В 1949 году Чарльз Левнер доказал, что каждая метрика на 2- торе удовлетворяет оптимальному неравенству
где «sys» — его систола , т.е. наименьшая длина несжимаемой петли. Константа, появляющаяся в правой части, представляет собой константу Эрмита в размерности 2, так что неравенство тора Лёвнера можно переписать как
Неравенство впервые упоминается в литературе Пу (1952).
Случай равенства
Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т. е. тору, группа преобразований колоды которого представляет собой в точности шестиугольную решетку, натянутую кубическими корнями из единицы в .
Альтернативная формулировка
Учитывая двоякопериодическую метрику на (например, вложение, в которое инвариантно изометрическое действие), существует ненулевой элемент и точка такая, что , где - фундаментальная область действия, а - риманово расстояние, а именно наименьшая длина путь, соединяющий и .
Доказательство неравенства тора Лёвнера.
Неравенство тора Левнера проще всего доказать, используя вычислительную формулу для дисперсии:
А именно, формула применяется к вероятностной мере , определяемой мерой единицы площади плоского тора в конформном классе данного тора. В качестве случайной величины X берется конформный множитель данной метрики относительно плоской. Тогда ожидаемое значение E( X 2 ) X 2 выражает общую площадь данной метрики. Между тем, ожидаемое значение E( X ) X можно связать с систолой, используя теорему Фубини . Тогда дисперсию X можно рассматривать как изосистолический дефект, аналогичный изопериметрическому дефекту неравенства Боннесена . Таким образом, этот подход дает следующую версию неравенства тора Левнера с изосистолическим дефектом:
где ƒ — конформный коэффициент метрики по отношению к плоской метрике единицы площади в ее конформном классе.
Горовиц, Чарльз; Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2009). «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом». Журнал геометрического анализа . 19 (4): 796–808. arXiv : 0803.0690 . doi : 10.1007/s12220-009-9090-y. MR 2538936. S2CID 18444111.
Кац, Михаил Георгиевич (2007). Систолическая геометрия и топология . Математические обзоры и монографии. Том. 137. С приложением Дж. Соломона. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. МР 2292367.
Кац, Михаил Георгиевич; Сабуро, Стефан (2005). «Энтропия систолически экстремальных поверхностей и асимптотические границы». Эргодическая теория Динам. Системы . 25 (4): 1209–1220. arXiv : math.DG/0410312 . дои : 10.1017/S0143385704001014. MR 2158402. S2CID 11631690.
Кац, Михаил Георгиевич; Сабуро, Стефан (2006). «Гиперэллиптические поверхности Левнера». Учеб. амер. Математика. Соц. 134 (4): 1189–1195. arXiv : math.DG/0407009 . doi : 10.1090/S0002-9939-05-08057-3. MR 2196056. S2CID 15437153.
Пу, Пао Мин (1952). «Некоторые неравенства в некоторых неориентируемых римановых многообразиях». Пасифик Дж. Математика. 2 (1): 55–71. дои : 10.2140/pjm.1952.2.55 . МР 0048886.