В математике идеальная группа классов (или группа классов ) алгебраического числового поля K — это фактор-группа J K / P K , где J K — группа дробных идеалов кольца целых чисел K , а P K — ее подгруппа главных идеалов . Группа классов — это мера степени, в которой однозначная факторизация не выполняется в кольце целых чисел K. Порядок группы, который конечен , называется числом классов K.
Теория распространяется на дедекиндовы области и их поля дробей , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов дедекиндовой области тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .
Группы идеальных классов (или, скорее, то, что фактически было группами идеальных классов) изучались некоторое время до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, как было представлено в чем-то вроде окончательной формы Карлом Фридрихом Гауссом , был определен закон композиции на некоторых классах эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу , как было признано в то время.
Позже Эрнст Куммер работал над теорией циклотомических полей . Было осознано (вероятно, несколькими людьми), что неудача в завершении доказательств в общем случае Великой теоремы Ферма с помощью факторизации с использованием корней из единицы имела очень вескую причину: неудача уникальной факторизации – т. е. фундаментальной теоремы арифметики – для сохранения в кольцах, порожденных этими корнями из единицы, была главным препятствием. Из работы Куммера впервые вышло исследование препятствия к факторизации. Теперь мы признаем это как часть идеальной группы классов: на самом деле Куммер изолировал p - кручение в этой группе для поля p - корней из единицы для любого простого числа p , как причину неудачи стандартного метода атаки на проблему Ферма (см. regular prime ).
Несколько позже Ричард Дедекинд снова сформулировал концепцию идеала, Куммер работал по-другому. На этом этапе существующие примеры можно было объединить. Было показано, что хотя кольца алгебраических целых чисел не всегда имеют уникальную факторизацию на простые числа (потому что они не обязаны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (то есть каждое кольцо алгебраических целых чисел является областью Дедекинда ). Размер группы классов идеалов можно рассматривать как меру отклонения кольца от того, чтобы быть областью главных идеалов; кольцо является областью главных идеалов тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.
Если R — область целостности , определим отношение ~ на ненулевых дробных идеалах R с помощью I ~ J всякий раз, когда существуют ненулевые элементы a и b из R, такие что ( a ) I = ( b ) J . (Здесь обозначение ( a ) означает главный идеал R, состоящий из всех кратных a .) Легко показать, что это отношение эквивалентности . Классы эквивалентности называются идеальными классами R . Идеальные классы можно умножать: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ] [ J ] = [ IJ ] является корректно определенным и коммутативным . Главные идеалы образуют идеальный класс [ R ], который служит единичным элементом для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем случае такой J может не существовать, и, следовательно, множество идеальных классов R может быть только моноидом .
Однако, если R — кольцо целых алгебраических чисел в алгебраическом числовом поле или, в более общем смысле, дедекиндова область , то умножение, определенное выше, превращает множество дробных идеальных классов в абелеву группу , группу классов идеалов R. Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовой области каждый ненулевой идеал (кроме R ) является произведением простых идеалов .
Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R являются главными. В этом смысле группа классов идеалов измеряет, насколько R далека от того, чтобы быть областью главных идеалов , и, следовательно, от того, чтобы удовлетворять уникальной простой факторизации (области Дедекинда являются областями уникальных факторизаций тогда и только тогда, когда они являются областями главных идеалов).
Число идеальных классов (числоЧисло классов R) может быть бесконечным в общем случае. Фактически, каждая абелева группа изоморфнаидеальнойгруппе классов некоторой области Дедекинда.[1]Но еслиR— кольцо целых алгебраических чисел, то число классов всегдаконечно. Это один из основных результатов классическойалгебраической теории чисел.
Вычисление группы классов, в общем, сложно; его можно выполнить вручную для кольца целых чисел в алгебраическом числовом поле малого дискриминанта , используя границу Минковского . Этот результат дает границу, зависящую от кольца, такую, что каждый идеальный класс содержит идеальную норму, меньшую границы. В общем, граница недостаточно точна, чтобы сделать вычисления практичными для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.
Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным , и группа классов может быть отнесена к разделу алгебраической K-теории , где K 0 ( R ) является функтором, назначающим R его идеальную группу классов; точнее, K 0 ( R ) = Z × C ( R ), где C ( R ) является группой классов. Высшие группы K также могут использоваться и интерпретироваться арифметически в связи с кольцами целых чисел.
Выше было отмечено, что группа классов идеалов дает часть ответа на вопрос о том, насколько идеалы в дедекиндовой области ведут себя как элементы. Другая часть ответа дается группой единиц дедекиндовой области, поскольку переход от главных идеалов к их образующим требует использования единиц (и это также является остальной причиной введения понятия дробного идеала):
Определим отображение из R × в множество всех ненулевых дробных идеалов R, отправив каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он порождает. Это гомоморфизм групп ; его ядром является группа единиц R , а его коядром является группа классов идеалов R . Неспособность этих групп быть тривиальными является мерой неспособности отображения быть изоморфизмом: это неспособность идеалов действовать как элементы кольца, то есть как числа.
Если — целое число, свободное от квадратов (произведение различных простых чисел), отличное от 1, то — квадратичное расширение Q . Если , то число классов кольца целых алгебраических чисел равно 1 для следующих значений : . Этот результат был впервые выдвинут Гауссом и доказан Куртом Хегнером , хотя доказательству Хегнера не верили, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году. (См. теорему Штарка–Хегнера .) Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .
Если же, с другой стороны, d > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей с классом номер 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей с классом номер 1. [2]
При d < 0 идеальная группа классов изоморфна группе классов целочисленных бинарных квадратичных форм дискриминанта , равного дискриминанту . При d > 0 идеальная группа классов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов целочисленных бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группе классов . [ 3]
Для действительных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649; для мнимого случая они указаны в OEIS A000924.
Квадратичное целочисленное кольцо R = Z [ √ −5 ] — это кольцо целых чисел Q ( √ −5 ). Оно не обладает однозначной факторизацией; на самом деле группа классов R является циклической порядка 2. Действительно, идеал
не является главным, что можно доказать от противного следующим образом. имеет функцию нормы , которая удовлетворяет , и тогда и только тогда, когда является единицей в . Прежде всего, , поскольку фактор-кольцо по модулю идеала изоморфно , так что фактор-кольцо по модулю изоморфно . Если бы J был порожден элементом x из R , то x делил бы и 2 , и 1 + √ −5 . Тогда норма делила бы и , поэтому N (x) делило бы 2. Если то является единицей и , противоречие. Но не может быть и 2 , потому что R не имеет элементов нормы 2 , потому что диофантово уравнение не имеет решений в целых числах, как и не имеет решений по модулю 5 .
Также вычисляется, что J 2 = (2), что является главным, поэтому класс J в идеальной группе классов имеет порядок два. Демонстрация того, что других идеальных классов нет, требует больше усилий.
Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем, что элемент 6 имеет два различных разложения на неприводимые множители :
Теория полей классов — это раздел алгебраической теории чисел , который стремится классифицировать все абелевы расширения заданного алгебраического числового поля, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа . Особенно красивый пример можно найти в поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле классов Гильберта L числового поля K уникально и обладает следующими свойствами:
Ни одно из этих свойств не так-то просто доказать.
