Планигон

Convex polygon which can tile the plane by itself

Три правильных многоугольника , восемь планигонов, четыре полуправильных плоского треугольника и шесть непригодных для использования плоских треугольников, которые не могут участвовать в двойных однородных мозаиках; все в масштабе.

В геометрии планигон — это выпуклый многоугольник , который может заполнять плоскость только копиями самого себя ( изотопными фундаментальным единицам моноэдральных мозаик ). В евклидовой плоскости имеется 3 правильных плоскоугольника; равносторонний треугольник , квадраты и правильные шестиугольники ; и 8 полуправильных планигонов; и 4 полуправильных планигона, которые могут замостить плоскость только другими планигонами.

Все углы плоского треугольника являются целыми делителями 360°. Тайлинги образуются путем соединения ребер с ребрами биссектрисами ребер исходной однородной решетки или центроидами вдоль общих ребер (они совпадают).

Плитки, состоящие из планигонов, можно рассматривать как двойственные мозаики к правильным, полуправильным и полуправильным мозаикам плоскости правильными многоугольниками .

История

В книге 1987 года «Плитки и шаблоны » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми параллельно архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . ^{[1] [2]} Их также называют мозаиками Шубникова–Лавеса в честь Шубникова Алексея Васильевича. ^[3] Джон Конвей называет равномерные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. ^[4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 (или V4.8 ² ) означает плитки равнобедренных треугольников с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников.

Строительство

Операция Конвея по двойной перестановке граней и вершин. Как в архимедовых телах , так и в k -однородных мозаиках новая вершина совпадает с центром каждой правильной грани или центроидом . В евклидовом (плоском) случае; чтобы вокруг каждой исходной вершины образовались новые грани, центроиды должны быть соединены новыми ребрами, каждое из которых должно пересекать ровно одно из исходных ребер. Поскольку правильные многоугольники обладают двугранной симметрией , мы видим, что эти новые ребра центроид-центроид должны быть серединными перпендикулярами общих исходных ребер (например, центроид лежит на всех серединных перпендикулярах ребер правильного многоугольника). Таким образом, ребра k -дуальных однородных мозаик совпадают с отрезками от центроида до середины ребра всех правильных многоугольников в k -однородных мозаиках.

Использование додекаграммы 12-5 (вверху)

Все 14 однородных и пригодных для использования правильных плоскостей вершин также происходят ^[5] из додекаграммы 6-5 (где каждый сегмент представляет собой радианы, или 150 градусов). ${\displaystyle 5\pi /6}$

Окружность этой додекаграммы показывает, что все 14 VRP являются коциклическими , что альтернативно показано упаковками кругов . Отношение вписанной окружности к описанной:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.258819}$

а выпуклая оболочка — это в точности правильные двенадцатиугольники в k-равномерном замощении . Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и правильный двенадцатиугольник; показаны выше с VRP.

Фактически, из ребер полиграммы можно построить любую группу планигонов , где и — количество сторон сторон в РП, прилегающих к каждой задействованной вершинной фигуре. Это связано с тем, что радиус описанной окружности любого правильного -угольника (от вершины до центроида) равен расстоянию от центра полиграммы до ее отрезков, пересекающихся под углом , поскольку все полиграммы допускают вписанные окружности с вписанными в нее радиусами, касающимися всех его стороны. ${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$ ${\displaystyle k=\gcd(n_{1},\dots ,n_{m})}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n_{i}}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 2\pi /n_{i}}$ ${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

Обычные вершины

В книге «Плитки и узоры» Грюнбаум также построил мозаику Лавеса, используя одногранные плитки с правильными вершинами . Вершина называется правильной, если все выходящие из нее углы равны. Другими словами: ^[1]

1. Все вершины правильные,
2. Все планигоны Лавеса конгруэнтны.

Таким образом, все мозаики Лавеса уникальны, за исключением квадратной мозаики (1 степень свободы), пятиугольной мозаики сарая (1 степень свободы) и шестиугольной мозаики (2 степени свободы):

При применении к более высоким двойным однородным мозаикам все двойные сердцевинные планигоны могут быть искажены, за исключением треугольников ( сходство AAA ), примеры ниже:

Сквозная переписка

Альтернативно, k -двойственные однородные мозаики (и все 21 планигон) могут быть построены путем формирования новых отрезков средней точки исходных правильных многоугольников с ребром центроида (разделение правильных n -угольников на n конгруэнтных дельтоидов или орто ), а затем удаление исходных края (оставляя двойственный ). Полные планигоны сформируются вокруг внутренних вершин, а отрезки прямых (многих возможных) планигонов сформируются вокруг граничных вершин, образуя ребро k -двойственную однородную решетку 1 к 1. С другой стороны, соединение центроид-центроид дает только внутренние плоскости, но эта конструкция, тем не менее, эквивалентна оригиналу внутри. Если k -однородная мозаика заполняет весь кадр, то также будет и k -двойная равномерная мозаика, а сегменты граничных линий можно игнорировать (эквивалентно исходной конструкции).

