коллеж де Франс и в Парижском университете , изучая математику у Ашетта и других, одновременно занимаясь частным изучением Disquisitiones Arithmeticae Гаусса , книги, которую он держал под рукой всю свою жизнь. В 1823 году его рекомендовали генералу Максимилиану Фуа , который нанял его в качестве частного репетитора для обучения своих детей немецкому языку , заработная плата наконец позволила Дирихле стать независимым от финансовой поддержки своих родителей. [4]
Его первое оригинальное исследование, включающее часть доказательства Великой теоремы Ферма для случая n = 5 , принесло ему немедленную известность, став первым шагом в этой теореме после доказательства Ферма для случая n = 4 и доказательства Эйлера для n = 3. Адриен -Мари Лежандр , один из рецензентов, вскоре завершил доказательство для этого случая; Дирихле завершил свое собственное доказательство вскоре после Лежандра и несколько лет спустя представил полное доказательство для случая n = 14. [ 5] В июне 1825 года он был принят для чтения лекций по своему частичному доказательству для случая n = 5 во Французской академии наук , что было исключительным подвигом для 20-летнего студента без степени. [3] Его лекция в Академии также сблизила Дирихле с Фурье и Пуассоном , которые пробудили в нем интерес к теоретической физике , особенно к аналитической теории тепла Фурье .
Поскольку генерал Фуа умер в ноябре 1825 года, и он не смог найти никакой оплачиваемой должности во Франции, Дирихле пришлось вернуться в Пруссию. Фурье и Пуассон познакомили его с Александром фон Гумбольдтом , которого призвали ко двору короля Фридриха Вильгельма III . Гумбольдт, планируя сделать Берлин центром науки и исследований, немедленно предложил свою помощь Дирихле, отправив письма в его пользу прусскому правительству и Прусской академии наук . Гумбольдт также получил рекомендательное письмо от Гаусса, который, прочитав его мемуары о теореме Ферма, написал с необычайным количеством похвал, что «Дирихле проявил превосходный талант». [6] При поддержке Гумбольдта и Гаусса Дирихле предложили должность преподавателя в университете Бреслау . Однако, поскольку он не защитил докторскую диссертацию, он представил свои мемуары о теореме Ферма в качестве диссертации в Боннский университет . Опять же, его незнание латыни не позволило ему провести требуемую публичную дискуссию по своей диссертации; после долгих обсуждений университет решил обойти эту проблему, присудив ему почетную докторскую степень в феврале 1827 года. Кроме того, министр образования предоставил ему разрешение на участие в латинской дискуссии, необходимой для получения степени доктора наук . Дирихле получил степень доктора наук и читал лекции в 1827–1828 годах в качестве приват-доцента в Бреслау . [3]
Находясь в Бреслау, Дирихле продолжил свои исследования в области теории чисел, опубликовав важные работы по биквадратичному закону взаимности , который в то время был фокусом исследований Гаусса. Александр фон Гумбольдт воспользовался этими новыми результатами, которые также получили восторженную похвалу от Фридриха Бесселя , чтобы организовать для него желаемый перевод в Берлин. Учитывая молодой возраст Дирихле (ему тогда было 23 года), Гумбольдт смог получить для него только испытательную должность в Прусской военной академии в Берлине, оставаясь при этом номинально работающим в Университете Бреслау. Испытательный срок был продлен на три года, пока должность не стала окончательной в 1831 году.
После переезда Дирихле в Берлин Гумбольдт познакомил его с большими салонами, которые проводил банкир Абрахам Мендельсон Бартольди и его семья. Их дом был еженедельным местом встреч берлинских художников и ученых, включая детей Абрахама Феликса и Фанни Мендельсон , выдающихся музыкантов, и художника Вильгельма Гензеля (мужа Фанни). Дирихле проявил большой интерес к дочери Абрахама Ребекке, на которой он женился в 1832 году.
