Спинор Дирака

Комплексный четырехкомпонентный спинор

В квантовой теории поля спинор Дирака — это спинор , который описывает все известные фундаментальные частицы , являющиеся фермионами , за возможным исключением нейтрино . Он появляется в плосковолновом решении уравнения Дирака и представляет собой определенную комбинацию двух спиноров Вейля , а именно биспинора , преобразующегося «спинорально» под действием группы Лоренца .

Спиноры Дирака важны и интересны во многих отношениях. Прежде всего, они важны, поскольку описывают все известные фермионы фундаментальных частиц в природе ; сюда входят электрон и кварки . Алгебраически они ведут себя в определенном смысле как «квадратный корень» вектора . Это неочевидно при непосредственном рассмотрении, но за последние 60 лет постепенно стало ясно, что спинорные представления имеют фундаментальное значение для геометрии . Например, эффективно все римановы многообразия могут иметь построенные на них спиноры и спиновые связи с помощью алгебры Клиффорда . ^[1] Спинор Дирака характерен для спинора пространства-времени Минковского и преобразований Лоренца ; общий случай очень похож.

Данная статья посвящена спинору Дирака в представлении Дирака . Это соответствует конкретному представлению гамма-матриц и лучше всего подходит для демонстрации решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Существуют и другие представления, в первую очередь киральное представление , которое лучше подходит для демонстрации киральной симметрии решений уравнения Дирака. Киральные спиноры можно записать как линейные комбинации спиноров Дирака, представленных ниже; таким образом, ничего не теряется и не приобретается, кроме изменения точки зрения на дискретную симметрию решений.

Оставшаяся часть этой статьи изложена в педагогической манере с использованием обозначений и соглашений, характерных для стандартного представления спинора Дирака в учебниках по квантовой теории поля. Основное внимание уделяется алгебре плоских волновых решений. О том, как преобразуется спинор Дирака под действием группы Лоренца, рассказывается в статье о биспинорах .

Определение

Спинор Дирака - это биспинор плосковолнового анзаца . ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$

$${\displaystyle \psi (x)=u\left({\vec {p}}\right)\;e^{-ip\cdot x}}$$

Диракаспинора ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi (x)=0}$$

натуральных единицах

$${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0}$$

косой черты Фейнмана

$${\displaystyle \left(i\partial \!\!\!/-m\right)\psi (x)=0}$$

Пояснения к терминам, входящим в анзац, приведены ниже.

• Поле Дирака — это релятивистское поле со спином 1/2 или, точнее, функция в пространстве Минковского со значением в — четырехкомпонентная комплексная векторная функция. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$
• Спинор Дирака , связанный с плоской волной с волновым вектором , равен , вектору, который является постоянным относительно положения в пространстве-времени, но зависит от импульса . ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• Внутренний продукт пространства Минковского для векторов и равен . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\cdot x\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv E_{\vec {p}}t-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$
• Четырехимпульс плоской волны - это где произвольно, ${\textstyle p^{\mu }=\left(\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right):=\left(\pm E_{\vec {p}},{\vec {p}}\right)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• В данной инерциальной системе отсчета координаты равны . Эти координаты параметризуют пространство Минковского. В этой статье, когда индекс появляется в аргументе, он иногда опускается. ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

Спинор Дирака для решения с положительной частотой можно записать как

$${\displaystyle u\left({\vec {p}}\right)={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\,,}$$

• ${\displaystyle \phi }$— произвольный двухспинор, точнее вектор. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$– вектор Паули ,
• ${\displaystyle E_{\vec {p}}}$является положительным квадратным корнем . В этой статье нижний индекс иногда опускается и просто пишется энергия . ${\textstyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle E}$

В натуральных единицах, когда m ² добавляется к p ² или когда m добавляется к , m означает mc в обычных единицах; когда m добавляется к E , m означает mc ² в обычных единицах. Когда к нему добавляется m , это означает (что называется обратной приведенной комптоновской длиной волны ) в обычных единицах. ${\displaystyle {p\!\!\!/}}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle {\frac {mc}{\hbar }}}$