Аффинное линейное разложение

Начиная с правильных многоугольников k-равномерной мозаики, мы можем масштабировать все правильные многоугольники вокруг их центроидов с линейным коэффициентом и помещать планигоны в промежутки между вершинами и фигурами масштаба . Исходное замощение начинается с x = 0 и заканчивается двойным замощением (x = 1).[1] Это верно, потому что радиусы описанных правильных многоугольников такие же, как диагонали от центров плоскостей до их ко-вершин, как мы могли видеть в приведенной выше конструкции (или применив kis -оператор как к равномерному, так и к двойственному добавляет ту же решетку соединений [2]). Следовательно, масштабирование правильных многоугольников с помощью дает пропорциональные плоскости в промежутках между вершинами и фигурами. Промежуточные этапы эквивалентны расширению (следовательно, расширению), а объединение всех диадно - аффинных линейных расширений мозаики замкнуто при расширении (содержит все расширения ).[3] Пример показан ниже: ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle 1-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x}$ ${\displaystyle x}$

Вывод всех возможных планигонов

Для евклидовых мозаик от края до края внутренние углы выпуклых многоугольников, встречающихся в вершинах, должны составлять в сумме 360 градусов. Правильный n -угольник имеет внутренний угол в градусах. Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых составляет 360 градусов, каждая из которых называется разновидностью вершины ; в четырех случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, что дает двадцать один тип вершин. ${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }}$

Фактически, по вершинным (внутренним) углам мы можем найти все комбинации допустимых угловых углов по следующим правилам: ${\displaystyle 60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots }$

1. Каждая вершина имеет как минимум степень 3 (вершина степени 2 должна иметь два прямых угла или один рефлекторный угол);
2. Если вершина имеет степень , сумма углов вершины наименьшего многоугольника будет больше ; ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$
3. Углы вершин добавляются к , и должны быть углами правильных многоугольников с положительными целыми сторонами (последовательности ). ${\displaystyle 360^{\circ }}$ ${\displaystyle 60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots }$

Использование правил генерирует список ниже:

Группы планигонов, которые не могут замостить плоскость. Обратите внимание, что 8-кластер V3.8.24 и 10-кластер V3.10.15 подразумевают перекрытие для 24- и 15-угольников соответственно. Кроме того, V4.5.20 и V5 ^2.10 могут создавать линии и кривые, но их невозможно выполнить без перекрытия.

* Не может сосуществовать с другими типами вершин. ${\displaystyle 90^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }~(\times 1)}$

Решение задачи 9.46 «Геометрия» (Рущик), ^[6] находится в столбце «Вершины степени 3» выше. Треугольник с десятиугольником (11 угольников) дает 13,2 угольника, квадрат с семиугольником (7 угольников) дает 9,3333 угольника, а пятиугольник с шестиугольником дает 7,5 угольника). Следовательно, существуют комбинации правильных многоугольников, пересекающихся в вершине. ${\displaystyle 1(1)+(1(2)+1)+(3(2)+1)+10=21}$

Планигоны в самолете

Только одиннадцать из этих комбинаций углов могут встречаться в мозаике Лавеса из планигонов.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один из них имеет нечетное число сторон, два других многоугольника должны быть одинаковыми. В противном случае им пришлось бы чередоваться вокруг первого многоугольника, что невозможно, если число сторон у него нечетное. В соответствии с этим ограничением эти шесть не могут появляться ни в одном мозаике правильных многоугольников:

Шесть планигонов, которые не могут замостить плоскость.

С другой стороны, эти четыре можно использовать в k -дуально-однородных мозаиках:

Для каждого планигона V3 ² .4.12, V3.4.3.12, V3 ² .6 ² , V3.4 ² .6 имеется по одному полурегулярному двойнику . И все четырехугольники могут замостить плоскость .

