Тензорное сокращение

В полилинейной алгебре тензорное сжатие — это операция над тензором , возникающая в результате канонического спаривания векторного пространства и двойственного ему пространства . В компонентах он выражается как сумма произведений скалярных компонентов тензора(ов), полученных в результате применения соглашения о суммировании к паре фиктивных индексов, которые связаны друг с другом в выражении. Сжатие одного смешанного тензора происходит, когда пара буквальных индексов (один нижний индекс, другой верхний индекс) тензора приравниваются друг к другу и суммируются. В обозначениях Эйнштейна это суммирование встроено в обозначения. В результате получается еще один тензор с уменьшенным на 2 порядком.

Тензорное сокращение можно рассматривать как обобщение следа .

Абстрактная формулировка

Пусть V — векторное пространство над полем k . Ядром операции сжатия и простейшим случаем является каноническое спаривание V с его двойственным векторным пространством V ^∗ . Спаривание представляет собой линейное отображение тензорного произведения этих двух пространств в поле k :

C:V\otimes V^{*}\rightarrow k

соответствующий билинейной форме

\langle v,f\rangle =f(v)

где f находится в V ^∗ , а v находится в V . Карта C определяет операцию сжатия тензора типа (1, 1) , который является элементом . Обратите внимание, что результатом является скаляр (элемент k ). В конечных размерностях , используя естественный изоморфизм между и пространства линейного отображения из V в V , ^[1] можно получить безбазисное определение следа . $V\otimes V^{*}$ $V\otimes V^{*}$

В общем, тензор типа ( m , n ) (с m ≥ 1 и n ≥ 1 ) является элементом векторного пространства.

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}

(где имеется m факторов V и n факторов V ^∗ ). ^[2]^[3] Применение канонического спаривания к k -му фактору V и l -му фактору V ^∗ и использование идентичности для всех остальных факторов определяет операцию сжатия ( k , l ), которая представляет собой линейное отображение, которое дает тензор типа ( m − 1, n − 1) . ^[2] По аналогии со случаем (1, 1) общую операцию сжатия иногда называют следом.

Сокращение индексных обозначений

В обозначениях тензорного индекса основное сжатие вектора и двойственного вектора обозначается как

{\tilde {f}}({\vec {v}})=f_ {\gamma }v^{\gamma },

что является сокращением для явного суммирования координат ^[4]

f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}

(где $v i$ — компоненты $v$ в конкретном базисе, а $fi —$ компоненты $f$ в соответствующем двойственном базисе).

Поскольку общий смешанный двоичный тензор представляет собой линейную комбинацию разложимых тензоров вида , явная формула для двоичного случая следующая: пусть $f\otimes v$

{\ displaystyle \ mathbf {T} = T_ {j} ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j}}

быть смешанным диадическим тензором. Тогда его сокращение

T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{ j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}

Общее сокращение обозначается обозначением одного ковариантного индекса и одного контравариантного индекса одной и той же буквой, причем суммирование по этому индексу подразумевается соглашением о суммировании . Результирующий сжатый тензор наследует остальные индексы исходного тензора. Например, сжатие тензора T типа (2,2) по второму и третьему индексам для создания нового тензора U типа (1,1) записывается как

T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{ a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.

Напротив, пусть

\mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i} \otimes \mathbf {e} ^{j}

быть несмешанным двоичным тензором. Этот тензор не сжимается; если его базовые векторы отмечены точками, ^{[ необходимы пояснения ]} результатом является контравариантный метрический тензор ,

g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}

ранг которого равен 2.

Метрическое сокращение

Как и в предыдущем примере, сокращение пары индексов, которые либо контравариантны, либо оба ковариантны, в общем случае невозможно. Однако при наличии внутреннего продукта (также известного как метрика ) g такие сокращения возможны. При необходимости метрика используется для повышения или понижения одного из индексов, а затем используется обычная операция сокращения. Комбинированная операция известна как метрическое сокращение . ^[5]

Приложение к тензорным полям

^Сжатие часто применяется к тензорным полям над пространствами (например, ^{евклидовым} пространством , многообразиями или схемами ⁾ . Поскольку сжатие является чисто алгебраической операцией, его можно точечно применить к тензорному полю, например, если T — тензорное поле (1,1) в евклидовом пространстве, то в любых координатах его сжатие (скалярное поле) U в точке x определяется выражением

U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)

Поскольку роль x здесь не сложна, она часто опускается, и обозначения для тензорных полей становятся идентичными обозначениям для чисто алгебраических тензоров.

