Нейтринные осцилляции

Явление, при котором нейтрино меняет аромат лептона во время путешествия.

Осцилляция нейтрино — это квантово-механическое явление, при котором нейтрино , созданное с определенным номером семейства лептонов («лептонный аромат»: электрон , мюон или тау ), позже может быть измерено как имеющее другой номер семейства лептонов. Вероятность измерения определенного аромата нейтрино варьируется в зависимости от трех известных состояний по мере его распространения в пространстве. ^[1]

Впервые предсказанные Бруно Понтекорво в 1957 году, ^{[2] [3]} нейтринные осцилляции с тех пор наблюдались во множестве экспериментов в различных контекстах. В частности, существование нейтринных осцилляций решило давнюю проблему солнечных нейтрино .

Осцилляции нейтрино представляют большой теоретический и экспериментальный интерес, поскольку точные свойства процесса могут пролить свет на некоторые свойства нейтрино. В частности, это подразумевает, что нейтрино имеет ненулевую массу вне кручения Эйнштейна-Картана , ^{[4] [5]} , что требует модификации Стандартной модели физики элементарных частиц . ^[1] Экспериментальное открытие осцилляций нейтрино и, следовательно, массы нейтрино, выполненное Обсерваторией Супер-Камиоканде и Нейтринной обсерваторией Садбери, было отмечено Нобелевской премией по физике 2015 года . ^[6]

Наблюдения

Множество доказательств существования нейтринных осцилляций было собрано из многих источников в широком диапазоне энергий нейтрино и с помощью множества различных детекторных технологий. ^[7] Нобелевскую премию по физике 2015 года получили Такааки Кадзита и Артур Б. Макдональд за первые новаторские наблюдения этих колебаний.

Осцилляция нейтрино является функцией отношения L ⁄ E , где L — пройденное расстояние, а E — энергия нейтрино. (Подробнее см. ниже в разделе «Распространение и интерференция».) Все доступные источники нейтрино производят диапазон энергий, а колебания измеряются на фиксированном расстоянии для нейтрино различной энергии. Ограничивающим фактором в измерениях является точность, с которой можно измерить энергию каждого наблюдаемого нейтрино. Поскольку энергетическая погрешность детекторов тока составляет несколько процентов, достаточно знать расстояние с точностью до 1%.

Осцилляция солнечных нейтрино

Первым экспериментом, обнаружившим эффекты осцилляций нейтрино, был эксперимент Рэя Дэвиса в Хоумстейке в конце 1960-х годов, в котором он наблюдал дефицит потока солнечных нейтрино по сравнению с предсказаниями Стандартной солнечной модели , используя детектор на основе хлора . . ^[8] Это привело к возникновению проблемы солнечных нейтрино . Многие последующие радиохимические и водные черенковские детекторы подтвердили дефицит, но нейтринные осцилляции не были окончательно идентифицированы как источник дефицита до тех пор, пока Нейтринная обсерватория Садбери не предоставила четкие доказательства изменения вкуса нейтрино в 2001 году. ^[9]

Солнечные нейтрино имеют энергию ниже 20  МэВ . При энергиях выше 5 МэВ осцилляции солнечных нейтрино фактически происходят на Солнце посредством резонанса, известного как эффект МСВ , — процесса, отличного от вакуумных колебаний, описанных далее в этой статье. ^[1]

Осцилляции атмосферных нейтрино

Вслед за теориями, предложенными в 1970-х годах и предполагавшими объединение электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий, в 1980-х годах последовало несколько экспериментов по распаду протона. Большие детекторы, такие как IMB , MACRO и Камиоканде II, наблюдали дефицит в соотношении потока мюонов и атмосферных нейтрино с электронным ароматом (см. распад мюона ). Эксперимент Супер-Камиоканде обеспечил очень точное измерение нейтринных колебаний в диапазоне энергий от сотен МэВ до нескольких ТэВ и с базовым диаметром Земли ; о первых экспериментальных доказательствах атмосферных нейтринных осцилляций было объявлено в 1998 году ^[10].

Реакторные нейтринные осцилляции

Иллюстрация нейтринных осцилляций.

Во многих экспериментах проводились поиски колебаний электронных антинейтрино , образующихся в ядерных реакторах . Никаких колебаний не обнаружено до тех пор, пока детектор не будет установлен на расстоянии 1–2 км. Такие колебания дают значение параметра θ 13 . Нейтрино, производимые в ядерных реакторах, имеют энергию, аналогичную солнечной нейтрино, около нескольких МэВ. Базовые линии этих экспериментов варьировались от десятков метров до более 100 км (параметр θ 12 ). Микаелян и Синев предложили использовать два одинаковых детектора для компенсации систематических неопределенностей в реакторном эксперименте по измерению параметра θ 13 . ^[11]

В декабре 2011 года эксперимент Double Chooz обнаружил, что θ ₁₃  ≠ 0. ^[12] Затем, в 2012 году, эксперимент Daya Bay обнаружил, что θ ₁₃  ≠ 0 со значимостью 5,2 σ; ^[13] Эти результаты впоследствии были подтверждены RENO . ^[14]

Пучковые нейтринные осцилляции

Пучки нейтрино , создаваемые на ускорителе частиц, обеспечивают наибольший контроль над изучаемыми нейтрино. Было проведено множество экспериментов по изучению тех же колебаний, что и при осцилляциях атмосферных нейтрино, с использованием нейтрино с энергией в несколько ГэВ и базой в несколько сотен километров. В экспериментах MINOS , K2K и Super -K независимо наблюдалось исчезновение мюонных нейтрино на таких длинных базовых линиях. ^[1]

Данные эксперимента LSND, по-видимому, противоречат параметрам колебаний, измеренным в других экспериментах. Результаты MiniBooNE появились весной 2007 года и противоречили результатам LSND, хотя они могли подтвердить существование четвертого типа нейтрино, стерильного нейтрино . ^[1]

В 2010 году INFN и ЦЕРН объявили о наблюдении тау- частицы в пучке мюонных нейтрино в детекторе OPERA , расположенном в Гран-Сассо , в 730 км от источника в Женеве . ^[15]

T2K , используя луч нейтрино, направленный через 295 км Земли, и детектор Супер-Камиоканде, измерил ненулевое значение параметра θ 13 в пучке нейтрино. ^[16] NOνA , использующая тот же луч, что и MINOS, с базой 810 км, чувствительна к тому же.