Вывод из уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет вид

$${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

Чтобы получить выражение для четырехспинора ω , матрицы α и β должны быть заданы в конкретной форме. Точная форма, которую они принимают, зависит от представления. На протяжении всей этой статьи используется представление Дирака. В этом представлении матрицы имеют вид

$${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\-{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Эти две матрицы 4×4 связаны с гамма-матрицами Дирака . Обратите внимание, что 0 и I здесь представляют собой матрицы 2×2.

Следующий шаг – поиск решений вида

$${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)},}$$

ω

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

Полученные результаты

Использование всей приведенной выше информации для включения в уравнение Дирака приводит к

$${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$$

Решив второе уравнение для χ , получим

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что это решение должно иметь , чтобы решение было действительным в системе отсчета, где частица имеет . ${\textstyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

Вывод знака энергии в этом случае. Мы рассматриваем потенциально проблемный термин . ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$

• Если , понятно, как . ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}}$
• С другой стороны, пусть , с единичным вектором, и пусть . ${\textstyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$$

Следовательно, отрицательное решение, очевидно, следует опустить и . Конец вывода. ${\textstyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

Собирая эти части, полное решение с положительной энергией обычно записывается как

$${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$

${\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$

Решая вместо этого 1-е уравнение для другого набора решений, находим: ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,.}$$

В этом случае необходимо обеспечить, чтобы это решение было действительным в системе отсчета, где частица имеет . Доказательство проводится аналогично предыдущему случаю. Это так называемое решение с отрицательной энергией . Иногда может сбиваться с толку носить с собой явно отрицательную энергию, поэтому принято менять знак как на энергии, так и на импульсе и записывать это как ${\textstyle E=-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$

$${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

В дальнейшем решения -типа называются решениями частиц , описывая частицу с положительной массой и спином 1/2, несущую положительную энергию, а решения -типа называются решениями античастиц , снова описывая частицу с положительной массой. Частица со спином 1/2, опять-таки несущая положительную энергию. В лабораторных условиях считается, что оба имеют положительную массу и положительную энергию, хотя они по-прежнему во многом двойственны друг другу, а перевернутый знак на плоской волне античастицы предполагает, что она «путешествует назад во времени». Интерпретация «обратного времени» немного субъективна и неточна, равносильна размахиванию руками, когда единственным доказательством являются эти решения. Это действительно становится более убедительным при рассмотрении квантованного поля Дирака. Более точное значение того, что эти два набора решений «противоположны друг другу», дано в разделе, посвященном зарядовому сопряжению , ниже. ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$

Хиральный базис

В киральном представлении для пространство решений параметризовано вектором со спинорным решением Дирака. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \xi }$

$${\displaystyle u(\mathbf {p} )={\begin{pmatrix}{\sqrt {\sigma \cdot p}}\,\xi \\{\sqrt {{\bar {\sigma }}\cdot p}}\,\xi \end{pmatrix}}}$$

4-вектора Паули ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I_{2},\sigma ^{i}),~{\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma ^{i})}$ ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$

Спиновая ориентация

Два спинора

В представлении Дирака наиболее удобными определениями двух спиноров являются:

$${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$$

ортонормированный базис

Матрицы Паули

Матрицы Паули _

$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$

Используя их, можно получить то, что иногда называют вектором Паули :

$${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$$

Ортогональность

Спиноры Дирака обеспечивают полный и ортогональный набор решений уравнения Дирака. ^{[2] [3]} Это легче всего продемонстрировать, записывая спиноры в системе покоя, где это становится очевидным, а затем повышая до произвольной системы координат Лоренца. В системе покоя, где трехимпульс исчезает: можно определить четыре спинора ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$

$${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$$

Знакомство с косой чертой Фейнмана

$${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$$

усиленные спиноры можно записать как

$${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$$

Сопряженные спиноры определяются как те, которые, как можно показать, позволяют решить сопряженное уравнение Дирака. ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

$${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$$

при этом производная понимается как действующая влево. Тогда сопряженные спиноры будут

$${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

$${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$$

Выбранная здесь нормализация такова, что скалярный инвариант действительно инвариантен во всех системах Лоренца. Конкретно это означает ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$$

