Неравенство Боннесена

Связывает длину, площадь и радиус вписанной и описанной окружностей жордановой кривой.

Неравенство Боннесена — это неравенство, связывающее длину, площадь, радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности жордановой кривой . Это усиление классического изопериметрического неравенства . ^[1]

Точнее, рассмотрим плоскую простую замкнутую кривую длины, ограничивающую область площади . Пусть и обозначают радиусы вписанной и описанной окружностей. Боннесен доказал неравенство ^[2] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.}$$

Член в правой части известен как изопериметрический дефект . ^[1] ${\displaystyle L^{2}-4\pi A}$

Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом является систолическим аналогом неравенства Боннесена. ^[3]

Ссылки

1. Бураго, Ю. Д .; Залгаллер, В.А. (1988), «1.3: Неравенство Боннесена и его аналоги», Геометрические неравенства , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 285, перевод А.Б. Сосинского, Берлин: Springer-Verlag, стр. 3–4, doi : 10.1007/978-3-662-07441-1, ISBN 3-540-13615-0, MR  0936419, Zbl  0633.53002
2. Боннесен, Т. (1921), «Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d'une inégalité de Minkowski», Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 172 : 1087 –1089, ЮФМ  48.0839.01
3. Горовиц, Чарльз; Усади Кац, Карин; Кац, Михаил Г. (2009), «Неравенство тора Лёвнера с изосистолическим дефектом», Журнал геометрического анализа , 19 (4): 796–808, arXiv : 0803.0690 , doi : 10.1007/s12220-009-9090-y, MR  2538936