Теория

Осцилляции нейтрино возникают в результате смешивания аромата и собственных состояний нейтрино. То есть каждое из трех состояний нейтрино, которые взаимодействуют с заряженными лептонами в слабых взаимодействиях, представляет собой различную суперпозицию трех (распространяющихся) состояний нейтрино определенной массы. Нейтрино испускаются и поглощаются в слабых процессах в собственных состояниях аромата ^[a] , но перемещаются как собственные массовые состояния . ^[17]

По мере того как суперпозиция нейтрино распространяется в пространстве, квантовомеханические фазы трех массовых состояний нейтрино развиваются с несколько разной скоростью из-за небольших различий в их соответствующих массах. Это приводит к изменению суперпозиционной смеси собственных состояний массы по мере движения нейтрино; но другая смесь собственных массовых состояний соответствует другой смеси ароматических состояний. Например, нейтрино, рожденное как электронное нейтрино, после прохождения некоторого расстояния будет представлять собой некую смесь электронного, мю- и тау-нейтрино. Поскольку квантовомеханическая фаза развивается периодически, через некоторое время состояние почти вернется к исходной смеси, и нейтрино снова будет в основном электронным нейтрино. Содержание электронного аромата нейтрино будет продолжать колебаться – до тех пор, пока квантово-механическое состояние сохраняет когерентность . Поскольку различия в массах между ароматами нейтрино невелики по сравнению с большими длинами когерентности нейтринных осцилляций, этот микроскопический квантовый эффект становится наблюдаемым на макроскопических расстояниях.

Напротив, из-за своей большей массы заряженные лептоны (электроны, мюоны и тау-лептоны) никогда не наблюдали колебаний. При ядерном бета-распаде, распаде мюона, распаде пиона и распаде каона , когда испускаются нейтрино и заряженный лептон, заряженный лептон испускается в некогерентных собственных состояниях массы, таких как |
е⁻
〉 из-за своей большой массы. Слабые силы связи вынуждают одновременно испускаемое нейтрино находиться в «заряженно-лептонцентрической» суперпозиции, такой как |
ν
_е〉, которое является собственным состоянием «аромата», который фиксируется собственным состоянием массы электрона, а не одним из собственных состояний массы нейтрино. Поскольку нейтрино находится в когерентной суперпозиции, которая не является собственным массовым состоянием, смесь, составляющая эту суперпозицию, существенно колеблется по мере своего движения. В Стандартной модели не существует аналогичного механизма, который заставил бы заряженные лептоны заметно колебаться. В четырех упомянутых выше распадах, когда заряженный лептон испускается в состоянии с уникальной собственной массой, заряженный лептон не будет колебаться, поскольку собственные состояния с одной массой распространяются без колебаний.

Случай (реального) распада W-бозона более сложен: распад W-бозона достаточно энергичен, чтобы породить заряженный лептон, который не находится в собственном массовом состоянии; однако заряженный лептон потерял бы когерентность, если бы она была, на межатомных расстояниях (0,1  нм ) и, таким образом, быстро прекратил бы любые значимые колебания. Что еще более важно, ни один механизм в Стандартной модели не способен перевести заряженный лептон в когерентное состояние, которое не является состоянием собственной массы; вместо этого, хотя заряженный лептон от распада W-бозона изначально не находится ни в собственном массовом состоянии, ни в каком-либо «нейтриноцентрическом» собственном состоянии, ни в каком-либо другом когерентном состоянии. Нельзя осмысленно сказать, что такой безликий заряженный лептон колеблется или не колеблется, поскольку любое «колебательное» преобразование просто оставит его в том же общем состоянии, в котором он был до колебания. Следовательно, обнаружение заряженных лептонных колебаний в результате распада W-бозона невозможно на нескольких уровнях. ^{[18] [19]}

Матрица Понтекорво–Маки–Накагавы–Сакаты

Идея нейтринных осцилляций была впервые выдвинута в 1957 году Бруно Понтекорво , который предположил, что нейтрино-антинейтринные переходы могут происходить по аналогии со смешиванием нейтральных каонов . ^[2] Хотя такие колебания материи-антиматерии не наблюдались, эта идея легла в концептуальную основу количественной теории ароматических колебаний нейтрино, которая была впервые развита Маки, Накагавой и Сакатой в 1962 году ^[20] и далее развита Понтекорво. в 1967 году. ^[3] Годом позже дефицит солнечных нейтрино был впервые обнаружен ^[21] , за которым последовала знаменитая статья Грибова и Понтекорво, опубликованная в 1969 году, под названием «Нейтринная астрономия и лептонный заряд». ^[22]

Концепция смешивания нейтрино является естественным результатом калибровочных теорий с массивными нейтрино, и ее структуру можно в общих чертах охарактеризовать. ^[23] В своей простейшей форме это выражается как унитарное преобразование , связывающее аромат и собственную массу , и может быть записано как

${\displaystyle \left|\nu _{i}\right\rangle =\sum _{\alpha }U_{\alpha i}^{*}\left|\nu _{\alpha }\right\rangle ,}$

${\displaystyle \left|\nu _{\alpha }\right\rangle =\sum _{i}U_{\alpha i}\left|\nu _{i}\right\rangle ,}$

где

• ${\displaystyle \ \left|\nu _{\alpha }\right\rangle \ }$представляет собой нейтрино с определенным ароматом α = e (электрон), µ (мюон) или τ (тауон),
• ${\displaystyle \ \left|\nu _{i}\right\rangle \ }$это нейтрино с определенной массой ${\displaystyle \ m_{i}\ ,}$ ${\displaystyle i=1,2,3,}$
• звездочка ( ) представляет комплексно-сопряженное соединение ; для антинейтрино комплексное сопряжение следует удалить из первого уравнения и подставить во второе. ${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle U_{\alpha i}}$представляет собой матрицу Понтекорво-Маки-Накагавы-Саката (также называемую матрицей PMNS , матрицей смешивания лептонов или иногда просто матрицей MNS ). Это аналог матрицы СКМ , описывающей аналогичное смешивание кварков . Если бы эта матрица была единичной матрицей , то собственные состояния аромата были бы такими же, как собственные состояния массы. Однако эксперимент показывает, что это не так.