Полнота

Четыре спинора покоящейся системы указывают на то, что существует четыре различных действительных линейно независимых решения уравнения Дирака. То, что они действительно являются решениями, можно прояснить, заметив, что уравнение Дирака, записанное в импульсном пространстве, имеет вид ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$

$${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

$${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)=0}$$

Это следует из того, что

$${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$$

гамма-матриц

$${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }}$$

тензоромvielbein ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

$${\displaystyle \left(\gamma ^{0}-1\right)u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$

$${\displaystyle \left(\gamma ^{0}+1\right)v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=0}$$

эффект Ааронова-Бомапучок волокон U (1)круговой пучокголономность ${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {0}}\right),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)}$ ${\displaystyle e^{i\eta }.}$

При соответствующем выборе гамма-матриц можно записать уравнение Дирака в чисто вещественной форме, имея только вещественные решения: это уравнение Майораны . Однако оно имеет только два линейно независимых решения. Эти решения не связаны с электромагнетизмом; они описывают массивную электрически нейтральную частицу со спином 1/2. По-видимому, связь с электромагнетизмом удваивает количество решений. Но, конечно, это имеет смысл: связь с электромагнетизмом требует взять реальное поле и усложнить его. Приложив некоторые усилия, уравнение Дирака можно интерпретировать как «комплексированное» уравнение Майораны. Это легче всего продемонстрировать в общих геометрических условиях, выходящих за рамки этой статьи.

Матрицы проекций собственного состояния энергии

Обычно определяют пару матриц проекций и , которые проецируют собственные состояния положительной и отрицательной энергии. Учитывая фиксированную систему координат Лоренца (т.е. фиксированный импульс), это ${\displaystyle \Lambda _{+}}$ ${\displaystyle \Lambda _{-}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=-\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$$

Это пара матриц 4×4. Они суммируются с единичной матрицей:

$${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$$

$${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$$

идемпотентными

$${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$$

Их след удобно заметить:

$${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$$

Обратите внимание, что свойства следа и ортонормированности не зависят от системы Лоренца; это коварианты Лоренца.

Сопряжение зарядов

Зарядовое сопряжение преобразует спинор с положительной энергией в спинор с отрицательной энергией. Зарядовое сопряжение — это отображение ( инволюция ) , имеющее явный вид ${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$

$${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$$

сопряжении зарядовэлектрический зарядгамма-матриц ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\\-i\sigma _{2}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \sigma _{2}\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$$

$${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$$

$${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$$

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Вейля
• Уравнение Майораны
• Основа спиральности
• Spin(1,3) , двойное покрытие SO (1,3) спиновой группой.

Рекомендации

1. Йост, Юрген (2002). «Римановы многообразия». Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Спрингер. стр. 1–39. дои : 10.1007/978-3-642-21298-7_1. См. раздел 1.8.
2. Бьоркен, Джеймс Д.; Дрелл, Сидни Д. (1964). Релятивистская квантовая механика . МакГроу-Хилл. См. главу 3.
3. Ицыксон, Клод; Зубер, Жан-Бернар (1980). Квантовая теория поля . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-032071-3. См. главу 2.

• Эйчисон, IJR; AJG Привет (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.) . Институт физического издательства. ISBN 0-7503-0864-8.
• Миллер, Дэвид (2008). «Релятивистская квантовая механика (РКМ)» (PDF) . стр. 26–37. Архивировано из оригинала (PDF) 19 декабря 2020 г. Проверено 3 декабря 2009 г.