Целое число Эйзенштейна

В математике целые числа Эйзенштейна ( названные в честь Готхольда Эйзенштейна ), иногда также известные ^[1] как целые числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера ), представляют собой комплексные числа вида

z=a+b\омега ,

где $a$ и $b$ — целые числа и

\omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}

является примитивным (следовательно, недействительным) кубическим корнем из единицы .

Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна представляют собой счетное бесконечное множество .

Характеристики

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо целых алгебраических чисел в алгебраическом числовом поле $Q (ω)$ – третьем циклотомическом поле . Чтобы увидеть, что целые числа Эйзенштейна являются алгебраическими целыми числами, заметим, что каждое $z = a + bω$ является корнем монического многочлена

z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.

В частности, $ω$ удовлетворяет уравнению

\omega ^{2}+\omega +1=0~.

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна $a + bω$ и $c + dω$ задается явно как

(a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.

2-норма целого числа Эйзенштейна — это просто его квадрат модуля , и она определяется как

{\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,

что, очевидно, является положительным обыкновенным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексное сопряжение $ω$ удовлетворяет условию

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическую группу, образованную корнями шестой степени из единицы в комплексной плоскости: ${\pm1, \pm ω, \pm ω 2}$ , целыми числами Эйзенштейна нормы $1$ .

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область, норма $N$ которой задается квадратным модулем, как указано выше:

N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.

Алгоритм деления , примененный к любому делимому $α$ и делителю $β \neq 0$ , дает частное $κ$ и остаток $ρ,$ меньшие делителя, удовлетворяющие условию:

\alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).

Здесь $α$ , $β$ , $κ$ , $ρ$ — все целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Один из алгоритмов деления выглядит следующим образом. Сначала выполняем деление в поле комплексных чисел и записываем частное через $ω$ :

{\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,

для рациональных $a, b \in Q.$ Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округлив рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

\kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ and }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .

Здесь может обозначаться любая из стандартных функций округления до целого числа. $\lfloor x\rceil$

Причина, по которой это удовлетворяет $N (ρ) < N (β)$ , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целых колец, заключается в следующем. Фундаментальная область для идеала $Z [ω] β = Z β + Z ωβ$ , действующего посредством переносов на комплексной плоскости, — это ромб 60°–120° с вершинами $0$ , $β$ , $ωβ$ , $β + ωβ$ . Любое целое число Эйзенштейна $α$ лежит внутри одного из переносов этого параллелограмма, а частное $κ$ является одной из его вершин. Остаток — это квадрат расстояния от $α$ до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме равно только , поэтому . (Размер $ρ$ можно немного уменьшить, взяв $κ$ в качестве ближайшего угла.) ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |$ $|\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |$

Эйзенштейн простые числа

Малые простые числа Эйзенштейна. Те, что на зеленых осях, связаны с натуральным простым числом вида $3 n + 2$ . Все остальные имеют абсолютное значение, равное 3 или квадратному корню натурального простого числа вида $3 n + 1$ .

Если $x$ и $y$ — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что $x$ делит $y$ , если существует некоторое целое число Эйзенштейна $z,$ такое что $y = zx$ . Неединичное целое число Эйзенштейна $x$ называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид $ux$ , где $u$ — любая из шести единиц. Они являются соответствующим понятием для простых чисел Гаусса в целых числах Гаусса.

Существует два типа простых чисел Эйзенштейна.

обычное простое число (или рациональное простое число ), которое сравнимо с $2 по модулю 3,$ также является простым числом Эйзенштейна.
$3$ и каждое рациональное простое число, сравнимое с $1 mod 3$ , равны норме $x 2 - xy + y 2$ целого числа Эйзенштейна $x + ωy$ . Таким образом, такое простое число может быть разложено на множители как $(x + ωy)(x + ω 2 y)$ , и эти множители являются простыми числами Эйзенштейна: они являются в точности целыми числами Эйзенштейна, норма которых является рациональным простым числом.

Во втором типе множители $3$ , и являются ассоциированными : , поэтому в некоторых книгах он рассматривается как особый тип. ^[2]^[3] $1-\omega$ $1-\omega ^{2}$ $1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})$

Первые несколько простых чисел Эйзенштейна вида $3 n - 1$ :

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (последовательность A003627 в OEIS ).

Натуральные простые числа, сравнимые с $0$ или $1$ по модулю $3,$ не являются простыми числами Эйзенштейна: ^[4] они допускают нетривиальные факторизации в $Z [ω]$ . Например:

3 = -(1 + 2 ω) 2

7 = (3 + ω)(2 - ω)

В общем случае, если натуральное простое число $p$ равно $1$ по модулю $3$ и, следовательно, может быть записано как $p = a 2 - ab + b 2$ , то оно факторизуется над $Z [ω]$ следующим образом:

п знак равно (а + бω)((а - б) - бω)

Некоторые нереальные простые числа Эйзенштейна

2 + ω

3 + ω

4 + ω

5 + 2 ω

6 + ω

7 + ω

7 + 3 ω

С точностью до сопряженности и единичных кратностей перечисленные выше простые числа вместе с числами $2$ и $5$ являются простыми числами Эйзенштейна, абсолютная величина которых не превышает $7$ .

По состоянию на октябрь 2023 года ^[update]наибольшее известное действительное простое число Эйзенштейна — десятое по величине известное простое число $10223 \times 2 31172165 + 1$ , открытое Петером Сабольчем и PrimeGrid . ^[5] За одним исключением ^{[ необходимо разъяснение ]} все большие известные простые числа являются простыми числами Мерсенна , открытыми GIMPS . Действительные простые числа Эйзенштейна сравнимы с $2 mod 3$ , а все простые числа Мерсенна, большие $3,$ сравнимы с $1 mod 3$ ; таким образом, ни одно простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Серия Эйзенштейна

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением $0,$ возведенных в четвертую степень, равна $0$ : ^[6] поэтому является корнем j-инвариантного . В общем случае тогда и только тогда, когда . ^[7] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $e^{2\pi i/3}$ $G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0$ $k\not \equiv 0{\pmod {6}}$

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением $0,$ возведенных в шестую степень, может быть выражена через гамма-функцию : где $E$ — целые числа Эйзенштейна, а $G$ $6$ — ряд Эйзенштейна веса 6. ^[8] $\sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}$

Частное отСцелыми числами Эйзенштейна

Фактор комплексной плоскости $C$ по решетке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности $2.$ Это один из двух торов с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. ^[^{необходима цитата}^] Этот тор может быть получен путем идентификации каждой из трех пар противоположных ребер правильного шестиугольника.

Другой максимально симметричный тор является отношением комплексной плоскости к аддитивной решетке гауссовых целых чисел и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, например, $[0, 1] \times [0, 1]$ .

Смотрите также

Примечания

^ Оба Сурани, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73.и Салай, Михай (1991). Самельмелет . Танкёнивкиадо. п. 75.называют эти числа «Euler-egészek», то есть эйлеровыми целыми числами. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Целое число Эйзенштейна». Математический мир .
^ Кокс, Дэвид А. (1997-05-08). Простые числа вида x2+ny2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение (PDF) . Wiley. стр. 77. ISBN 0-471-19079-9.
^ " X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} приводимо в F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} тогда и только тогда, когда p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} ".
^ "Самые большие известные простые числа". The Prime Pages . Получено 27.02.2023 .
^ «Каковы нули j-функции?».
^ "Покажите, что G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} , и G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} , ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} ".
^ "Запись 0fda1b – Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire". fungrim.org . Получено 22.06.2023 .

Внешние ссылки

Целое число Эйзенштейна — из MathWorld