Теория Галуа

Математическая связь между теорией поля и теорией групп

Решетчатая диаграмма Q примыкает к положительным квадратным корням из 2 и 3, ее подполям и группам Галуа.

В математике теория Галуа , первоначально представленная Эваристом Галуа , обеспечивает связь между теорией поля и теорией групп . Эта связь, основная теорема теории Галуа , позволяет свести некоторые проблемы теории поля к теории групп, что делает их более простыми и понятными.

Галуа ввел предмет изучения корней многочленов . Это позволило ему охарактеризовать полиномиальные уравнения , разрешимые радикалами , с точки зрения свойств группы перестановок их корней - уравнение разрешимо радикалами, если его корни могут быть выражены формулой, включающей только целые числа , корни n -й степени и четыре основных арифметических действия . Это широко обобщает теорему Абеля-Руффини , которая утверждает, что общий полином степени не ниже пяти не может быть решен радикалами.

Теория Галуа использовалась для решения классических проблем, в том числе для демонстрации того, что две проблемы древности не могут быть решены в том виде, в котором они были сформулированы ( удвоение куба и трисекция угла ), а также для определения характеристик правильных многоугольников , которые можно построить (эта характеристика была ранее дана Гауссом , но без доказательства полноты списка конструктивных многочленов (все известные доказательства полноты этой характеристики требуют теории Галуа).

Работа Галуа была опубликована Жозефом Лиувиллем через четырнадцать лет после его смерти. Теории потребовалось больше времени, чтобы стать популярной среди математиков и быть хорошо понятой.

Теория Галуа была обобщена на связи Галуа и теорию Галуа Гротендика .

Приложение к классическим задачам

Зарождение и развитие теории Галуа было вызвано следующим вопросом, который был одним из главных открытых математических вопросов до начала XIX века:

Существует ли формула корней полиномиального уравнения пятой (или выше) степени через коэффициенты многочлена, используя только обычные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и применение радикалов (квадратные корни, кубические корни и т. д.)?

Теорема Абеля – Руффини дает контрпример, доказывающий, что существуют полиномиальные уравнения, для которых такая формула не может существовать. Теория Галуа дает гораздо более полный ответ на этот вопрос, объясняя, почему можно решить некоторые уравнения, в том числе все уравнения четвертой степени или ниже, указанным выше способом и почему это невозможно для большинства уравнений пятой степени. или выше. Более того, он предоставляет средства определения возможности решения конкретного уравнения, которые концептуально ясны и легко выражаются в виде алгоритма .

Теория Галуа также дает четкое представление о вопросах, касающихся построения циркуля и линейки . Он дает элегантную характеристику отношений длин, которые можно построить с помощью этого метода. Используя это, становится относительно легко ответить на такие классические задачи геометрии , как

1. Какие правильные многоугольники можно построить ? ^[1]
2. Почему невозможно разделить каждый угол на три части с помощью циркуля и линейки ? ^[1]
3. Почему невозможно удвоить куб тем же методом?

История

Предыстория

Теория Галуа возникла при изучении симметричных функций - коэффициенты монического многочлена представляют собой ( с точностью до знака) элементарные симметричные многочлены в корнях. Например, ( x – a )( x – b ) = x ² – ( a + b ) x + ab , где 1, a + b и ab — элементарные многочлены степени 0, 1 и 2 от двух переменных.

Впервые это было формализовано французским математиком XVI века Франсуа Вьетом в формулах Вьета для случая положительных действительных корней. По мнению британского математика 18 века Чарльза Хаттона , ^[2] выражение коэффициентов многочлена через корни (не только для положительных корней) впервые понял французский математик 17 века Альберт Жирар ; Хаттон пишет:

...[Жирар был] первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

В этом смысле дискриминант представляет собой симметричную функцию относительно корней, отражающую свойства корней: он равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень, а для квадратичных и кубических многочленов он положителен тогда и только тогда, когда все корни действительный, различный и отрицательный тогда и только тогда, когда существует пара различных комплексно-сопряженных корней. Подробности см. в разделе «Дискриминант: природа корней» .