Если рассматривать стандартную теорию трех нейтрино, матрица имеет размер 3×3. Если рассматриваются только два нейтрино, используется матрица 2×2. Если добавить одно или несколько стерильных нейтрино (см. ниже), оно составит 4×4 или больше. В форме 3×3 оно имеет вид ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}e^{-i\delta }\\0&1&0\\-s_{13}e^{i\delta }&0&c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta }\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta }&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta }&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha _{1}/2}&0&0\\0&e^{i\alpha _{2}/2}&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

где c _ij ≡ cos θ _ij и s _ij ≡ sin θ _ij . _ Фазовые факторы α ₁ и α ₂ имеют физический смысл только в том случае, если нейтрино являются майорановскими частицами — т. е. если нейтрино идентично своему антинейтрино (неизвестно, являются ли они таковыми или нет) — и независимо от этого не вступают в явления осцилляции. Если происходит безнейтринный двойной бета-распад , эти факторы влияют на его скорость. Фазовый фактор δ отличен от нуля только в том случае, если осцилляция нейтрино нарушает CP-симметрию ; экспериментально это еще не наблюдалось. Если эксперимент покажет, что эта матрица 3×3 не унитарна , потребуется стерильное нейтрино или какая-то другая новая физика.

Распространение и помехи

Поскольку это собственные состояния массы, их распространение можно описать решениями в виде плоских волн вида ${\displaystyle \left|\,\nu _{j}\,\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\,\nu _{j}(t)\,\right\rangle =e^{-i\,\left(\,E_{j}t\,-\,{\vec {p}}_{j}\cdot {\vec {x}}\,\right)}\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~,}$

где

• количества выражаются в натуральных единицах и ${\displaystyle (\,c=1,\hbar =1\,)~,}$ ${\displaystyle ~i^{2}\,\equiv \,-1~,}$
• ${\displaystyle E_{j}}$— энергия собственного массового состояния , ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle t}$время от начала распространения,
• ${\displaystyle {\vec {p}}_{j}}$- трехмерный импульс ,
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$- текущее положение частицы относительно ее начального положения

В ультрарелятивистском пределе мы можем аппроксимировать энергию как ${\displaystyle \left|{\vec {p}}_{j}\right|=p_{j}\gg m_{j}~,}$

${\displaystyle E_{j}={\sqrt {\,p_{j}^{2}+m_{j}^{2}\;}}\simeq p_{j}+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,p_{j}\,}}\approx E+{\frac {m_{j}^{2}}{\,2\,E\,}}~,}$

где E — энергия регистрируемого волнового пакета (частицы).

Этот предел применим ко всем практическим (наблюдаемым в настоящее время) нейтрино, поскольку их массы меньше 1 эВ, а энергия - не менее 1 МэВ, поэтому фактор Лоренца γ больше 10.⁶ во всех случаях. Используя также t ≈ L , где L — пройденное расстояние, а также отбросив фазовые коэффициенты, волновая функция становится

${\displaystyle \left|\,\nu _{j}(L)\,\right\rangle =e^{-i\,\left({\frac {\,m_{j}^{2}\,L\,}{2\,E}}\right)}\,\left|\,\nu _{j}(0)\,\right\rangle ~.}$

Собственные состояния с разными массами распространяются с разными частотами. Более тяжелые колеблются быстрее, чем более легкие. Поскольку собственные состояния массы представляют собой комбинации собственных состояний аромата, эта разница в частотах вызывает интерференцию между соответствующими компонентами аромата каждого собственного массового состояния. Конструктивная интерференция позволяет наблюдать, как нейтрино, созданное с заданным ароматом, меняет свой аромат во время распространения. Вероятность того, что нейтрино, изначально имевшее аромат α, позже будет обнаружена как имеющее аромат β , равна

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta }\,=\,{\Bigl |}\,\left\langle \,\left.\nu _{\beta }\,\right|\,\nu _{\alpha }(L)\,\right\rangle \,{\Bigr |}^{2}\,=\,\left|\,\sum _{j}\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,e^{-i{\frac {m_{j}^{2}\,L}{2E}}}\,\right|^{2}~.}$

Это удобнее записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\alpha \rightarrow \beta }=\delta _{\alpha \beta }&{}-4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{4E}}\right)\\&{}+2\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)~,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Delta _{jk}m^{2}\ \equiv m_{j}^{2}-m_{k}^{2}~.}$

Фазу, отвечающую за колебание, часто записывают как (с c и восстанавливается) ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {\Delta _{jk}(mc^{2})^{2}\,L}{4\hbar c\,E}}={\frac {{\rm {GeV}}\,{\rm {fm}}}{4\hbar c}}\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}\approx 1.27\times {\frac {\Delta _{jk}m^{2}}{{\rm {eV}}^{2}}}{\frac {L}{\rm {km}}}{\frac {\rm {GeV}}{E}}~,}$

где 1,27 – безразмерное . В таком виде удобно подставлять параметры колебаний, поскольку:

• Известно , что разность масс Δ m ² составляет порядка 10 ^-4  эВ ² = (10 ^-2  эВ) ²
• Расстояния колебаний L в современных экспериментах составляют порядка километров.
• Энергия нейтрино E в современных экспериментах обычно составляет порядка МэВ или ГэВ.