Наконец, если предположить, что длина стороны равна единице, все правильные многоугольники и пригодные для использования планигоны имеют длины сторон и площади, как показано ниже в таблице:

Количество двойных однородных плиток

Каждая двойственная равномерная мозаика находится в соответствии 1:1 с соответствующей равномерной мозаикой благодаря построению вышеприведенных планогонов и наложению.

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует k орбит планигонов, замощение называется k -дуально-равномерным или k -изоэдральным; если существует t орбит двойственных вершин, то t -изогональна; если существует e орбит ребер, то e -изотоксал.

k -дуально-однородные мозаики с одинаковыми гранями вершин можно дополнительно идентифицировать по симметрии группы обоев , которая идентична симметрии соответствующей k -однородной мозаики.

1-двойственно-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 мозаик Лавеса с 2 или более типами вершин правильной степени. Имеется 20 2-дуальнооднородных замощений, 61 3-дуальнооднородных замощений, 151 4-дуальнооднородных замощений, 332 5-дуальнооднородных замощений и 673 6-дуальнооднородных замощений. Каждый из них может быть сгруппирован по числу m различных фигур вершин, которые также называются m -архимедовыми мозаиками. ^[8]

Наконец, если количество типов планигонов такое же, как и однородность ( m = k ниже), то мозаика называется двойственной Кротенхердта . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы планигонов обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Полагая m = n = k , существует 11 таких двойственных мозаик для n = 1; 20 таких двойственных мозаик для n = 2; 39 таких двойственных мозаик для n = 3; 33 таких двойственных мозаики для n = 4; 15 таких двойственных мозаик для n = 5; 10 таких двойственных мозаик для n = 6; и 7 таких двойственных мозаик для n = 7.

Регулярные мозаики и мозаики Лавеса

Показаны 3 правильных и 8 полуправильных мозаик Лавеса с планигонами, раскрашенными в зависимости от площади, как при построении:

Высшие двойные равномерные мозаики

Вставки двойственных планигонов в вершины более высоких степеней

Люк в Центральном парке с черепицей CH (V3 ² .4.3.4,V3 ⁶ ).

• Вершину шестой степени можно заменить центральным правильным шестиугольником и шестью исходящими из него ребрами;
• Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью дельтоидами (центральным дельтовидным шестиугольником) и двенадцатью исходящими из них ребрами;
• Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью каирскими пятиугольниками, центральным шестиугольником и двенадцатью исходящими из него ребрами (путем рассечения вершины шестой степени в центре предыдущего примера).

Это сделано выше для двойной мозаики 3-4-6-12. Соответствующий однородный процесс – это рассечение , и он показан здесь .

2-двойная форма

Существует 20 мозаик, составленных из двух типов планигонов, двойственных 2-однородным мозаикам (Krotenheerdt Duals):

3-двойная униформа

Всего 39 мозаик составлены из трех типов планигонов (Krotenheerdt Duals):

4-двойная униформа

Всего 33 мозаики составлены из 4 типов планигонов (Krotenheerdt Duals):

5-двойная форма

Существует 15 5-однородных двойных мозаик с 5 уникальными планигонами:

Кротенхердт двойные с шестью планигонами

Существует 10 6-однородных двойных мозаик с 6 уникальными планигонами:

Кротенхердт двойные с семью планигонами

Существует 7 7-однородных двойных мозаик с 7 уникальными планигонами:

Последние два двойных мозаики Uniform-7 имеют одинаковые типы вершин, хотя они совершенно не похожи друг на друга!

С этого момента не существует ни однородных n мозаик с n типами вершин, ни однородных n двойственных элементов с n различными (полу)плоскогонами. ^[9] ${\displaystyle n\geq 8}$

Фрактализация двойных k -однородных мозаик

Существует много способов создания новых k-дуально однородных мозаик из других k-однородных мозаик. Три способа масштабирования, как показано ниже: ${\displaystyle 1+{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}},3+{\sqrt {3}}}$

Большая фрактализация

Чтобы увеличить планигоны V3 ^2.4.12 и V3.4.3.12 методом усеченных тригексагонов, необходимо применить масштабный коэффициент : ${\displaystyle 2(3+{\sqrt {3}})}$

Большая фрактализация

С помощью двух 9-однородных мозаик в ^[10] достигается большая фрактализация при масштабном коэффициенте 3 во всех планигонах. В случае s,C,B,H собственный планигон находится точно в центре:

Ниже показаны два 9-однородных мозаики, фрактализации полурегуляров DC и DB и общий пример для S ² TC :

