Апофема

Отрезок от центра многоугольника до середины одной из его сторон

Апофема шестиугольника

Графики стороны ,  s ; апофемы,  a ; и площади ,  A правильных многоугольников с n сторонами и радиусом описанной окружности 1, с основанием ,  b прямоугольника с той же площадью . Зеленая линия показывает случай n = 6 .

Апофема (иногда сокращенно апо ^[1] ) правильного многоугольника — это отрезок прямой, проходящий от центра до середины одной из его сторон. Эквивалентно, это линия, проведенная из центра многоугольника , которая перпендикулярна одной из его сторон. Слово «апофема» также может относиться к длине этого отрезка прямой и происходит от древнегреческого ἀπόθεμα («откладывать, откладывать в сторону»), состоящего из ἀπό («прочь, прочь») и θέμα («то, что положено»), что указывает на общую записанную линию. ^[2] Правильные многоугольники — единственные многоугольники, имеющие апофемы. Из-за этого все апофемы в многоугольнике будут конгруэнтными .

Свойства апофем

Апофему a можно использовать для нахождения площади любого правильного n -стороннего многоугольника с длиной стороны s по следующей формуле, которая также утверждает, что площадь равна апофеме, умноженной на половину периметра , поскольку ns  =  p .

${\displaystyle A={\frac {nsa}{2}}={\frac {pa}{2}}.}$

Эту формулу можно вывести, разбив n -сторонний многоугольник на n конгруэнтных равнобедренных треугольников , а затем заметив, что апофема — это высота каждого треугольника, а площадь треугольника равна половине основания, умноженного на высоту. Все следующие формулировки эквивалентны:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}=na^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}}$

Апофема правильного многоугольника всегда будет радиусом вписанной окружности . Это также минимальное расстояние между любой стороной многоугольника и его центром.

Это свойство также можно использовать для простого вывода формулы площади круга, поскольку по мере того, как число сторон стремится к бесконечности, площадь правильного многоугольника приближается к площади вписанной окружности радиуса r  =  a .

${\displaystyle A={\frac {pa}{2}}={\frac {(2\pi r)r}{2}}=\pi r^{2}}$

Нахождение апофемы

Апофему правильного многоугольника можно найти несколькими способами.

Апофему a правильного n -стороннего многоугольника со стороной длиной s , или радиус описанной окружности R , можно найти с помощью следующей формулы:

${\displaystyle a={\frac {s}{2\tan {\frac {\pi }{n}}}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}.}$

Апофему также можно найти по

${\displaystyle a={\frac {s}{2}}\tan {\frac {\pi (n-2)}{2n}}.}$

Эти формулы можно использовать даже если известны только периметр p и количество сторон n , поскольку s  =  ⁠п/н⁠ .

Примечания

Смотрите также

• Хорда (тригонометрия)
• Радиус описанной окружности правильного многоугольника
• Стрела (геометрия)
• Высота наклона

Ссылки

1. Shaneyfelt, Ted V. "Заметки о кругах, треугольниках и костях: Что такое гаверкосинус?". Хило, Гавайи: Гавайский университет . Архивировано из оригинала 2015-09-19 . Получено 2015-11-08 .
2. "Определение APOTHEM". www.merriam-webster.com . Получено 2022-02-17 .

Внешние ссылки

• Апофема правильного многоугольника С интерактивной анимацией
• Апофема пирамиды или усеченной пирамиды Архивировано 2021-04-21 на Wayback Machine
• Пегг, Эд младший . «Стрела, Апофема и Хорда». Проект демонстраций Вольфрама .