Кубика была впервые частично решена итальянским математиком 15–16 веков Сципионе дель Ферро , который, однако, не опубликовал свои результаты; однако этот метод позволил решить только один тип кубического уравнения. Затем это решение было открыто заново независимо в 1535 году Никколо Фонтана Тарталья , который поделился им с Джероламо Кардано , попросив его не публиковать его. Затем Кардано распространил это на множество других случаев, используя аналогичные аргументы; более подробную информацию см. в методе Кардано . После открытия работы дель Ферро он почувствовал, что метод Тартальи больше не является секретом, и поэтому опубликовал свое решение в своей книге Ars Magna 1545 года . ^[3] Его ученик Лодовико Феррари решил полином четвертой степени; его решение также было включено в Ars Magna. Однако в этой книге Кардано не представил «общей формулы» решения кубического уравнения, поскольку в его распоряжении не было ни комплексных чисел , ни алгебраических обозначений, позволяющих описать общее кубическое уравнение. Благодаря современным обозначениям и комплексным числам формулы в этой книге действительно работают в общем случае, но Кардано этого не знал. Именно Рафаэлю Бомбелли удалось понять, как работать с комплексными числами, чтобы решать все формы кубических уравнений.

Следующим шагом стала статья 1770 года «Reflexions sur la resolution algébrique des équations», написанная французско-итальянским математиком Жозефом Луи Лагранжем в его методе резольвент Лагранжа , где он проанализировал решения Кардано и Феррари кубик и квартик, рассматривая их с точки зрения перестановок корни, которые дали вспомогательный полином меньшей степени, обеспечив единое понимание решений и заложив основу теории групп и теории Галуа. Однако важно отметить, что он не рассматривал состав перестановок. Метод Лагранжа не распространялся на уравнения пятой степени или выше, поскольку резольвента имела более высокую степень.

Отсутствие общих решений у квинтики было почти доказано Паоло Руффини в 1799 году, ключевой идеей которого было использование групп перестановок , а не только одной перестановки. Его решение содержало пробел, который Коши считал незначительным, хотя он не был исправлен до работы норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , который опубликовал доказательство в 1824 году, установив тем самым теорему Абеля-Руффини .

Хотя Руффини и Абель установили, что общая квинтика не может быть решена, некоторые конкретные квинтики могут быть решены, такие как x ⁵ - 1 = 0 , и точный критерий, по которому можно определить, является ли данная квинтика или более высокий многочлен разрешимой или нет. было дано Эваристом Галуа , который показал, что вопрос о том, разрешим полином или нет, эквивалентен тому, имеет ли группа перестановок его корней (в современных терминах, его группа Галуа ) определенную структуру (в современных терминах, независимо от того, имеет ли она или нет). была разрешимой группой . Эта группа всегда была разрешима для многочленов четвертой или меньшей степени, но не всегда разрешима для многочленов пятой степени и выше, что объясняет, почему не существует общего решения в более высоких степенях.

сочинения Галуа

Портрет Эвариста Галуа, около 15 лет.

В 1830 г. Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуары о своей теории разрешимости в радикалах; Статья Галуа была в конечном итоге отклонена в 1831 году как слишком схематичная и за то, что в качестве условия использовались корни уравнения, а не его коэффициенты. Затем Галуа погиб на дуэли в 1832 году, и его статья « Мемуар об условиях растворимости радикальных уравнений » оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем , сопровождаемым некоторыми из его собственных объяснений. ^[4] Перед этой публикацией Лиувилль объявил о результатах Галуа Академии в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. ^[5] По словам Аллана Кларка, характеристика Галуа «резко заменяет работы Абеля и Руффини». ^[6]

Последствия

Теория Галуа была общеизвестно трудной для понимания его современниками, особенно до того уровня, на котором они могли ее расширить. Например, в своем комментарии 1846 года Лиувилль полностью упустил теоретико-групповую суть метода Галуа. ^[7] Жозеф Альфред Серре , который присутствовал на некоторых беседах Лиувилля, включил теорию Галуа в свой учебник 1866 года (третье издание) Cours d'algèbre superieure . Ученик Серре, Камиль Жордан , имел еще лучшее понимание, отраженное в его книге 1870 года « Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» . За пределами Франции теория Галуа долгое время оставалась более неясной. В Британии Кэли не смог понять ее глубину, а популярные британские учебники по алгебре даже не упоминали теорию Галуа вплоть до начала века. В Германии работы Кронекера больше фокусировались на результате Абеля. Дедекинд мало писал о теории Галуа, но читал по ней лекции в Геттингене в 1858 году, проявив очень хорошее понимание. ^{[8] Книги} Ойгена Нетто 1880-х годов, основанные на «Трактате » Джордана , сделали теорию Галуа доступной для более широкой немецкой и американской аудитории, как это сделал учебник алгебры Генриха Мартина Вебера 1895 года. ^[9]

Подход группы перестановок

Для полинома некоторые корни могут быть связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может оказаться, что для двух корней, скажем A и B , A ² + 5 B ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в том, чтобы рассмотреть такие перестановки (или перестановки) корней, что любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, все еще удовлетворяется после перестановки корней. Первоначально теория была разработана для алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются рациональные числа . Оно естественным образом распространяется на уравнения с коэффициентами в любом поле , но в простых примерах ниже это рассматриваться не будет.

Эти перестановки вместе образуют группу перестановок , также называемую группой Галуа полинома, которая подробно описана в следующих примерах.

Квадратное уравнение

Рассмотрим квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

Используя квадратичную формулу , мы находим, что два корня равны

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Примеры алгебраических уравнений, которым удовлетворяют A и B , включают:

${\displaystyle A+B=4,}$

и

${\displaystyle AB=1.}$

Если мы поменяем местами A и B в любом из последних двух уравнений, мы получим еще одно верное утверждение. Например, уравнение A + B = 4 становится B + A = 4 . В более общем смысле это верно для любого возможного алгебраического отношения между A и B , такого, что все коэффициенты рациональны ; то есть в любом таком отношении замена A и B дает другое истинное отношение. Это следует из теории симметричных многочленов , которая в этом случае может быть заменена манипуляциями с формулами, включающими биномиальную теорему .

Можно возразить, что A и B связаны алгебраическим уравнением A − B − 2 √ 3 = 0 , которое не остается верным, когда A и B меняются местами. Однако здесь это соотношение не рассматривается, поскольку оно имеет коэффициент −2 √ 3 , который не является рациональным .

Мы заключаем, что группа Галуа многочлена x ² − 4 x + 1 состоит из двух перестановок: тождественной перестановки, которая оставляет A и B нетронутыми, и транспозиционной перестановки, которая меняет местами A и B . Поскольку все группы с двумя элементами изоморфны , эта группа Галуа изоморфна мультипликативной группе {1, −1} .

Аналогичное обсуждение применимо к любому квадратичному многочлену ax ² + bx + c , где a , b и c — рациональные числа.

• Если многочлен имеет рациональные корни, например x ² - 4 x + 4 = ( x - 2) ² или x ² - 3 x + 2 = ( x - 2)( x - 1) , то группа Галуа тривиальна. ; то есть он содержит только тождественную перестановку. В этом примере, если A = 2 и B = 1 , то A − B = 1 больше не соответствует действительности, когда A и B меняются местами.
• Если она имеет два иррациональных корня, например x ² − 2 , то группа Галуа содержит две перестановки, как и в приведенном выше примере.