Если CP-нарушения нет ( δ равно нулю), то вторая сумма равна нулю. В противном случае CP-асимметрия может быть задана как

${\displaystyle A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=P(\nu _{\alpha }\rightarrow \nu _{\beta })-P({\bar {\nu }}_{\alpha }\rightarrow {\bar {\nu }}_{\beta })=4\,\sum _{j>k}\,\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}\,\sin \left({\frac {\Delta _{jk}m^{2}\,L}{2E}}\right)}$

В терминах инварианта Ярлскога

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\,U_{\alpha j}^{*}\,U_{\beta j}\,U_{\alpha k}\,U_{\beta k}^{*}\,\right\}=J\,\sum _{\gamma ,\ell }\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }\,\varepsilon _{jk\ell }~,}$

CP-асимметрия выражается как

${\displaystyle A_{\mathsf {CP}}^{(\alpha \beta )}=16\,\sin \left({\frac {\Delta _{21}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{32}m^{2}\,L}{4E}}\right)\sin \left({\frac {\Delta _{31}m^{2}\,L}{4E}}\right)\,J\,\sum _{\gamma }\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma }}$

Случай двух нейтрино

Приведенная выше формула верна для любого числа поколений нейтрино. Записывать это явно в терминах углов смешивания крайне затруднительно, если в смешивании участвует более двух нейтрино. К счастью, есть несколько значимых случаев, в которых существенное участие принимают только два нейтрино. В этом случае достаточно рассмотреть матрицу смешивания

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Тогда вероятность того, что нейтрино изменит свой аромат, равна

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left({\frac {\Delta m^{2}L}{4E}}\right)\quad {\text{ [natural units] .}}}$

Или, используя единицы СИ и соглашение, представленное выше.

${\displaystyle P_{\alpha \rightarrow \beta ,\alpha \neq \beta }=\sin ^{2}(2\theta )\,\sin ^{2}\left(1.27\,{\frac {\Delta m^{2}L}{E}}\,{\frac {\rm {[eV^{2}]\,[km]}}{\rm {[GeV]}}}\right)~.}$

_Эта формула часто уместна для обсуждения перехода νμ ↔ ντ при атмосферном перемешивании, поскольку электронное нейтрино в этом случае практически не играет роли _. Это также подходит для солнечного случая ν _e ↔ ν _x , где ν _x представляет собой смесь (суперпозицию) ν _µ и ν _τ . Эти приближения возможны потому, что угол смешивания θ ₁₃ очень мал и потому что два массовых состояния очень близки по массе по сравнению с третьим.

Классический аналог нейтринных осцилляций

Основы физики нейтринных осцилляций можно найти в любой системе связанных гармонических осцилляторов . Простой пример — система из двух маятников , соединенных слабой пружиной (пружина с малой жесткостью пружины ). Первый маятник приводится в движение экспериментатором, а второй находится в состоянии покоя. Со временем второй маятник начинает раскачиваться под действием пружины, при этом амплитуда первого маятника уменьшается по мере отдачи энергии второму. В конце концов вся энергия системы передается второму маятнику, а первый приходит в состояние покоя. Затем процесс обратный. Энергия неоднократно колеблется между двумя маятниками, пока не потеряется из-за трения .

Поведение этой системы можно понять, взглянув на ее нормальные режимы колебаний. Если два маятника идентичны, то один нормальный режим состоит из обоих маятников, раскачивающихся в одном направлении с постоянным расстоянием между ними, а другой состоит из маятников, раскачивающихся в противоположных (зеркальных) направлениях. Эти нормальные режимы имеют (немного) разные частоты, поскольку во втором задействована (слабая) пружина, а в первом — нет. Начальное состояние двухмаятниковой системы представляет собой комбинацию обоих нормальных режимов. Со временем эти нормальные моды смещаются по фазе, и это рассматривается как передача движения от первого маятника ко второму.

Описание системы с помощью двух маятников аналогично ароматическому базису нейтрино. Это параметры, которые легче всего создать и обнаружить (в случае нейтрино - за счет слабых взаимодействий с участием W-бозона ). Описание в терминах нормальных мод аналогично массовому базису нейтрино. Эти режимы не взаимодействуют друг с другом, когда система свободна от внешнего воздействия.

Когда маятники не идентичны, анализ немного сложнее. В приближении малых углов потенциальная энергия одиночной маятниковой системы равна , где g — стандартная сила тяжести , L — длина маятника, m — масса маятника, а x — горизонтальное смещение маятника. Как изолированная система маятник представляет собой гармонический осциллятор с частотой . Потенциальная энергия пружины равна где k — коэффициент жесткости пружины, а x — смещение. С присоединенной массой он колеблется с периодом . Для двух маятников (обозначенных a и b ) одинаковой массы, но, возможно, неравной длины, соединенных пружиной, полная потенциальная энергия равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {mg}{L}}x^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g/L\;}}\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {k/m\;}}\,}$

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}\left({\frac {g}{L_{a}}}x_{a}^{2}+{\frac {g}{L_{b}}}x_{b}^{2}+{\frac {k}{m}}(x_{b}-x_{a})^{2}\right).}$

Это квадратичная форма по x _a и x _b , которую также можно записать как матричное произведение:

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{a}&x_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {g}{L_{a}}}+{\frac {k}{m}}&-{\frac {k}{m}}\\-{\frac {k}{m}}&{\frac {g}{L_{b}}}+{\frac {k}{m}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}.}$

Матрица 2×2 вещественно симметрична и поэтому (по спектральной теореме ) она ортогонально диагонализуема . То есть существует угол θ такой, что если мы определим

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{a}\\x_{b}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

затем

${\displaystyle V={\frac {m}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}\ x_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}}$

где λ ₁ и λ ₂ — собственные значения матрицы. Переменные x ₁ и x ₂ описывают нормальные моды, которые колеблются с частотами и . Когда два маятника идентичны ( L _a = L _b ), угол θ равен 45 °. ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{1}\,}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{2}\,}}}$

Угол θ аналогичен углу Кабиббо (хотя этот угол применим к кваркам, а не к нейтрино).

