В геометрии конфигурация вершин [1] [2] [3] [4] является сокращенной записью для представления вершинной фигуры [ dubious – discussion ] многогранника или мозаики как последовательности граней вокруг вершины . Для однородных многогранников существует только один тип вершины, и поэтому конфигурация вершин полностью определяет многогранник. ( Хиральные многогранники существуют в парах зеркальных отображений с одинаковой конфигурацией вершин.)
Конфигурация вершины задается как последовательность чисел, представляющих количество сторон граней, окружающих вершину. Обозначение " abc " описывает вершину, которая имеет 3 грани вокруг себя, грани со сторонами a , b и c .
Например, " 3.5.3.5 " указывает на вершину, принадлежащую 4 граням, чередующимся треугольникам и пятиугольникам . Эта конфигурация вершин определяет вершинно-транзитивный икосододекаэдр . Обозначение является циклическим и, следовательно, эквивалентно с разными начальными точками, поэтому 3.5.3.5 совпадает с 5.3.5.3. Порядок важен, поэтому 3.3.5.5 отличается от 3.5.3.5 (первый имеет два треугольника, за которыми следуют два пятиугольника). Повторяющиеся элементы можно собирать в виде показателей, поэтому этот пример также представлен как (3.5) 2 .
Его называли по-разному: описание вершины , [5] [6] [7] тип вершины , [8] [9] символ вершины , [10] [11] расположение вершин , [12] шаблон вершины , [13] вектор грани . [14] Его также называют символом Канди и Роллетта из -за его использования для архимедовых тел в их книге 1952 года «Математические модели» . [15] [16] [17]
Конфигурация вершины также может быть представлена как многоугольная вершинная фигура, показывающая грани вокруг вершины. Эта вершинная фигура имеет трехмерную структуру, поскольку грани не находятся в одной плоскости для многогранников, но для вершинно-однородных многогранников все соседние вершины находятся в одной плоскости, и поэтому эта плоская проекция может быть использована для визуального представления конфигурации вершины.
Используются разные обозначения, иногда с запятой (,), а иногда с точкой (.) в качестве разделителя. Оператор точки полезен, поскольку он выглядит как произведение, и можно использовать экспоненциальную запись. Например, 3.5.3.5 иногда записывается как (3.5) 2 .
Эту нотацию также можно считать расширенной формой простого символа Шлефли для правильных многогранников . Нотация Шлефли { p , q } означает q p -угольников вокруг каждой вершины. Таким образом, { p , q } можно записать как ppp.. ( q раз) или p q . Например, икосаэдр — это {3,5} = 3.3.3.3.3 или 3 5 .
Эта нотация применима как к многоугольным мозаикам, так и к многогранникам. Плоская конфигурация вершин обозначает однородную мозаику, так же как неплоская конфигурация вершин обозначает однородный многогранник.
Обозначение неоднозначно для хиральных форм. Например, у плосконосого куба есть формы по часовой стрелке и против часовой стрелки, которые идентичны в зеркальных отображениях. Оба имеют конфигурацию вершин 3.3.3.3.4.
Обозначение также применимо к невыпуклым правильным граням, звездчатым многоугольникам . Например, пентаграмма имеет символ {5/2}, что означает, что у нее 5 сторон, дважды окружающих центр.
Например, существует 4 правильных звездчатых многогранника с правильными многоугольниками или звездчатыми многоугольниками в качестве вершин. Малый звездчатый додекаэдр имеет символ Шлефли {5/2,5}, который расширяется до явной конфигурации вершин 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 или объединен как (5/2) 5 . Большой звездчатый додекаэдр , {5/2,3} имеет треугольную вершинную фигуру и конфигурацию (5/2.5/2.5/2) или (5/2) 3 . Большой додекаэдр , {5,5/2} имеет пентаграммную вершинную фигуру с конфигурацией вершин (5.5.5.5.5)/2 или (5 5 )/2. Большой икосаэдр {3,5/2} также имеет пентаграммную вершинную фигуру с конфигурацией вершин (3.3.3.3.3)/2 или (3 5 )/2.
Грани на вершинной фигуре считаются прогрессирующими в одном направлении. Некоторые однородные многогранники имеют вершинные фигуры с инверсиями, где грани прогрессируют ретроградно. Вершинная фигура представляет это в звездной многоугольной нотации сторон p/q, такой что p <2 q , где p — число сторон, а q — число поворотов вокруг окружности. Например, «3/2» означает треугольник, вершины которого проходят дважды, что то же самое, что и один раз назад. Аналогично «5/3» — это обратная пентаграмма 5/2.
Полуправильные многогранники имеют вершинные конфигурации с положительным дефектом угла .
ПРИМЕЧАНИЕ: Вершинная фигура может представлять правильную или полуправильную мозаику на плоскости, если ее дефект равен нулю. Она может представлять мозаику гиперболической плоскости, если ее дефект отрицателен.
Для однородных многогранников угловой дефект может быть использован для вычисления числа вершин. Теорема Декарта утверждает, что все угловые дефекты в топологической сфере должны в сумме давать 4π радиан или 720 градусов.
Поскольку однородные многогранники имеют все одинаковые вершины, это соотношение позволяет нам вычислить количество вершин, которое равно 4 π / дефект или 720 / дефект .
Пример: Усеченный куб 3.8.8 имеет дефект угла 30 градусов. Следовательно, у него 720/30 = 24 вершины.
В частности, отсюда следует, что { a , b } имеет 4/(2 - b (1 - 2/ a )) вершин.
Каждая перечисленная конфигурация вершин потенциально однозначно определяет полуправильный многогранник. Однако не все конфигурации возможны.
Топологические требования ограничивают существование. В частности, pqr подразумевает, что p -угольник окружен чередующимися q -угольниками и r -угольниками, поэтому либо p четно, либо q равно r . Аналогично q четно или p равно r , и r четно или p равно q . Следовательно, потенциально возможными тройками являются 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (для любого n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Фактически, все эти конфигурации с тремя гранями, встречающимися в каждой вершине, оказываются существующими.
Число в скобках — это количество вершин, определяемое дефектом угла.
Однородные двойственные или каталонские тела , включая бипирамиды и трапецоэдры , являются вертикально-правильными ( гране-транзитивными ), поэтому их можно идентифицировать с помощью похожей нотации, которая иногда называется конфигурацией граней . [3] Канди и Роллетт снабдили эти двойственные символы префиксом V. Напротив, в книге «Мозаики и узоры» используются квадратные скобки вокруг символа для равногранных мозаик.
Эта нотация представляет собой последовательный подсчет количества граней, которые существуют в каждой вершине вокруг грани . [18] Например, V3.4.3.4 или V(3.4) 2 представляет собой ромбический додекаэдр , который является гране-транзитивным: каждая грань является ромбом , а чередующиеся вершины ромба содержат по 3 или 4 грани каждая.