Дополнительная пара углов в каждой вершине многоугольника.
Соответствующие внутренний (бирюзовый) и внешний (пурпурный) углы многоугольника являются дополнительными (сумма половины оборота). Сумма внешних углов несамопересекающегося замкнутого многоугольника всегда равна полному обороту.Внутренние и внешние углы
В геометрии угол многоугольника образован двумя смежными сторонами . Для простого (несамопересекающегося) многоугольника, независимо от того, выпуклый он или невыпуклый , этот угол называетсявнутренний угол (иливнутренний угол), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол навершину.
Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше прямого угла ( π радиан или 180°), то многоугольник называется выпуклым .
Напротив,Внешний угол (также называемыйуглом поворотаиливнешним углом) — это угол, образованный одной стороной простого многоугольника илинией, продолженной от соседней стороны. [1] : стр. 261-264.
Характеристики
Сумма внутреннего угла и внешнего угла при одной и той же вершине равна π радиан (180°).
Сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна π( n -2) радиан или 180( n -2) градусов, где n — количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начиная с треугольника, для которого сумма углов равна 180°, затем заменяя одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, равна 2π радиан (360°).
На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширена: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем попеременного продолжения одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, следовательно, равны.
Расширение для пересекающихся многоугольников
Понятие внутреннего угла можно последовательно распространить на пересекающиеся многоугольники , такие как звездчатые многоугольники , используя концепцию направленных углов. В общем случае сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая скрещенные (самопересекающиеся), равна 180( n –2 k )°, где n — количество вершин, а строго положительное целое число k — это количество полных (360°) оборотов, которые человек совершает, проходя по периметру многоугольника . Другими словами, сумма всех внешних углов равна 2π к радиан или 360 к градусов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников и вогнутых многоугольников k = 1 , поскольку сумма внешних углов равна 360 °, и при обходе периметра человек совершает только один полный оборот.
Рекомендации
^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
Внешние ссылки
Внутренние углы треугольника
Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула. Предоставляет интерактивное действие Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включив в нее скрещенные (сложные) многоугольники.