Когда число осцилляторов (частиц) увеличивается до трех, ортогональная матрица уже не может описываться одним углом; вместо этого требуются три ( углы Эйлера ). Более того, в квантовом случае матрицы могут быть комплексными . Это требует введения в дополнение к углам вращения сложных фаз, которые связаны с CP-нарушением , но не влияют на наблюдаемые эффекты нейтринных осцилляций.

Теория, графически

Две вероятности нейтрино в вакууме

В приближении, когда в осцилляции участвуют только два нейтрино, вероятность осцилляции подчиняется простой закономерности:

Синяя кривая показывает вероятность того, что исходное нейтрино сохранит свою идентичность. Красная кривая показывает вероятность перехода в другое нейтрино. Максимальная вероятность конверсии равна sin ² 2 θ . Частота колебаний регулируется Δm ² .

Три вероятности нейтрино

Если рассматривать три нейтрино, вероятность появления каждого нейтрино несколько сложна. На графиках ниже показаны вероятности для каждого варианта: графики в левом столбце показывают большой диапазон для отображения медленных «солнечных» колебаний, а графики в правом столбце увеличены для отображения быстрых «атмосферных» колебаний. Параметры, использованные для создания этих графиков (см. ниже), соответствуют текущим измерениям, но поскольку некоторые параметры все еще весьма неопределенны, некоторые аспекты этих графиков верны только качественно. ^[25]

Иллюстрации были созданы с использованием следующих значений параметров: ^[25]

• sin ² (2 θ ₁₃ ) = 0,10 (Определяет размер небольших покачиваний.)
• грех ² (2 θ ₂₃ ) = 0,97
• грех ² (2 θ ₁₂ ) = 0,861
• δ = 0 (Если фактическое значение этой фазы велико, вероятности будут несколько искажены и будут разными для нейтрино и антинейтрино.)
• Нормальная иерархия масс: m ₁ ≤ m ₂ ≤ m ₃
• Δ м²
  ₁₂"="0,759 × 10 ⁻⁴  эВ ²
• Δ м²
  ₃₂≈ Δ м²
  ₁₃"="23,2 × 10 ⁻⁴  эВ ²

Наблюдаемые значения параметров колебаний

• грех ² (2 θ ₁₃ ) = 0,093 ± 0,008  . ^{[26] Комбинация} PDG результатов Daya Bay, RENO и Double Chooz.
• грех ² (2 θ ₁₂ ) = 0,846 ± 0,021  . ^[26] Это соответствует значению θ _sol (солнечное), полученному на основе данных KamLand, солнечной энергии, реактора и ускорителя.
• грех ² (2 θ ₂₃ ″) > 0,92 при уровне достоверности 90%, что соответствует θ ₂₃ ≡ θ _атм = 45 ± 7,1° (атмосфера) ^[27]
• Δ ₂₁ м ² ≡ Δ м²
  _сол"=" (0,753 ± 0,018) × 10 ⁻⁴  эВ ^{2 [26]}
• |Δ ₃₁ м ² | ≈ |Δ ₃₂ м ² | ≡ Δ м²
  _атм"=" (24,4 ± 0,6) × 10 ⁻⁴  эВ ² (нормальная иерархия масс) ^[26]
• δ , α ₁ , α ₂ и знак Δ m²
  ₃₂настоящее время неизвестны.

Эксперименты с солнечными нейтрино в сочетании с KamLAND позволили измерить так называемые солнечные параметры Δ m.²
_соли грех ² θ _соль . Эксперименты с атмосферными нейтрино, такие как Супер-Камиоканде, вместе с нейтринными экспериментами на ускорителе с длинной базой K2K и MINOS определили так называемые параметры атмосферы Δ m. ²
_атми sin ² θ _атм . Последний угол смешивания, θ ₁₃ , был измерен в ходе экспериментов Daya Bay , Double Chooz и RENO как sin ² (2 θ ₁₃ ″) .

Для атмосферных нейтрино соответствующая разность масс составляет около Δ m ² =24. × 10 ⁻⁴  эВ ² , а типичные энергии равны≈1 ГэВ ; при этих значениях колебания становятся видимыми для нейтрино, путешествующих на несколько сотен километров, то есть тех нейтрино, которые достигают детектора, путешествуя через Землю из-под горизонта.

Параметр смешивания θ ₁₃ измеряется с использованием электронных антинейтрино из ядерных реакторов. Скорость взаимодействия антинейтрино измеряется в детекторах, расположенных рядом с реакторами, чтобы определить поток до каких-либо значительных колебаний, а затем измеряется в дальних детекторах (размещенных в километрах от реакторов). Осцилляция наблюдается как кажущееся исчезновение электронных антинейтрино в дальних детекторах (т.е. скорость взаимодействия на дальнем узле ниже, чем предсказывается по наблюдаемой скорости на ближнем узле).

Из экспериментов по осцилляциям атмосферных и солнечных нейтрино известно, что два угла смешивания матрицы МНС большие, а третий — меньший. Это резко контрастирует с матрицей CKM, в которой все три угла малы и иерархически уменьшаются. Согласно эксперименту T2K, фаза, нарушающая CP, в матрице MNS по состоянию на апрель 2020 года находится где-то между -2 и -178 градусами . ^[28]

Если масса нейтрино окажется майорановской (что делает нейтрино собственной античастицей), тогда возможно, что матрица MNS имеет более одной фазы.

Поскольку в экспериментах по наблюдению осцилляций нейтрино измеряется квадрат разницы масс, а не абсолютная масса, можно было бы утверждать, что масса легчайшего нейтрино равна нулю, не противореча наблюдениям. Однако теоретики считают это маловероятным.

Происхождение массы нейтрино

Вопрос о том, как возникают массы нейтрино, до сих пор не получил однозначного ответа. В Стандартной модели физики элементарных частиц фермионы имеют собственную массу только из-за взаимодействия с полем Хиггса (см. Бозон Хиггса ). Эти взаимодействия требуют как левых, так и правых версий фермиона (см. киральность ). Однако до сих пор наблюдались только левые нейтрино.