Ребекка Генриетта Лежен Дирихле (урожденная Ребекка Мендельсон; 11 апреля 1811 г. — 1 декабря 1858 г.) была внучкой Моисея Мендельсона и младшей сестрой Феликса Мендельсона и Фанни Мендельсон . [7] [8] Ребекка родилась в Гамбурге . [9] В 1816 году родители крестили ее , и она взяла себе имя Ребекка Генриетта Мендельсон Бартольди. [10] Она вошла в знатный салон своих родителей, Авраама Мендельсона и его жены Леи, поддерживая связи с выдающимися музыкантами , художниками и учеными в высокотворческий период немецкой интеллектуальной жизни. В 1829 году она исполнила небольшую роль на премьере оперы Феликса « Die Heimkehr aus der Fremde» , состоявшейся в доме Мендельсона . Позже она написала:
Мой старший брат и сестра украли мою репутацию художника. В любой другой семье я был бы высоко оценен как музыкант и, возможно, был бы лидером группы. Рядом с Феликсом и Фанни я не мог претендовать на какое-либо признание. [11]
В 1832 году она вышла замуж за Дирихле, которого познакомил с семьей Мендельсонов Александр фон Гумбольдт . [12] В 1833 году родился их первый сын, Вальтер. Она умерла в Геттингене в 1858 году.
Как только он приехал в Берлин, Дирихле подал заявку на чтение лекций в Берлинском университете , и министр образования одобрил перевод и в 1831 году назначил его на философский факультет . Факультет потребовал от него пройти повторную квалификацию habilitationsschrift , и хотя Дирихле написал Habilitationsschrift по мере необходимости, он отложил чтение обязательной лекции на латыни еще на 20 лет, до 1851 года. Поскольку он не выполнил это формальное требование, он оставался прикрепленным к факультету с неполными правами, включая ограниченное вознаграждение, что вынуждало его параллельно сохранять свою преподавательскую должность в Военной школе. В 1832 году Дирихле стал членом Прусской академии наук , самым молодым членом в возрасте всего 27 лет. [3]
Дирихле имел хорошую репутацию среди студентов за ясность своих объяснений и любил преподавать, особенно потому, что его университетские лекции, как правило, были посвящены более продвинутым темам, в которых он проводил исследования: теория чисел (он был первым немецким профессором, читавшим лекции по теории чисел), анализ и математическая физика . Он консультировал докторские диссертации нескольких важных немецких математиков, таких как Готхольд Эйзенштейн , Леопольд Кронекер , Рудольф Липшиц и Карл Вильгельм Борхардт , одновременно оказывая влияние на математическое образование многих других ученых, включая Элвина Бруно Кристоффеля , Вильгельма Вебера , Эдуарда Гейне , Людвига фон Зайделя и Юлиуса Вайнгартена . В Военной академии Дирихле удалось ввести дифференциальное и интегральное исчисление в учебную программу, повысив уровень научного образования там. Однако постепенно он начал чувствовать, что его двойная преподавательская нагрузка, в Военной академии и в университете, ограничивала время, доступное для его исследований. [3]
Находясь в Берлине, Дирихле поддерживал связь с другими математиками. В 1829 году во время поездки он встретил Карла Якоби , в то время профессора математики в Кенигсбергском университете . На протяжении многих лет они продолжали встречаться и переписываться по вопросам исследований, со временем став близкими друзьями. В 1839 году во время визита в Париж Дирихле встретил Жозефа Лиувилля , и два математика стали друзьями, поддерживали связь и даже навещали друг друга с семьями несколько лет спустя. В 1839 году Якоби отправил Дирихле статью Эрнста Куммера , в то время школьного учителя. Осознав потенциал Куммера, они помогли ему избраться в Берлинскую академию, а в 1842 году добились для него должности полного профессора в Университете Бреслау. В 1840 году Куммер женился на Оттилии Мендельсон, двоюродной сестре Ребекки.