Разнообразный

Конструкция центроид-центроид

Двойные однородные мозаики (красные) вместе с оригиналами (синими) выбранных мозаик. ^{[7] [11]} Создается путем построения средней точки центроида-ребра путем обнаружения многоугольника-центроида-вершины с округлением угла каждого совместного ребра до ближайших 15 градусов. Поскольку единичный размер тайлингов варьируется от 15 до 18 пикселей и каждый правильный многоугольник немного отличается, ^[7] наблюдается некоторое перекрытие или разрывы двойных ребер (генератор размера 18 пикселей неправильно генерирует совпадающие ребра из пяти тайлингов размером 15 пикселей). , классифицируя некоторые квадраты как треугольники).

Другие сравнения конструкций Edge-Edge

Другие сравнения конструкции края и края. Вращается каждые 3 секунды.

Аффинные линейные разложения

Ниже приведены аффинные линейные разложения других однородных мозаик от исходного к двойственному и обратно:

Первая 12-однородная мозаика содержит все планигоны с тремя типами вершин, а вторая 12-однородная мозаика содержит все типы ребер.

Оптимизированные тайлинги

Двойная равномерная мозаика из 14 Каталавесов с использованием p4g . Такие мозаики могут принимать любую группу обоев, кроме p4m , поскольку p4m допускает только планигоны O, S, T, D, s, C, B, H. ^[10]

Если - мозаика означает двойную униформу, мозаику Каталава, то существует мозаика 11-9, ^[7] мозаика 13-10, мозаика 15-11, мозаика 19-12, две мозаики 22-13 и мозаика 24-14. укладка плитки. Также существует плитка 13-8 и плитка без часов 14-10. Наконец, существует 7–5 мозаик, использующих все часовые планигоны: ^[10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Круговая упаковка

Каждому однородному замощению соответствует упаковка кругов, в которой во всех вершинах расположены круги диаметром 1, соответствующие плоскостям. ^[11] Ниже приведены упаковки кругов оптимизированных плиток и плиток по всем ребрам:

Круги раскрашены в соответствии с типом вершин, а пробелы — в соответствии с правильным многоугольником.

5-двойственно-однородные 4-разбиения Каталавеса

Слайд-шоу всех 94 5-двойных однородных мозаик с 4 различными планигонами. Меняется каждые 6 секунд, циклически каждые 60 секунд.

Часы

Все мозаики с правильными двенадцатиугольниками из ^[7] показаны ниже, чередуя однородные и двойственные коравномерные каждые 5 секунд:

Ниже показаны все мозаики с правильными двенадцатиугольниками , в которых каждые 5 секунд чередуются однородные и двойные равномерные.

65 k - Равномерные плитки

Сравнение 65k однородных замощений в однородных плоских замощениях и их двойственных однородных замощений. Два нижних ряда совпадают и приведены в масштабе:

Сравнение 65k однородных замощений в однородных плоских замощениях и их двойственных однородных замощений. Два нижних ряда совпадают и приведены в масштабе.

Рекомендации

1. Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96. ISBN. 0-7167-1193-1.
2. Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей. АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 г.
3. Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея, 1991
4. Иванов, AB (2001) [1994], «Планигон», Математическая энциклопедия , EMS Press
5. "БОЛЬШАЯ СПИСОЧНАЯ СИСТЕМА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ" . СИСТЕМА БОЛЬШОГО СПИСКА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ . Проверено 30 августа 2019 г.
6. Рущик, Ричард. (2006). Введение в геометрию . Альпайн, Калифорния: ISBN AoPS Inc. 0977304523. ОСЛК  68040014.
7. "n-равномерные мозаики". Вероятностьспорт.com . Проверено 21 июня 2019 г.
8. k-однородные мозаики из правильных многоугольников. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Нильсом Леннгреном, 2009 г. ^{[ требуется проверка ]}
9. "11,20,39,33,15,10,7 - ОЭИС" . oeis.org . Проверено 26 июня 2019 г.
10. «Каталог тесселяции». zenorogue.github.io . Проверено 21 марта 2022 г.
11. Дж. Э. Сото Санчес, О периодических мозаиках с правильными многоугольниками, докторская диссертация, IMPA, август 2020 г.

• Клеточные автоматы планигонной тесселяции Александр Коробов, 30 сентября 1999 г.
• Б. Н. Делоне, “Теория планигонов”, Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат., 23:3 (1959), 365–386.