Правильный многоугольник

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это многоугольник , который является прямым равноугольным (все углы равны по размеру) и равносторонним (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

Эти свойства применимы ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездчатым .

Правильный n -сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник является циклическим многоугольником .

Вместе со свойством равной длины сторон это подразумевает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную или вписанную окружность , которая касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

Правильный n -сторонний многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . См. конструируемый многоугольник .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда для некоторого , где каждое отличное число является простым числом Пьерпонта . ^[1] $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ $r\in \mathbb {N}$ $p_{i}$

Симметрия

Группа симметрии n -стороннего правильного многоугольника — это диэдральная группа D _n (порядка 2 n ): D ₂ , D 3 , D 4 , ... Она состоит из вращений в C _n , а также симметрии отражения относительно n осей, проходящих через центр. Если n четное, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник — это такой, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, которые имеют одинаковое число сторон, также подобны .

n - сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. Для n < 3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}: Вырождается в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон истинным многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не является структурой какого-либо абстрактного многоугольника .)
Дигон {2}; «двойной отрезок»: Вырождается в обычном пространстве . (Некоторые специалисты не считают двуугольник настоящим многоугольником из-за этого.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких обстоятельствах принято опускать префикс «правильный». Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Углы

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет величину:

{\frac {180(n-2)}{n}}

степени;

{\frac {(n-2)\pi {n}}

радианы; или

{\frac {(n-2)}{2n}}

полные обороты ,

и каждый внешний угол (т.е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру в градусах, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту. ${\tfrac {360}{n}}$

Когда n стремится к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагон ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может очень близко приблизиться к 180°, а форма многоугольника приблизиться к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, так как окружность фактически станет прямой линией (см. апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

Для n > 2 число диагоналей равно ; т. е. 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... частей OEIS : A007678 . ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки в плоскости

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d _i от произвольной точки плоскости до вершин имеем ^[2]

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.

Для более высоких степеней расстояний от произвольной точки плоскости до вершин правильного -угольника, если $d_{i}$ $n$

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

тогда ^[3]

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

где — положительное целое число, меньшее . $m$ $n$

Если — расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести правильного -угольника с радиусом описанной окружности , то ^[3] $L$ $n$ $R$

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}

где = 1, 2, …, . $m$ $n-1$

Внутренние точки

Для правильного n- угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон равна n раз апофеме ^[4]^{: стр. 72} (апофема — это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. ^[5]^[6]

Радиус окружности

Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

Для конструктивных многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений (см. Бицентрический многоугольник § Правильные многоугольники ) .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n- угольника на любую прямую, касательную к описанной окружности, равна n- кратному радиусу описанной окружности. ^[4]^{: стр. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n- угольника до любой точки его описанной окружности равна 2 nR ² , где R — радиус описанной окружности. ^[4]^{: стр.73}

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n- угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR ² − ⁠1/4⁠ ns ² , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. ^[4]^{: стр. 73}

Если — расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки его описанной окружности, то ^[3] $d_{i}$ $n$

3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

Вскрытия

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на или ⁠ ${\tbinom {m}{2}}$ 1/2⁠ m ( m − 1) параллелограммов. Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов .^[7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Область

Площадь A выпуклого правильного n -угольника со стороной s , радиусом описанной окружности R , апофемой a и периметром p вычисляется по формуле ^[8]^[9]

A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 это дает следующую таблицу: ^[10] ( Поскольку при $\cot x\rightarrow 1/x$ $x\rightarrow 0$ , площадь при стремится к при становится больше.) $s=1$ $n^{2}/4\pi$ $n$

Из всех n -угольников с заданным периметром правильный имеет наибольшую площадь. ^[19]

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, ^[20]^{: стр. xi} , и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон заданного правильного многоугольника. ^[20]^{: стр. 49–50} Это привело к постановке вопроса: возможно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники могут быть построены, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовых периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени числа 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простым числом Ферма является простое число вида ) Гаусс утверждал без доказательства, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса–Ванцеля . $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$

Эквивалентно, правильный n -угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

Правильный косой многоугольник в 3-мерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемыми как боковые ребра однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.