В 1843 году, когда Якоби заболел, Дирихле отправился в Кёнигсберг, чтобы помочь ему, а затем получил для него помощь личного врача короля Фридриха Вильгельма IV . Когда врач рекомендовал Якоби провести некоторое время в Италии, Дирихле присоединился к нему в поездке вместе со своей семьей. Их сопровождал в Италию Людвиг Шлефли , который приехал в качестве переводчика; поскольку он сильно интересовался математикой, и Дирихле, и Якоби читали ему лекции во время поездки, и позже он сам стал важным математиком. [3] Семья Дирихле продлила свое пребывание в Италии до 1845 года, там родилась их дочь Флора. В 1844 году Якоби переехал в Берлин в качестве королевского пенсионера, их дружба стала еще ближе. В 1846 году, когда Гейдельбергский университет попытался завербовать Дирихле, Якоби оказал фон Гумбольдту необходимую поддержку, чтобы удвоить зарплату Дирихле в университете, чтобы удержать его в Берлине; Однако даже тогда ему не выплачивали полную профессорскую зарплату, и он не мог покинуть Военную академию. [13]
Придерживаясь либеральных взглядов, Дирихле и его семья поддержали революцию 1848 года ; он даже охранял с винтовкой дворец принца Прусского. После поражения революции Военная академия временно закрылась, что привело к большой потере им дохода. Когда она открылась вновь, окружение стало более враждебным к нему, поскольку офицеры, которых он обучал, должны были быть лояльны к установленному правительству. Некоторые представители прессы, которые не встали на сторону революции, указывали на него, а также на Якоби и других либеральных профессоров, как на «красный контингент персонала». [3]
В 1849 году Дирихле вместе со своим другом Якоби принял участие в праздновании юбилея доктора наук Гаусса.
Несмотря на опыт Дирихле и почести, которые он получил, и хотя к 1851 году он наконец выполнил все формальные требования для получения звания полного профессора, вопрос о повышении его зарплаты в университете все еще тянулся, и он все еще не мог покинуть Военную академию. В 1855 году, после смерти Гаусса, Геттингенский университет решил назвать Дирихле своим преемником. Учитывая трудности, с которыми он столкнулся в Берлине, он решил принять предложение и немедленно переехал в Геттинген со своей семьей. Куммер был призван занять должность профессора математики в Берлине. [4]
Дирихле наслаждался своим временем в Гёттингене, так как меньшая преподавательская нагрузка позволяла ему больше времени для исследований, и он вступил в тесный контакт с новым поколением исследователей, особенно с Рихардом Дедекиндом и Бернхардом Риманом . После переезда в Гёттинген он смог получить небольшую ежегодную стипендию для Римана, чтобы сохранить его в преподавательском составе там. Дедекинд, Риман, Мориц Кантор и Альфред Эннепер , хотя все они уже получили свои докторские степени, посещали занятия Дирихле, чтобы учиться у него. Дедекинд, который чувствовал, что в его математическом образовании были пробелы, считал, что возможность учиться у Дирихле сделала его «новым человеком». [3] Позже он отредактировал и опубликовал лекции Дирихле и другие результаты по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie ( Лекции по теории чисел ).
Летом 1858 года во время поездки в Монтрё Дирихле перенёс сердечный приступ. 5 мая 1859 года он умер в Гёттингене, через несколько месяцев после смерти своей жены Ребекки. [4] Мозг Дирихле хранится на кафедре физиологии Гёттингенского университета вместе с мозгом Гаусса. [ сомнительно – обсудить ] Академия в Берлине почтила его память официальной мемориальной речью, произнесённой Куммером в 1860 году, а позднее распорядилась опубликовать его собрание сочинений под редакцией Кронекера и Лазаруса Фукса .
