Четырехскоростной

В физике , в частности в специальной теории относительности и общей теории относительности , четырёхскорость — это четырёхмерный вектор в четырёхмерном пространстве -времени ^{[nb 1]} , который представляет собой релятивистский аналог скорости , которая является трёхмерным вектором в пространстве.

Физические события соответствуют математическим точкам во времени и пространстве, совокупность которых вместе образует математическую модель физического четырехмерного пространства-времени. История объекта прослеживает кривую в пространстве-времени, называемую его мировой линией . Если объект имеет массу , так что его скорость обязательно меньше скорости света , мировая линия может быть параметризована собственным временем объекта. Четырехскорость — это скорость изменения четырехпозиции относительно собственного времени вдоль кривой. Скорость, напротив, представляет собой скорость изменения положения объекта в (трехмерном) пространстве, видимого наблюдателем, по отношению ко времени наблюдателя.

Значение величины четырехскорости объекта, т.е. величина, полученная применением метрического тензора $g$ к четырехскорости $U$ , то есть $‖ U ‖ 2 = U \cdot U = g µν U ν U µ$ , всегда равно до $\pm c 2$ , где $c$ – скорость света. Применяется ли знак плюс или минус, зависит от выбора сигнатуры метрики . Для покоящегося объекта его четырехскорость параллельна направлению временной координаты с $U 0 = c$ . Таким образом, четырехскоростная скорость представляет собой нормализованный, направленный в будущее времениподобный касательный вектор к мировой линии и является контравариантным вектором . Хотя это вектор, сложение двух четырехскоростей не дает четырехскорости: пространство четырех скоростей само по себе не является векторным пространством . ^{[номер 2]}

Скорость

Путь объекта в трехмерном пространстве (в инерциальной системе отсчета) может быть выражен через три функции пространственных координат $x i (t)$ времени $t$ , где $i$ — индекс , принимающий значения 1, 2, 3.

Три координаты образуют трехмерный вектор положения , записанный как вектор-столбец.

{\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^ {3}(t)\end{bmatrix}}\,.

Компоненты скорости (касательной к кривой) в любой точке мировой линии равны ${\vec {u}}$

{\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\ vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{ \tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.

Каждый компонент просто пишется

u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}

Теория относительности

В теории относительности Эйнштейна путь объекта, движущегося относительно определенной системы отсчета, определяется четырьмя координатными функциями $x µ (τ)$ , где $µ$ — индекс пространства-времени, который принимает значение 0 для времениподобного компонента и 1, 2, 3 для пространственноподобных координат. Нулевой компонент определяется как временная координата, умноженная на $c$ ,

x^{0}=ct\,,

Каждая функция зависит от одного параметра τ , называемого ее собственным временем . В качестве вектора-столбца

\mathbf {x} = {\begin{bmatrix}x^{0}(\tau)\\x^{1}(\tau)\\x^{2}(\tau)\\x^ {3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.

Замедление времени

Из-за замедления времени дифференциалы в координатном времени $t$ и собственном времени $τ$ связаны соотношением

dt=\gamma (u)d\tau

фактор Лоренца

\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\,,

евклидовой нормы

u

{\vec {u}}

u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2) }\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.

Определение четырехскорости

Четырехскорость — это касательный четырёхвектор времениподобной мировой линии . Четырехскоростная скорость в любой точке мировой линии определяется как: $\mathbf {U}$ $\mathbf {X} (\tau)$

\mathbf {U} = {\frac {d\mathbf {X} {d\tau }}

четверка собственное время^[1]

\mathbf {X}

\тау

Четырехскоростная скорость, определенная здесь с использованием собственного времени объекта, не существует для мировых линий для безмассовых объектов, таких как фотоны, движущиеся со скоростью света; он также не определен для тахионных мировых линий, где касательный вектор пространственноподобен .

Компоненты четырехскоростного

Связь между временем $t$ и координатным временем $x 0$ определяется соотношением

x^{0}=ct.

Взяв производную от этого по собственному времени $τ$ , мы находим компонент скорости $U µ$ для $µ = 0$ :

U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt} d\tau }}=c\gamma (u)

а для остальных трех компонентов собственного времени мы получаем компонент скорости $U µ$ для $µ = 1, 2, 3$ :

U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}

правило цепочки

u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)

Таким образом, для четырехскорости находим : $\mathbf {U}$

\mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.

Записано в стандартной четырехвекторной записи:

\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)

\gamma c

\gamma {\vec {u}}

С точки зрения синхронизированных часов и линеек, связанных с конкретным фрагментом плоского пространства-времени, три пространственноподобных компонента четырехскорости определяют собственную скорость движущегося объекта , то есть скорость, с которой расстояние преодолевается в кадре эталонной карты за единицу собственного времени, прошедшего на часы, путешествующие вместе с объектом. $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$

В отличие от большинства других четырехвекторов, четырехскорость имеет только 3 независимых компонента вместо 4. Коэффициент является функцией трехмерной скорости . $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\gamma$ ${\vec {u}}$

Когда определенные скаляры Лоренца умножаются на четыре скорости, получаются новые физические четыре вектора, которые имеют четыре независимых компонента.

Например:

Четырехимпульсный : $\mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),$ где остальная масса $m_{o}$
Плотность четырех токов : $\mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),$ где плотность заряда $\rho _{o}$

Фактически, этот множитель объединяется со скалярным членом Лоренца, образуя 4-й независимый компонент. $\gamma$

m=\gamma m_{o}

\rho =\gamma \rho _{o}.

Величина

Используя дифференциал четырехпозиции в остальном кадре, величину четырехскорости можно получить с помощью метрики Минковского с сигнатурой $(-, +, +, +)$ :

\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,

\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}

В движущемся кадре та же норма:

\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),

-c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),

что сводится к определению фактора Лоренца.

Смотрите также

Примечания

^ Технически, четырехвектор следует рассматривать как находящийся в касательном пространстве точки пространства-времени, а само пространство-время моделируется как гладкое многообразие . Это различие важно в общей теории относительности.
^ Набор четырех скоростей является подмножеством касательного пространства (которое является векторным пространством) в момент события. Метка «четыре вектора» связана с поведением при преобразованиях Лоренца , а именно, под каким конкретным представлением они преобразуются.