Алгебраическое обобщение производной
В математике дифференцирование — это функция алгебры , которая обобщает некоторые особенности оператора производной . В частности, для данной алгебры A над кольцом или полем K K - дифференцирование представляет собой K - линейное отображение D : A → A , которое удовлетворяет закону Лейбница :
![{\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В более общем смысле, если M является A - бимодулем , K -линейное отображение D : A → M , удовлетворяющее закону Лейбница, также называется дифференцированием. Совокупность всех K -дифференцирований A в себя обозначается Der K ( A ). Совокупность K- дифференцирований A в A -модуль M обозначается Der K ( A , M ) .
Выводы происходят во многих различных контекстах в различных областях математики. Частная производная по переменной является R -дифференцированием на алгебре вещественнозначных дифференцируемых функций на R n . Производная Ли по векторному полю — это R -дифференцирование алгебры дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод тензорной алгебры многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является дифференцированием на этой алгебре. Производная Пинчерле является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра A некоммутативна, то коммутатор относительно элемента алгебры A определяет линейный эндоморфизм A на себя, который является дифференцированием над K . То есть,
![{\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где коммутатор относительно . Алгебра A , снабженная выделенным выводом d , образует дифференциальную алгебру и сама является важным объектом исследования в таких областях, как дифференциальная теория Галуа .![{\displaystyle [\cdot,N]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle N}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Если A — K -алгебра, K — кольцо и D : A → A — K -дифференцирование, то
- Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 2 ) = 2 D (1), так что D (1) = 0. Таким образом, в силу K -линейности D ( k ) = 0 для всех k ∈ К.
- Если A коммутативен, D ( x 2 ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) и D ( x n ) = nx n −1 D ( x ) по правилу Лейбница.
- В более общем смысле, для любых x 1 , x 2 , …, x n ∈ A по индукции следует, что
![{\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+ 1}\cdots x_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- то есть, если для всех i D ( x i ) коммутирует с .
![{\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{i-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Для n > 1 D n не является выводом, а удовлетворяет правилу Лейбница более высокого порядка:
![{\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{nk}(u)\cdot D^{k }(в).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Более того, если M — A -бимодуль, напишем
![{\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- для множества K -дифференцирований от A до M .
![{\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- поскольку легко проверить, что коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием.
- Существует A -модуль Ω A / K (называемый дифференциалами Кэлера ) с K -дифференцированием d : A → Ω A / K , через который действует любое дифференцирование D : A → M. То есть для любого вывода D существует отображение A -модуля φ с
![{\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Соответствие является изоморфизмом A -модулей:
![{\displaystyle D\leftrightarrow \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если k ⊂ K — подкольцо , то A наследует структуру k -алгебры, поэтому существует включение
![{\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- поскольку любое K -дифференцирование заведомо является k - дифференцированием.
Градуированные выводы
Дана градуированная алгебра A и однородное линейное отображение D степени | Д | на A , D является однородным дифференцированием , если
![{\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для каждого однородного элемента a и каждого элемента b из A для коммутаторного множителя ε = ±1 . Градуированный вывод — это сумма однородных выводов с одинаковым ε .
Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. Однако если ε = −1 , то
![{\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для нечетных | D |, и D называется антивыводом .
Примеры антидериваций включают внешнюю производную и внутреннее произведение, действующее на дифференциальные формы .
Градуированные дифференцирования супералгебр (т.е. Z 2 -градуированные алгебры) часто называют супердифференцированиями .
Связанные понятия
Дифференцирования Хассе–Шмидта являются гомоморфизмами K -алгебр.
![{\displaystyle A\to A[[t]].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дальнейшее составление с помощью карты, которая отправляет формальный степенной ряд к коэффициенту, дает вывод.![{\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- Бурбаки, Николя (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
- Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
- Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Бенджамин, ISBN 978-0-8053-7025-6.
- Коларж, Иван; Словак, Ян; Михор, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag.