Тензор энергии-импульса определяется как тензор T αβ второго порядка, который дает поток α - й компоненты вектора импульса через поверхность с постоянной координатой x β . В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырёхимпульс . В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен [1]
В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна-Картана , тензор энергии-напряжения может быть не совсем симметричным из-за ненулевого тензора спина , который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения .
Компоненты
Поскольку тензор энергии-импульса имеет порядок 2, его компоненты можно отобразить в матричной форме 4 × 4:
где индексы µ и ν принимают значения 0, 1, 2, 3.
Ниже k и ℓ варьируются от 1 до 3:
Компонент время-время — это плотность релятивистской массы, т. е. плотность энергии , деленная на квадрат скорости света, при нахождении в сопутствующей системе отсчета . [2] Оно имеет прямую физическую интерпретацию. В случае идеальной жидкости эта компонента равна
где - релятивистская масса единицы объема, а для электромагнитного поля в пустом пространстве эта компонента равна
где E и B — электрическое и магнитное поля соответственно. [3]
Поток релятивистской массы через поверхность x k эквивалентен плотности k -й компоненты импульса:
Компоненты
представляют поток k- й компоненты импульса через поверхность x ℓ . В частности,
(не суммируется) представляет собой нормальное напряжение в k -м направлении координат ( k = 1, 2, 3), которое называется « давлением », когда оно одинаково во всех направлениях, k . Остальные компоненты
В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжения определяется как пространственные компоненты тензора напряжения-энергии в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор энергии-импульса в технике отличается от релятивистского тензора энергии-импульса импульсно-конвективным членом.
Ковариантные и смешанные формы
Большая часть этой статьи посвящена контравариантной форме T µν тензора энергии-импульса. Однако часто приходится работать с ковариантной формой,
Дивергенция негравитационной энергии-напряжения равна нулю. Другими словами, негравитационная энергия и импульс сохраняются.
Когда гравитация незначительна и для пространства-времени используется декартова система координат , это можно выразить через частные производные как
Интегральная форма нековариантной формулировки имеет вид
где N — любая компактная четырехмерная область пространства-времени; — его граница — трёхмерная гиперповерхность; и является элементом границы, рассматриваемым как нормаль, направленная наружу.
В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:
Следовательно, если любое векторное поле Киллинга , то закон сохранения, связанный с симметрией, порожденной векторным полем Киллинга, может быть выражен как
Интегральная форма этого
В специальной теории относительности
В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотностях энергии и импульса данной системы, помимо плотностей потока импульса и энергии. [4]
Учитывая лагранжеву плотность , которая является функцией набора полей и их производных, но явно не какой-либо из координат пространства-времени, мы можем построить канонический тензор энергии-импульса (см. ниже), рассматривая полную производную по отношению к одной обобщенных координат системы. Итак, в нашем состоянии
Тогда, используя правило цепочки, мы имеем
Написано полезной стенографией,
Тогда мы можем использовать уравнение Эйлера-Лагранжа:
А затем воспользуемся тем фактом, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем
Мы можем признать правую часть правилом произведения. Запись его как производной произведения функций говорит нам, что
Теперь на плоском пространстве можно написать . Проделав это и переместив это на другую сторону уравнения, мы получим, что
И по условиям перегруппировки,
То есть дивергенция тензора в скобках равна 0. Действительно, этим мы определяем тензор энергии-импульса:
По конструкции он обладает свойством,
Заметим, что это бездивергентное свойство этого тензора эквивалентно четырем уравнениям непрерывности . То есть поля имеют как минимум четыре набора величин, подчиняющихся уравнению непрерывности. В качестве примера можно увидеть, что это плотность энергии системы и что, таким образом, можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса.
Действительно, поскольку это так, то, учитывая, что , мы тогда имеем
Тогда мы можем заключить, что члены представляют собой плотность потока энергии системы.
След
Обратите внимание, что след тензора энергии-импульса определяется как , поэтому
В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменяются ковариантными производными . Это означает, что уравнение непрерывности больше не подразумевает, что негравитационные энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, т.е. гравитационное поле может совершать работу над веществом и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией , которая не входит в тензор, и импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау-Лифшица является уникальным способом определения энергии гравитационного поля и плотности импульса. Любой такой псевдотензор энергии-напряжения можно локально обратить в нуль путем преобразования координат.
В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь вообще зависит от пространственноподобного среза. На самом деле не существует способа определить глобальный вектор энергии-импульса в общем искривленном пространстве-времени.
Уравнения поля Эйнштейна
В общей теории относительности тензор энергии-импульса изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как
Написанный на языке классической физики тензор энергии-напряжения будет иметь вид (релятивистская масса, импульс, двоичное произведение импульса и скорости)
где плотность массы-энергии ( килограммы на кубический метр), гидростатическое давление ( паскали ), четырехскоростная скорость жидкости и матрица, обратная метрическому тензору . Таким образом, след определяется выражением
Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с перемещениями в пространстве и времени. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть некоторая калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной, поскольку пространственно-зависимые калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными сдвигами.
В общей теории относительности переводы выполняются относительно системы координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. раздел ниже, посвященный гравитационному псевдотензору энергии-напряжения.
При наличии спина или другого собственного углового момента канонический тензор энергии-напряжения Нётер не может быть симметричным. Тензор энергии-напряжения Белинфанте-Розенфельда построен из канонического тензора энергии-напряжения и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным и при этом сохраняться. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором энергии-импульса Гильберта.
Гравитационный стресс-энергия
Согласно принципу эквивалентности гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально равно нулю в любой выбранной точке некоторой выбранной системы отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого нам придется использовать псевдотензор .
В общей теории относительности существует множество возможных различных определений гравитационного псевдотензора напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау–Лифшица . Псевдотензор Ландау–Лифшица можно свести к нулю в любом событии в пространстве-времени, выбрав подходящую систему координат.
↑ На стр. 141–142 книги Миснера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора энергии-напряжения» начинается со слов «Все тензоры энергии-напряжения, исследованные выше, были симметричными. То, что иначе они не могли бы быть, можно увидеть как следует».
^ Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
^ д'Инверно, РА (1992). Знакомство с теорией относительности Эйнштейна . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN978-0-19-859686-8.
^ Бейкер, MR; Кирющева Н.; Кузьмин, С. (2021). «Нётеровские и гильбертовы (метрические) тензоры энергии-импульса, вообще говоря, не эквивалентны». Ядерная физика Б . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Бибкод : 2021NuPhB.96215240B. doi :10.1016/j.nuclphysb.2020.115240. S2CID 227127490.
В. Висс (2005). «Тензор энергии-импульса в классической теории поля» (PDF) . Колорадо, США.
Внешние ссылки
Лекция, Стефан Ванер
Учебное пособие Калифорнийского технологического института по теории относительности - простое обсуждение связи между тензором напряжения-энергии общей теории относительности и метрикой.