У нейтрино может быть еще один источник массы — термин массы Майораны . Этот тип массы применим к электрически нейтральным частицам, поскольку в противном случае частицы могли бы превратиться в античастицы, что нарушило бы сохранение электрического заряда.

Наименьшая модификация Стандартной модели, в которой есть только левые нейтрино, состоит в том, чтобы позволить этим левым нейтрино иметь майорановские массы. Проблема в том, что массы нейтрино на удивление меньше, чем у остальных известных частиц (по крайней мере, в 600 000 раз меньше массы электрона), что, хотя и не опровергает теорию, широко считается неудовлетворительным, поскольку это Конструкция не дает понимания происхождения шкалы масс нейтрино.

Следующим простейшим дополнением было бы добавление в Стандартную модель правых нейтрино, которые взаимодействуют с левыми нейтрино и полем Хиггса аналогично остальным фермионам. Эти новые нейтрино будут взаимодействовать с другими фермионами исключительно таким образом и, следовательно, не будут непосредственно наблюдаемы, поэтому не исключены феноменологически. Проблема несоответствия массовых масштабов остается.

Качающийся механизм

Самым популярным предполагаемым решением в настоящее время является механизм качелей , в который добавляются правые нейтрино с очень большими массами Майораны. Если правые нейтрино очень тяжелые, они создают очень малую массу левых нейтрино, которая пропорциональна обратной величине тяжелой массы.

Если предположить, что нейтрино взаимодействуют с полем Хиггса примерно с теми же силами, что и заряженные фермионы, то тяжелая масса должна быть близка к шкале Великого объединения . Поскольку Стандартная модель имеет только одну фундаментальную шкалу масс, ^[b] все массы частиц ^[c] должны возникать относительно этой шкалы.

Существуют и другие разновидности качелей ^[29] , и в настоящее время большой интерес вызывают так называемые низкомасштабные схемы качелей, такие как механизм обратных качелей. ^[30]

Добавление правых нейтрино приводит к добавлению новых масштабов масс, не связанных с масштабами масс Стандартной модели, следовательно, наблюдение тяжелых правых нейтрино открыло бы физику, выходящую за рамки Стандартной модели. Правые нейтрино помогут объяснить происхождение материи посредством механизма, известного как лептогенез .

Другие источники

Существуют альтернативные способы модификации стандартной модели, аналогичные добавлению тяжелых правых нейтрино (например, добавление новых скаляров или фермионов в триплетных состояниях) и другие менее похожие модификации (например, массы нейтрино из петлевых эффектов). и/или от подавленных связей). Одним из примеров моделей последнего типа являются некоторые версии суперсимметричных расширений стандартной модели фундаментальных взаимодействий, где R-четность не является симметрией. Там обмен суперсимметричными частицами, такими как скварки и слептоны , может нарушить лептонное число и привести к образованию нейтринных масс. Эти взаимодействия обычно исключаются из теорий, поскольку они относятся к классу взаимодействий, которые, если все они включены, приводят к неприемлемо быстрому распаду протона . Эти модели обладают небольшой предсказательной силой и не способны предложить кандидата на холодную темную материю.

Колебания в ранней Вселенной

В ранней Вселенной , когда концентрации частиц и температуры были высокими, нейтринные осцилляции могли вести себя по-другому. ^[31] В зависимости от параметров и массы угла смешивания нейтрино может возникнуть широкий спектр поведения, включая вакуумоподобные нейтринные осцилляции, плавную эволюцию или самоподдерживающуюся когерентность. Физика этой системы нетривиальна и включает нейтринные осцилляции в плотном нейтринном газе .

Смотрите также

• Эффект ТБО
• Майорон
• Смешивание нейтральных каонов
• Лоренц-нарушающие нейтринные осцилляции
• Колебания нейтральных частиц
• Нейтринная астрономия

Примечания

1. Более формально, нейтрино испускаются в запутанном состоянии с другими телами в процессе распада или реакции, а смешанное состояние правильно описывается матрицей плотности . Однако во всех практических ситуациях другие частицы распада могут быть хорошо локализованы во времени и пространстве (например, с точностью до ядерного расстояния), оставляя их импульс с большим разбросом. Когда эти партнерские состояния проецируются, нейтрино остается в состоянии, которое по сути ведет себя как простая суперпозиция описанных здесь массовых состояний. Для получения дополнительной информации см .: Коэн, Эндрю Г.; Глэшоу, Шелдон Л. и Лигети, Золтан (13 июля 2009 г.). «Распутывание нейтринных колебаний». Буквы по физике Б. 678 (2): 191–196. arXiv : 0810.4602 . Бибкод : 2009PhLB..678..191C. doi : 10.1016/j.physletb.2009.06.020 .
2. Шкалу фундаментальных масс Стандартной модели можно принять как шкалу разрушения SU(2) _L × U(1) _Y.
3. Масса электрона и масса Z-бозона являются примерами масс частиц, установленных по шкале фундаментальных масс Стандартной модели.