Над римановым многообразием доступна метрика (поле скалярных произведений), и как метрические, так и неметрические сокращения имеют решающее значение для теории. Например, тензор Риччи — это неметрическое сжатие тензора кривизны Римана , а скалярная кривизна — это уникальное метрическое сжатие тензора Риччи.

Сжатие тензорного поля можно также рассматривать в контексте модулей над соответствующим кольцом функций на многообразии ^[5] или в контексте пучков модулей над структурным пучком; ^[6] см. обсуждение в конце этой статьи.

Тензорная дивергенция

В качестве применения сжатия тензорного поля пусть V — векторное поле на римановом многообразии (например, евклидовом пространстве ). Пусть – ковариантная производная V (в некотором выборе координат). В случае декартовых координат в евклидовом пространстве можно написать $V^{\alpha }{}_{\beta }$

V^{\alpha }{}_{\beta } = {\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.

Затем изменение индекса β на α приводит к тому, что пара индексов становится связанной друг с другом, так что производная сжимается сама с собой, получая следующую сумму:

V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},

что является расхождением div V . Затем

\operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0

является уравнением непрерывности для V .

В общем, можно определить различные операции дивергенции на тензорных полях более высокого ранга следующим образом. Если T - тензорное поле хотя бы с одним контравариантным индексом, то взятие ковариантного дифференциала и сжатие выбранного контравариантного индекса с новым ковариантным индексом, соответствующим дифференциалу, приводит к получению нового тензора ранга на единицу ниже, чем у T . ^[5]

Сжатие пары тензоров

Можно обобщить операцию сжатия ядра (вектор с двойным вектором) немного по-другому, рассмотрев пару тензоров T и U . Тензорное произведение — это новый тензор, который, если он имеет хотя бы один ковариантный и один контравариантный индекс, можно сжать. Случай, когда T — вектор, а U — двойственный вектор, — это именно основная операция, впервые представленная в этой статье. $T\otimes U$

В обозначении тензорного индекса, чтобы сжать два тензора друг с другом, их помещают рядом (рядом) как факторы одного и того же термина. Это реализует тензорное произведение, давая составной тензор. Сжатие двух индексов в этом составном тензоре реализует желаемое сжатие двух тензоров.

Например, матрицы можно представить в виде тензоров типа (1,1) с первым индексом контравариантным, а вторым индексом ковариантным. Пусть – компоненты одной матрицы и пусть – компоненты второй матрицы. Тогда их умножение задается следующим сжатием, примером сжатия пары тензоров: $\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ $\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }$

\Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }

Кроме того, внутреннее произведение вектора дифференциальной формы является частным случаем сжатия двух тензоров друг с другом.

Более общие алгебраические контексты

Пусть R — коммутативное кольцо и M — конечный свободный модуль над R. Тогда сжатие действует на полную (смешанную) тензорную алгебру M точно так же, как и в случае векторных пространств над полем. (Ключевым фактом является то, что каноническое спаривание в этом случае все еще идеально.)

В более общем смысле, пусть OX _— пучок коммутативных колец над топологическим пространством X , например, _OXможет быть структурным пучком комплексного многообразия , аналитического пространства или схемы . Пусть M — локально свободный пучок модулей над O _X конечного ранга. Тогда двойственный M по-прежнему хорошо себя ведет ^[6] , и операции сжатия имеют смысл в этом контексте.

Смотрите также

Примечания

^ Пусть L( V , V ) — пространство линейных отображений из V в V . Тогда естественная карта
$V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)$
определяется
$f\otimes v\mapsto g,$
где г ( ш ) знак равно ж ( ш ) v . Предположим, что V конечномерно. Если { v _i } является базисом V и { f i ^} является соответствующим двойственным базисом, то отображается в преобразование, чья матрица в этом базисе имеет только один ненулевой элемент, a 1 в позиции i , j . Это показывает, что отображение является изоморфизмом. $f^{i}\otimes v_{j}$
^ аб Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс . ГТМ . Том. 129. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
^ Уорнер, Фрэнк (1993). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . ГТМ . Том. 94. Нью-Йорк: Спрингер. стр. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.
^ В физике (а иногда и в математике) индексы часто начинаются с нуля, а не с единицы. В четырехмерном пространстве-времени индексы варьируются от 0 до 3.
^ abc О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности . Академическая пресса. п. 86. ИСБН 0-12-526740-1.
^ аб Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90244-9.