Уравнение четвертой степени

Рассмотрим полином

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

что также можно записать как

${\displaystyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24.}$

Мы хотим описать группу Галуа этого многочлена, опять же над полем рациональных чисел . Многочлен имеет четыре корня:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Существует 24 возможных способа перестановки этих четырех корней, но не все эти перестановки являются членами группы Галуа. Члены группы Галуа должны сохранять любое алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами, включающими A , B , C и D.

Среди этих уравнений мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что если φ — перестановка, принадлежащая группе Галуа, мы должны иметь:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}}$

Это означает, что перестановка четко определяется образом A и что группа Галуа имеет 4 элемента, а именно:

( А , B , C , D ) → ( А , B , C , D )

( А , B , C , D ) → ( B , А , D , C )

( А , B , C , D ) → ( C , D , А , B )

( А , B , C , D ) → ( D , C , B , А )

Отсюда следует, что группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна .

Современный подход теории поля

В современном подходе мы начинаем с расширения поля L / K (читай « L над K » ) и исследуем группу автоморфизмов L , которые фиксируют K. Дополнительные объяснения и примеры см. в статье о группах Галуа .

Связь между двумя подходами заключается в следующем. Коэффициенты рассматриваемого многочлена следует выбирать из базового поля K. Верхним полем L должно быть поле, полученное присоединением корней рассматриваемого многочлена к базовому полю K. Любая перестановка корней, которая соответствует алгебраическим уравнениям, описанным выше, приводит к автоморфизму L / K и наоборот.

В первом примере выше мы изучали расширение Q ( √ 3 )/ Q , где Q — поле рациональных чисел , а Q ( √ 3 ) — поле, полученное из Q путем присоединения √ 3 . Во втором примере мы изучали расширение Q ( A , B , C , D )/ Q .

У современного подхода есть несколько преимуществ перед подходом группы перестановок.

• Это позволяет гораздо более просто сформулировать фундаментальную теорему теории Галуа .
• Использование базовых полей, отличных от Q , имеет решающее значение во многих областях математики. Например, в теории алгебраических чисел часто применяют теорию Галуа, используя числовые поля , конечные поля или локальные поля в качестве базового поля.
• Это позволяет легче изучать бесконечные расширения. Опять же, это важно в теории алгебраических чисел, где, например, часто обсуждается абсолютная группа Галуа группы Q , определяемая как группа Галуа группы K / Q , где K — алгебраическое замыкание группы Q.
• Это позволяет учитывать неотделимые расширения . Этот вопрос не возникает в классической системе, поскольку всегда неявно предполагалось, что арифметика имеет место в нулевой характеристике , но ненулевая характеристика часто возникает в теории чисел и в алгебраической геометрии .
• Это устраняет довольно искусственную зависимость от поиска корней многочленов. То есть разные полиномы могут давать одни и те же поля расширения, и современный подход признает связь между этими полиномами.

Разрешимые группы и решение радикалами

Понятие разрешимой группы в теории групп позволяет определить, разрешим ли многочлен в радикалах в зависимости от того, обладает ли его группа Галуа свойством разрешимости. По сути, каждое расширение поля L / K соответствует фактор-группе в композиционном ряду группы Галуа. Если фактор-группа в композиционном ряду циклическая порядка n , и если в соответствующем расширении поля L / K поле K уже содержит примитивный корень n- й степени из единицы , то это радикальное расширение и элементы L могут тогда быть выражено с использованием корня n- й степени из некоторого элемента K .

Если все фактор-группы в ее композиционном ряду циклические, группа Галуа называется разрешимой , и все элементы соответствующего поля можно найти, многократно извлекая корни, произведения и суммы элементов из основного поля (обычно Q ). .