Теория чисел была основным исследовательским интересом Дирихле, [14] областью, в которой он нашел несколько глубоких результатов и при их доказательстве ввел некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых позже были названы в его честь. В 1837 году Дирихле доказал свою теорему об арифметических прогрессиях, используя концепции математического анализа для решения алгебраической проблемы, тем самым создав ветвь аналитической теории чисел . При доказательстве теоремы он ввел характеры Дирихле и L-функции . [14] [15] В этой статье он также отметил разницу между абсолютной и условной сходимостью рядов и ее влияние на то, что позже было названо теоремой Римана о рядах . В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметических прогрессиях с целых чисел на кольцо гауссовых целых чисел . [3]
В паре статей 1838 и 1839 годов он доказал формулу первого класса чисел для квадратичных форм (позднее улучшенную его учеником Кронекером). Формула, которую Якоби назвал результатом «касающимся пределов человеческой проницательности», открыла путь для подобных результатов относительно более общих числовых полей . [3] Основываясь на своем исследовании структуры единичной группы квадратичных полей , он доказал теорему Дирихле о единицах — фундаментальный результат в алгебраической теории чисел . [15]
Он впервые использовал принцип ящика , базовый аргумент подсчета, в доказательстве теоремы в диофантовых приближениях , позже названной в его честь теоремой о приближении Дирихле . Он опубликовал важные вклады в Великую теорему Ферма , для которой он доказал случаи n = 5 и n = 14 , и в биквадратичный закон взаимности . [3] Проблема делителей Дирихле , для которой он нашел первые результаты, введя метод гипербол Дирихле , [16] до сих пор остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других математиков.
Вдохновленный работой своего наставника в Париже, Дирихле опубликовал в 1829 году знаменитый мемуар, в котором излагались условия , показывающие, для каких функций имеет место сходимость ряда Фурье . [17] До решения Дирихле не только Фурье, но также Пуассон и Коши безуспешно пытались найти строгое доказательство сходимости. В мемуаре указывалась ошибка Коши и вводился тест Дирихле на сходимость рядов. Он также вводил функцию Дирихле как пример функции, которая не интегрируема ( определенный интеграл в то время все еще был развивающейся темой), а в доказательстве теоремы для ряда Фурье вводилось ядро Дирихле и интеграл Дирихле . [18]
Дирихле также изучал первую краевую задачу для уравнения Лапласа , доказав единственность решения; этот тип задач в теории уравнений с частными производными позже был назван задачей Дирихле в его честь. Функция, удовлетворяющая уравнению с частными производными, подчиняющемуся граничным условиям Дирихле, должна иметь фиксированные значения на границе. [14] В доказательстве он, в частности, использовал принцип, согласно которому решение является функцией, которая минимизирует так называемую энергию Дирихле . Позже Риман назвал этот подход принципом Дирихле , хотя он знал, что он также использовался Гауссом и лордом Кельвином . [3]
Пытаясь оценить диапазон функций, для которых может быть показана сходимость ряда Фурье, Дирихле определяет функцию свойством , что «любому x соответствует один конечный y », но затем ограничивает свое внимание кусочно-непрерывными функциями. Основываясь на этом, ему приписывают введение современного понятия функции, в отличие от старого смутного понимания функции как аналитической формулы. [3] Имре Лакатос цитирует Германа Ганкеля как раннего первоисточника этой атрибуции, но оспаривает это утверждение, говоря, что «есть достаточно доказательств того, что он не имел представления об этом понятии [...] например, когда он обсуждает кусочно-непрерывные функции, он говорит, что в точках разрыва функция имеет два значения». [19]
Дирихле также работал в области математической физики , читал лекции и публиковал исследования по теории потенциала (включая задачу Дирихле и принцип Дирихле, упомянутые выше), теории тепла и гидродинамики . [14] Он улучшил работу Лагранжа по консервативным системам , показав, что условием равновесия является минимальность потенциальной энергии . [20]
Дирихле также читал лекции по теории вероятностей и наименьшим квадратам , представив некоторые оригинальные методы и результаты, в частности, для предельных теорем и усовершенствования метода аппроксимации Лапласа, связанного с центральной предельной теоремой . [21] Распределение Дирихле и процесс Дирихле , основанный на интеграле Дирихле , названы в его честь.
Дирихле был избран членом нескольких академий: [22]
В 1855 году Дирихле был награждён медалью гражданского класса ордена Pour le Mérite по представлению Александра фон Гумбольдта . В его честь названы кратер Дирихле на Луне и астероид 11665 Дирихле .
Полная библиография опубликованных работ Дирихле, включая их переводы и лекции, не вошедшие в Werke , доступна по адресу:
Медиа, связанные с Питером Густавом Леженом Дирихле на Wikimedia Commons![{\displaystyle \mathbb {Z} [я]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)