Рекомендации

1. Баргер, Вернон; Марфатия, Дэнни; Виснант, Керри Льюис (2012). Физика нейтрино. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12853-5.
2. «Мезоний и антимезоний». Ж. Эксп. Теор. Физ. 33 (2): 549–551. Февраль 1957 года. воспроизведено и переведено в Б. Понтекорво (февраль 1957 г.). «Мезоний и антимезоний». Сов. Физ. ЖЭТФ . 6 (2): 429–431. Бибкод : 1958JETP....6..429P.
3. Б. Понтекорво (май 1968 г.). «Нейтринные эксперименты и проблема сохранения лептонного заряда». Ж. Эксп. Теор. Физ. 53 : 1717–1725. Бибкод : 1968JETP...26..984P. воспроизведено и переведено Б. Понтекорво (май 1968 г.). «Нейтринные эксперименты и проблема сохранения лептонного заряда». Сов. Физ. ЖЭТФ . 26 : 984–988. Бибкод : 1968JETP...26..984P.
4. В. Де Саббата; М. Гасперини (1981). «Нейтринные осцилляции при кручении». Иль Нуово Чименто А (1971–1996) . 65 : 479–500. дои : 10.1007/BF02902051.
5. Субхасиш Чакрабарти; Амитабха Лахири (2019). «Геометрический вклад в массовую матрицу нейтрино». Европейский физический журнал C . 79 : 697. arXiv : 1904.06036 . doi : 10.1140/epjc/s10052-019-7209-2.
6. Уэбб, Джонатан (6 октября 2015 г.). «Переворот нейтрино получил Нобелевскую премию по физике». Новости BBC . Проверено 6 октября 2015 г.
7. MC Гонсалес-Гарсия и Мишель Мальтони (апрель 2008 г.). «Феноменология массивных нейтрино». Отчеты по физике . 460 (1–3): 1–129. arXiv : 0704.1800 . Бибкод : 2008PhR...460....1G. CiteSeerX 10.1.1.312.3412 . doi :10.1016/j.physrep.2007.12.004. S2CID  119651816. 
8. Дэвис, Раймонд; Хармер, Дон С.; Хоффман, Кеннет К. (1968). «Поиск нейтрино от Солнца». Письма о физических отзывах . 20 (21): 1205–1209. Бибкод : 1968PhRvL..20.1205D. doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1205.
9. Ахмад, QR; Аллен, Р.С.; Андерсен, ТК; Энглин, доктор медицинских наук; Бюлер, Г.; Бартон, Дж. К.; и другие. (Сотрудничество SNO) (25 июля 2001 г.). «Измерение скорости взаимодействий ν _e + d → p + p + e ^−, производимых солнечными нейтрино ⁸ B, в Нейтринной обсерватории Садбери». Письма о физических отзывах . 87 (7): 071301. arXiv : nucl-ex/0106015 . Бибкод : 2001PhRvL..87g1301A. doi : 10.1103/physrevlett.87.071301. ISSN  0031-9007. ПМИД  11497878.
10. Фукуда, Ю.; и другие. (Сотрудничество Супер-Камиоканде) (24 августа 1998 г.). «Доказательства колебаний атмосферных нейтрино». Письма о физических отзывах . 81 (8): 1562–1567. arXiv : hep-ex/9807003 . Бибкод : 1998PhRvL..81.1562F. doi :10.1103/PhysRevLett.81.1562. S2CID  7102535.
11. Л, Микаэлян и; В, Синев (2000). «Нейтринные осцилляции на реакторах: что дальше?». Физика атомных ядер . 63 (6): 1002. arXiv : hep-ex/9908047 . Бибкод : 2000PAN....63.1002M. дои : 10.1134/1.855739. S2CID  15221390.
12. Ю, Эйб; и другие. (сотрудничество Double Chooz) (28 марта 2012 г.). «Признак исчезновения реакторных электронных антинейтрино в эксперименте Double Chooz». Письма о физических отзывах . 108 (19): 131801. arXiv : 1112.6353 . Бибкод : 2012PhRvL.108m1801A. doi :10.1103/PhysRevLett.108.131801. PMID  22540693. S2CID  19008791.
13. Ан, ФП; Бай, JZ; Балантекин, А.Б.; Группа, HR; Бивис, Д.; Беригете, В.; и другие. (Сотрудничество Дайя Бэй) (23 апреля 2012 г.). «Наблюдение исчезновения электронов-антинейтрино в заливе Дайя». Письма о физических отзывах . 108 (17): 171803. arXiv : 1203.1669 . Бибкод : 2012PhRvL.108q1803A. doi : 10.1103/physrevlett.108.171803. ISSN  0031-9007. PMID  22680853. S2CID  16580300.
14. Ким, Су-Бон; и другие. (сотрудничество RENO) (11 мая 2012 г.). «Наблюдение исчезновения реакторных электронных антинейтрино в эксперименте RENO». Письма о физических отзывах . 108 (19): 191802. arXiv : 1204.0626 . Бибкод : 2012PhRvL.108s1802A. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.191802. PMID  23003027. S2CID  33056442.
15. Агафонова, Н.; и другие. (Сотрудничество OPERA) (26 июля 2010 г.). «Наблюдение первого события-кандидата ν _τ в эксперименте OPERA в пучке CNGS». Буквы по физике Б. 691 (3): 138–145. arXiv : 1006.1623 . Бибкод : 2010PhLB..691..138A. doi :10.1016/j.physletb.2010.06.022. S2CID  119256958.
16. Абэ, К.; и другие. (Сотрудничество T2K) (август 2013 г.). «Свидетельства появления электронных нейтрино в пучке мюонных нейтрино». Физический обзор D . 88 (3): 032002. arXiv : 1304.0841 . Бибкод : 2013PhRvD..88c2002A. doi :10.1103/PhysRevD.88.032002. ISSN  1550-7998. S2CID  53322828.
17. Аартсен, МГ; Акерманн, М.; Адамс, Дж.; Агилар, Дж.А.; Алерс, М.; Аренс, М.; аль Самарай, И.; Альтманн, Д.; Андин, К.; Андерсон, Т.; и другие. (Сотрудничество IceCube) (12 апреля 2018 г.). «Поиск нестандартных взаимодействий нейтрино с IceCube DeepCore». Физический обзор D . 97 (7): 072009. Бибкод : 2018PhRvD..97g2009A. doi : 10.1103/PhysRevD.97.072009 . hdl : 2440/112089 .
18. Ахмедов, Евгений Х. (26 сентября 2007 г.). «Осциллируют ли заряженные лептоны?». Журнал физики высоких энергий . 2007 (9): 116. arXiv : 0706.1216 . Бибкод : 2007JHEP...09..116A. дои : 10.1088/1126-6708/2007/09/116. S2CID  13895776.
19. Уолтем, Крис (июнь 2004 г.). «Обучение нейтринным осцилляциям». Американский журнал физики . 72 (6): 742–752. arXiv : физика/0303116 . Бибкод : 2004AmJPh..72..742W. дои : 10.1119/1.1646132. S2CID  14205602.
20. З. Маки; М. Накагава; С. Саката (ноябрь 1962 г.). «Замечания о единой модели элементарных частиц». Успехи теоретической физики . 28 (5): 870. Бибкод : 1962PThPh..28..870M. дои : 10.1143/PTP.28.870 .
21. Рэймонд Дэвис младший ; Дон С. Хармер; Кеннет К. Хоффман (май 1968 г.). «Поиск нейтрино от Солнца». Письма о физических отзывах . 20 (21): 1205–1209. Бибкод : 1968PhRvL..20.1205D. doi : 10.1103/PhysRevLett.20.1205.
22. Грибов, В .; Понтекорво, Б. (20 января 1969 г.). «Нейтринная астрономия и лептонный заряд». Буквы по физике Б. 28 (7): 493–496. Бибкод : 1969PhLB...28..493G. дои : 10.1016/0370-2693(69)90525-5.
23. Шехтер, Джозеф; Валле, Хосе ВФ (1 ноября 1980 г.). «Массы нейтрино в теориях SU(2) ⊗ U(1) ». Физический обзор D . 22 (9): 2227–2235. Бибкод : 1980PhRvD..22.2227S. doi :10.1103/PhysRevD.22.2227.
24. Эйдельман, С.; Хейс; оливковое; Агилар-Бенитес; Амслер; Аснер; и другие. ( Группа данных о частицах ) (15 июля 2004 г.). «Глава 15: Масса нейтрино, смешивание и изменение вкуса» (PDF) . Буквы по физике Б. Обзор физики элементарных частиц. 592 (1–4): 1–1109. arXiv : astro-ph/0406663 . Бибкод : 2004PhLB..592....1P. doi :10.1016/j.physletb.2004.06.001. S2CID  118588567. Пересмотрено в сентябре 2005 г.
25. Месена, Балаж. «Нейтринные колебания». Демонстрационный проект Wolfram . Проверено 8 октября 2015 г. Эти изображения были созданы с помощью Mathematica . Демонстрация позволяет изучить параметры.
26. Олив, Калифорния; и другие. (Группа данных о частицах) (2014). «Обзор физики элементарных частиц 2014». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
27. Накамура, К.; и другие. (Группа данных о частицах) (2010). «Обзор физики элементарных частиц». Журнал физики Г. 37 (7А): 1–708. Бибкод : 2010JPhG...37g5021N. дои : 10.1088/0954-3899/37/7a/075021 . hdl : 10481/34593 . ПМИД  10020536.
28. Абэ, К.; Акуцу, Р.; Али, А.; Альт, К.; Андреопулос, К.; Энтони, Л.; и другие. (15 апреля 2020 г.). «Ограничение на фазу нарушения симметрии вещества-антиматерии в нейтринных осцилляциях». Природа . 580 (7803): 339–344. arXiv : 1910.03887 . Бибкод : 2020Natur.580..339T. дои : 10.1038/s41586-020-2177-0. PMID  32296192. S2CID  203951445.
29. Валле, JWF (2006). «Обзор физики нейтрино». Журнал физики . Серия конференций . 53 (1): 473–505. arXiv : hep-ph/0608101 . Бибкод : 2006JPhCS..53..473V. дои : 10.1088/1742-6596/53/1/031. S2CID  2094005.
30. Мохапатра, Р.Н. и Валле, JWF (1986). «Несохранение массы нейтрино и барионного числа в моделях суперструн». Физический обзор D . 34 (5): 1642–1645. Бибкод : 1986PhRvD..34.1642M. doi :10.1103/PhysRevD.34.1642. hdl : 10550/47211 . ПМИД  9957332.
31. Костелецкий, Алан ; Сэмюэл, Стюарт (март 1994 г.). «Нелинейные нейтринные колебания в расширяющейся Вселенной» (PDF) . Физ. Преподобный Д. 49 (4): 1740–1757. Бибкод : 1994PhRvD..49.1740K. doi :10.1103/PhysRevD.49.1740. HDL : 2022/18663 . ПМИД  10017160.