Одним из величайших триумфов теории Галуа было доказательство того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , неразрешимые в радикалах (это было независимо, с использованием аналогичного метода, доказано Нильсом Хенриком Абелем несколькими годами ранее, и является теоремой Абеля-Руффини ), а также систематическим способом проверки того, разрешим ли конкретный полином в радикалах. Теорема Абеля-Руффини следует из того факта, что для _n > 4 симметрическая группа Sn содержит простую нециклическую нормальную подгруппу , а именно _{знакопеременную} группу An .

Неразрешимый пример квинтики

Для многочлена f ( x ) = x ⁵ − x − 1 единственный вещественный корень x = 1,1673... является алгебраическим, но не выражается через радикалы. Остальные четыре корня являются комплексными числами .

Ван дер Варден ^[10] приводит полином f ( x ) = x ⁵ − x − 1 .

По теореме о рациональном корне это не имеет рациональных нулей.

Он также не имеет линейных коэффициентов по модулю 2 или 3.

Группа Галуа f ( x ) по модулю 2 является циклической порядка 6, потому что f ( x ) по модулю 2 факторизуется в полиномы порядков 2 и 3, ( x ² + x + 1)( x ³ + x ² + 1) .

f ( x ) по модулю 3 не имеет ни линейного, ни квадратичного множителя и, следовательно, неприводим. Таким образом, ее группа Галуа по модулю 3 содержит элемент порядка 5.

Известно ^[11] , что группа Галуа по простому модулю изоморфна подгруппе группы Галуа над рациональными числами. Группа перестановок на 5 объектах с элементами порядков 6 и 5 должна быть симметричной группой S5 , которая, следовательно _, является группой Галуа функции f ( x ) .

Это один из простейших примеров неразрешимого многочлена пятой степени. По словам Сержа Ланга , Эмилю Артину понравился этот пример. ^[12]

Обратная задача Галуа

Обратная задача Галуа состоит в нахождении расширения поля с заданной группой Галуа.

Пока не указано также основное поле , проблема не очень сложна, и все конечные группы действительно встречаются как группы Галуа. Чтобы показать это, можно поступить следующим образом. Выберите поле K и конечную группу G. Теорема Кэли утверждает, что G является (с точностью до изоморфизма) подгруппой симметрической группы S на элементах G . Выберите неопределённые { x _α } , по одному для каждого элемента α группы G , и присоедините их к K , чтобы получить поле F = K ({ x _α }) . Внутри F содержится поле L симметричных рациональных функций в { x _α } . Группа Галуа F / L равна S , согласно основному результату Эмиля Артина. G действует на F ограничением действия S . Если фиксированным полем этого действия является M , то по фундаментальной теореме теории Галуа группа Галуа F / M есть G.

С другой стороны, остается открытым вопрос, является ли каждая конечная группа группой Галуа расширения поля Q рациональных чисел. Игорь Шафаревич доказал, что каждая разрешимая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения Q . Различные люди решили обратную задачу Галуа для выбранных неабелевых простых групп . Существование решений было показано для всех, кроме, возможно, одной ( группы Матье M ₂₃ ) из 26 спорадических простых групп. Существует даже многочлен с целыми коэффициентами, группа Галуа которого является группой Монстра .

Неотделимые расширения

В упомянутой выше форме, включая, в частности, фундаментальную теорему теории Галуа , теория рассматривает только расширения Галуа, которые, в частности, являются сепарабельными. Общие расширения полей можно разделить на отделимые, за которыми следует чисто неотделимые расширения полей . Для чисто неразделимого расширения F / K существует теория Галуа , в которой группа Галуа заменяется векторным пространством дифференцирований , , т. е. K - линейными эндоморфизмами F , удовлетворяющими правилу Лейбница. В этом соответствии назначается промежуточное поле E. И наоборот, подпространство , удовлетворяющее соответствующим дополнительным условиям, отображается в . В предположении Джекобсон (1944) показал, что это устанавливает взаимно однозначное соответствие. Условие, наложенное Джейкобсоном, было удалено Брантнером и Уолдроном (2020), установив соответствие с использованием понятий производной алгебраической геометрии . ${\displaystyle Der_{K}(F,F)}$ ${\displaystyle Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)}$ ${\displaystyle V\subset Der_{K}(F,F)}$ ${\displaystyle \{x\in F,f(x)=0\ \forall f\in V\}}$ ${\displaystyle F^{p}\subset K}$