В более общем смысле правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примерами являются многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Наиболее распространенным примером является пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется для указания плотности или «звездности» m многоугольника, как { n / m }. Например, если m равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

Правильные (невырожденные) звезды с числом сторон до 12:

Пентаграмма – {5/2}
Гептаграмма – {7/2} и {7/3}
Октаграмма – {8/3}
Эннеаграмма – {9/2} и {9/4}
Декаграмм – {10/3}
Хендекаграм – {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}
Додекаграмма – {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе число выродится.

Вырожденные правильные звезды, имеющие до 12 сторон:

Тетрагон – {4/2}
Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
Эннеагон – {9/3}
Декагоны – {10/2}, {10/4} и {10/5}
Двенадцатиугольники – {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения о природе вырожденной фигуры различаются. Например, {6/2} можно трактовать одним из двух способов:

На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948)) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого треугольника {6} с его ближайшими соседями, находящимися на расстоянии двух шагов, для получения правильного соединения двух треугольников, или гексаграммы .
Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, так что гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. ^[23] Более компактно Коксетер также записывает 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы как соединения, как чередования правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем множителе, чтобы отличить его от совпадающей интерпретации. ^[24]
Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), ^[22] считают это неверным. Они принимают /2 за обозначение перемещения двух мест вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник «двойной обмотки», который имеет две вершины, наложенные на каждую угловую точку, и два ребра вдоль каждого отрезка линии. Это не только лучше соответствует современным теориям абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создал свои звездные многоугольники — взяв один отрезок проволоки и согнув его в последовательных точках на один и тот же угол, пока фигура не замкнется.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны подобию, а для нечетных n они самодвойственны тождеству.

Кроме того, правильные звездчатые фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также являются самодвойственными.

Правильные многоугольники как грани многогранников

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну вершину в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий всего два вида граней, чередующихся вокруг каждой вершины.

Правильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только один тип граней.

Оставшиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, имеющий в качестве граней правильные треугольники, называется дельтаэдром .

Смотрите также

Примечания

^ Хва, Янг Ли (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (диссертация магистра). Университет Джорджии. С. 55–59.
^ Пак, Пу-Сун. «Расстояния правильных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ abc Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355.
^ abcd Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (ориг. 1929).
^ Пиковер, Клиффорд А., The Math Book , Sterling, 2009: стр. 150
^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
^ Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
^ "Math Open Reference" . Получено 4 февраля 2014 г.
^ "Математические слова".

^ Результаты для R = 1 и a = 1 получены с помощью Maple , используя определение функции:

f := proc ( n ) options Operator , arrow ; [ [ convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , float )] , [ convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , float ) , convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , float )] , [ convert ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) , float ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , float )] ] end proc

Выражения для n = 16 получаются путем двойного применения формулы тангенса половинного угла к tan(π/4)

^ ⁠ ⁠ ${\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
^ ⁠ ⁠ ${\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ ⁠ ⁠ ${\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
^ ⁠ ⁠ $4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$
^ ⁠ ⁠ $16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$
^ ⁠ ⁠ $5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ ⁠ ⁠ ${\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$
^ ⁠ ⁠ $20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
^ ab Bold, Benjamin. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (ориг. 1969).
^ Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифу и числу. World Scientific. стр. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
^ ab Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3
^ Правильные многогранники, стр.95
^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр. 53

Ссылки

Ли, Хва Янг; «Числа, которые можно построить с помощью оригами».
Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?, Дискретная и вычислительная геометрия: сборник трудов Гудмена-Поллака , под ред. Аронова и др., Springer (2003), стр. 461–488.
Пуансо, Л .; Мемуар о многоугольниках и многогранниках. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. "Правильный многоугольник". MathWorld .
Описание правильного многоугольника с интерактивной анимацией
Окружность, вписанная в правильный многоугольник с интерактивной анимацией
Площадь правильного многоугольника Три различные формулы с интерактивной анимацией
Построения правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения на выставке Convergence