период Гаусса

В математике , в области теории чисел , гауссовский период — это определенный вид суммы корней из единицы . Периоды позволяют проводить явные вычисления в циклотомических полях, связанных с теорией Галуа и гармоническим анализом ( дискретное преобразование Фурье ). Они являются основными в классической теории, называемой циклотомией . Тесно связана с ним сумма Гаусса , тип экспоненциальной суммы , которая является линейной комбинацией периодов.

История

Как следует из названия, периоды были введены Гауссом и легли в основу его теории построения циркуля и линейки . Например, построение гептадекагона (формула, которая способствовала его репутации) зависело от алгебры таких периодов, из которых

${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}\,}$

пример, включающий корень семнадцатой степени из единицы

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).}$

Общее определение

Дано целое число n > 1, пусть H — любая подгруппа мультипликативной группы

${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

обратимых остатков по модулю n , и пусть

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).}$

Период Гаусса P представляет собой сумму примитивных корней n-й степени из единицы , где пробегает все элементы фиксированного смежного класса H в G. ${\displaystyle \zeta ^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Определение P можно также сформулировать в терминах следа поля . Мы имеем

${\displaystyle P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})}$

для некоторого подполя L поля Q (ζ) и некоторого j, взаимно простого с n . Это соответствует предыдущему определению, отождествляя G и H с группами Галуа Q (ζ)/ Q и Q (ζ)/ L , соответственно. Выбор j определяет выбор смежного класса H в G в предыдущем определении.

Пример

Ситуация наиболее проста, когда n — простое число p > 2. В этом случае G является циклической группой порядка p − 1 и имеет одну подгруппу H порядка d для каждого множителя d числа p − 1. Например, мы можем взять H индекса два . В этом случае H состоит из квадратичных вычетов по модулю p . Соответствующему этому H мы имеем гауссовский период

${\displaystyle P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots }$

суммируется по ( p − 1)/2 квадратичным вычетам, а другой период P* суммируется по ( p − 1)/2 квадратичным невычетам. Легко видеть, что

${\displaystyle P+P^{*}=-1}$

так как левая часть добавляет все примитивные корни p -й степени из 1. Мы также знаем из определения следа, что P лежит в квадратичном расширении Q . Следовательно, как знал Гаусс, P удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Оценка квадрата суммы P связана с проблемой подсчета того, сколько квадратичных вычетов между 1 и p − 1 следуют за квадратичными вычетами. Решение элементарно (как мы бы сейчас сказали, оно вычисляет локальную дзета-функцию для кривой, которая является коникой ) . Можно

( P − P *) ² = p или − p , для p = 4 m + 1 или 4 m + 3 соответственно.

Таким образом, это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле лежит в Q (ζ). (Это можно также вывести с помощью аргументов ветвления в алгебраической теории чисел ; см. квадратичное поле .)

Как в конечном итоге показал Гаусс, для оценки P − P * правильный квадратный корень, который нужно взять, является положительным (соответственно, i раз положительное действительное число) в обоих случаях. Таким образом, явное значение периода P дается как

${\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+3.\end{cases}}}$

суммы Гаусса

Как более подробно обсуждается ниже, гауссовские периоды тесно связаны с другим классом сумм корней из единицы, которые теперь обычно называют суммами Гаусса (иногда суммами Гаусса ). Величина P − P *, представленная выше, является квадратичной суммой Гаусса mod p , простейшим нетривиальным примером суммы Гаусса. Можно заметить, что P − P * также может быть записана как

${\displaystyle \sum \chi (a)\zeta ^{a}}$

где здесь обозначает символ Лежандра ( a / p ), а сумма берется по классам вычетов по модулю p . В более общем случае, учитывая характер Дирихле χ mod n , сумма Гаусса mod n, связанная с χ, равна ${\displaystyle \chi (a)}$

${\displaystyle G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).}$

Для частного случая главного характера Дирихле сумма Гаусса сводится к сумме Рамануджана : ${\displaystyle \chi =\chi _{1}}$

${\displaystyle G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

где μ — функция Мёбиуса .

Суммы Гаусса повсеместно встречаются в теории чисел; например, они значительно встречаются в функциональных уравнениях L -функций . (Суммы Гаусса в некотором смысле являются аналогами гамма -функции в конечных полях . ^{[ необходимо пояснение ] [ необходима ссылка ]} ) ${\displaystyle G(k,\chi )}$

Связь гауссовых периодов и сумм Гаусса

Периоды Гаусса связаны с суммами Гаусса , для которых характер χ тривиален на H . Такие χ принимают одно и то же значение во всех элементах a в фиксированном смежном классе H в G . Например, квадратичный характер mod p , описанный выше, принимает значение 1 в каждом квадратичном вычете и принимает значение -1 в каждом квадратичном невычете. Таким образом, сумма Гаусса может быть записана как линейная комбинация периодов Гаусса (с коэффициентами χ( a )); обратное также верно, как следствие соотношений ортогональности для группы ( Z / n Z ) ^× . Другими словами, периоды Гаусса и суммы Гаусса являются преобразованиями Фурье друг друга . Периоды Гаусса обычно лежат в меньших полях, так как, например, когда n является простым числом p , значения χ( a ) являются корнями ( p − 1)-й степени из единицы. С другой стороны, суммы Гаусса обладают более приятными алгебраическими свойствами. ${\displaystyle G(1,\chi )}$ ${\displaystyle G(1,\chi )}$

Ссылки

• H. Davenport, HL Montgomery (2000). Мультипликативная теория чисел . Springer. стр. 18. ISBN 0-387-95097-4.