Смотрите также

• Группа Галуа для получения дополнительных примеров
• Основная теорема теории Галуа
• Дифференциальная теория Галуа для теории Галуа дифференциальных уравнений
• Теория Галуа Гротендика как обширное обобщение теории Галуа.
• Топологическая теория Галуа
• Теория Артина – Шрайера , подраздел теории Галуа.

Примечания

1. Стюарт, Ян (1989). Теория Галуа . Чепмен и Холл. ISBN 0-412-34550-1.
2. Фанкхаузер 1930
3. Кардано 1545 г.
4. Тиньоль, Жан-Пьер (2001). Теория алгебраических уравнений Галуа . Всемирная научная. стр. 232–3, 302. ISBN. 978-981-02-4541-2.
5. Стюарт, 3-е изд., стр. XXIII
6. Кларк, Аллан (1984) [1971]. Элементы абстрактной алгебры . Курьер. п. 131. ИСБН 978-0-486-14035-3.
7. Вуссинг, Ганс (2007). Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп . Курьер. п. 118. ИСБН 978-0-486-45868-7.
8. Шарлау, Винфрид; Дедекинд, Ильза; Дедекинд, Ричард (1981). Ричард Дедекинд 1831–1981; eine Würdigung zu seinem 150. Geburtstag (PDF) . Брауншвейг: Просмотрег. ISBN 9783528084981.
9. Галуа, Эварист; Нойманн, Питер М. (2011). Математические сочинения Эвариста Галуа . Европейское математическое общество. п. 10. ISBN 978-3-03719-104-0.
10. ван дер Варден, Современная алгебра (английское изд. 1949 г.), Vol. 1, статья 61, стр. 191
11. Прасолов, В.В. (2004). «5. Теорема 5.4.5 (а) теории Галуа». Полиномы . Алгоритмы и вычисления в математике. Том. 11. Спрингер. стр. 181–218. дои : 10.1007/978-3-642-03980-5_5. ISBN 978-3-642-03979-9.
12. Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел. Тексты для аспирантов по математике. Том. 110. Спрингер. п. 121. ИСБН 9780387942254.

Рекомендации

• Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Дувр. ISBN 0-486-62342-4.
• Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива . Студенческая математическая библиотека. Том. 35. Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. S2CID  118256821.
• Брантнер, Лукас; Уолдрон, Джо (2020), Чисто неотделимая теория Галуа I: Фундаментальная теорема , arXiv : 2010.15707
• Кардано, Джероламо (1545 г.). Artis Magnæ (PDF) (на латыни).
• Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90980-Х. (Оригинальная статья Галуа с обширной историей и комментариями.)
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткий обзор истории симметричных функций корней уравнений». Американский математический ежемесячник . 37 (7): 357–365. дои : 10.2307/2299273. JSTOR  2299273.
• «Теория Галуа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (1944), «Теория Галуа чисто неразделимых полей первой степени», Amer. Дж. Математика. , 66 (4): 645–648, номер документа : 10.2307/2371772, JSTOR  2371772.
• Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-1480-9. (Глава 4 представляет собой введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
• Джанелидзе, Г.; Борсо, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80309-0.(Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми ее обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94225-4.
• Постников, М.М. (2004). Основы теории Галуа . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43518-0.
• Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98541-7.
• Фёлкляйн, Хельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-56280-5.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Шпрингер.. Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Унгар. 1949 год. (Позже переиздано на английском языке издательством Springer под названием «Алгебра».)

Внешние ссылки

• Словарное определение теории Галуа в Викисловаре
• СМИ, связанные с теорией Галуа, на Викискладе?