дальнейшее чтение

• Гонсалес-Гарсия; Нир (2003). «Массы нейтрино и смешивание: доказательства и последствия». Обзоры современной физики . 75 (2): 345–402. arXiv : hep-ph/0202058 . Бибкод : 2003РвМП...75..345Г. doi : 10.1103/RevModPhys.75.345. S2CID  119501801.
• Мальтони; Швец; Тортола; Валле (2004). «Состояние глобальных подгонок нейтринных осцилляций». Новый журнал физики . 6 (1): 122. arXiv : hep-ph/0405172 . Бибкод : 2004NJPh....6..122M. дои : 10.1088/1367-2630/6/1/122. S2CID  119459743.
• Фольи; Лиси; Марроне; Монтанино; Палаццо; Ротунно (2012). «Глобальный анализ масс, смешиваний и фаз нейтрино: вступление в эпоху поиска лептонных CP-нарушений». Физический обзор D . 86 (1): 013012. arXiv : 1205.5254 . Бибкод : 2012PhRvD..86a3012F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.013012. S2CID  119107183.
• Фореро; Тортола; Валле (2012). «Глобальное состояние параметров нейтринных колебаний после Нейтрино-2012». Физический обзор D . 86 (7): 073012. arXiv : 1205.4018 . Бибкод : 2012PhRvD..86g3012F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.073012. S2CID  53708945.

Внешние ссылки

• Обзорные статьи на arxiv.org
• «Нейтринные осциллятоны и загадка солнечных нейтрино (лекция - 09) профессора Г. Сринивасана». YouTube . Международный центр теоретических наук. 18 мая 2018 г. Ганесан Шринивасан был избран в 1984 году членом Индийской академии наук .