Метрический тензор (общая теория относительности)

Тензор, описывающий четырехмерную геометрию пространства-времени.

В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно просто метрика ) является фундаментальным объектом исследования. Метрика отражает всю геометрическую и причинную структуру пространства -времени и используется для определения таких понятий, как время, расстояние, объем, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого.

В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физическое содержание связанных с ним уравнений совершенно иное. ^[1] Гутфренд и Ренн говорят, «что в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором». ^[2]

Обозначения и соглашения

В этой статье используется метрическая сигнатура , которая в основном положительна ( − + + + ); см. соглашение о знаках . Постоянная гравитации будет оставаться явной. В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при котором повторяющиеся индексы суммируются автоматически. ${\displaystyle G}$

Определение

Математически пространство- время представляется четырехмерным дифференцируемым многообразием , а метрический тензор задается как ковариантный симметричный тензор второй степени на , условно обозначаемый . При этом метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +) . Многообразие, снабженное такой метрикой, является разновидностью лоренцева многообразия . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Явно, метрический тензор представляет собой симметричную билинейную форму в каждом касательном пространстве , которая плавно (или дифференцируемо) меняется от точки к точке. Учитывая два касательных вектора и в точке , метрику можно вычислить и получить действительное число: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$

произведенияевклидова пространстваположительно определенопространства Минковского

Локальные координаты и матричные представления

Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. координатах, определенных на каком-то локальном участке Земли ). В локальных координатах (где – индекс от 0 до 3) метрику можно записать в виде ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$

одноформенные градиентытензорных произведенийтензорное поле-временного ${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$

Если локальные координаты указаны или поняты из контекста, метрика может быть записана как симметричная матрица 4 × 4 с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель), а лоренцева подпись означает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Физики часто называют эту матрицу или сами координаты метрикой (см., однако, обозначение абстрактного индекса ). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Поскольку величины рассматриваются как компоненты бесконечно малого четырехвектора смещения координат (не путать с одноформами того же обозначения выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервал . Интервал часто обозначается ${\displaystyle dx^{\mu }}$

$${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

Интервал передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда интервал времениподобен , а квадратный корень из абсолютного значения представляет собой приращение собственного времени . Массивный объект может физически пересечь только времяподобные интервалы. Когда , интервал светоподобен и может быть пройден только (безмассовыми) объектами, движущимися со скоростью света. Когда интервал аналогичен пространству, а квадратный корень из действует как приращение собственной длины . Пространственноподобные интервалы невозможно пересечь, поскольку они связывают события, находящиеся вне световых конусов друг друга . События могут быть причинно связаны только в том случае, если они находятся внутри световых конусов друг друга. ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}<0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При изменении координат компоненты метрики преобразуются как ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$

$${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

Характеристики

Метрический тензор играет ключевую роль в манипулировании индексами . В индексной записи коэффициенты метрического тензора обеспечивают связь между ковариантными и контравариантными компонентами других тензоров. Сжатие контравариантного индекса тензора с одним из ковариантных коэффициентов метрического тензора приводит к снижению индекса ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$

$${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$

повышения и понижения индексов

$${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$

Примеры

Плоское пространство-время

Простейшим примером лоренцева многообразия является плоское пространство-время , которое можно задать как R ⁴ с координатами и метрикой. ${\displaystyle (t,x,y,z)}$

$${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

R ⁴метрика Минковскогоηспециальной теории относительностиη

$${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

пространстве Минковского § Стандартный базис ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \eta }$

В сферических координатах метрика плоского пространства принимает вид ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$

$${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$

$${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$$

2-сфере

Метрики черной дыры

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, невращающуюся черную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.

Метрика Шварцшильда

Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в ​​общей теории относительности является метрика Шварцшильда , которую можно задать в одном наборе локальных координат формулой

$${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$

2-сферегравитационная постояннаямассыздесь ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

С координатами

$${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$$

$${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$$

Для метрики Шварцшильда было разработано несколько других систем координат: координаты Эддингтона – Финкельштейна , координаты Гулстранда – Пенлеве , координаты Крускала – Секереса и координаты Леметра .

Вращающиеся и заряженные черные дыры

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжен. Чтобы учитывать заряд, метрика должна удовлетворять уравнениям поля Эйнштейна, как и раньше, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера – Нордстрема .

Вращающиеся черные дыры описываются метрикой Керра и метрикой Керра-Ньюмана . ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Другие показатели

Другими примечательными показателями являются:

• Метрика Алькубьерре ,
• метрики де Ситтера / анти-де Ситтера ,
• метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера ,
• изотропные координаты ,
• метрика Леметра–Толмана ,
• метрика Переса ,
• Координаты Риндлера ,
• Координаты Вейля–Льюиса–Папапетру ,
• Метрика Гёделя .

Некоторые из них лишены горизонта событий или могут быть лишены гравитационной сингулярности .

Объем

Метрика g порождает естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по определенной области многообразия. Учитывая локальные координаты многообразия, форму объема можно записать ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$

определитель ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$

Кривизна

Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии , на любом полуримановом многообразии существует единственная связность ∇ , совместная с метрикой и не имеющая кручения . Эта связь называется связью Леви-Чивита . Символы Кристоффеля этой связи задаются через частные производные метрики в локальных координатах по формуле ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$

частные производные

Тогда кривизна пространства-времени задается тензором кривизны Римана , который определяется в терминах связи Леви-Чивита ∇. В местных координатах этот тензор имеет вид:

$${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

Тогда кривизна выражается исключительно через метрику и ее производные. ${\displaystyle g}$

Уравнения Эйнштейна

Одна из основных идей общей теории относительности заключается в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется материей и энергетическим содержанием пространства -времени . Уравнения поля Эйнштейна :

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$

тензор кривизны Риччи

$${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$

скалярная кривизна

$${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$

тензором энергии-импульсатензорноеуравнений в частных производныхТочные решения ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Смотрите также

• Альтернативы общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Математика общей теории относительности
• исчисление Риччи

Рекомендации

1. Подробности см. в разделе 2.11 « Метрический тензор и классический гравитационный потенциал » в книге Чоу, Тай Л. (2008). Гравитация, черные дыры и очень ранняя Вселенная: введение в общую теорию относительности и космологию. Спрингер. ISBN 9780387736310.
2. Гутфренд, Ханох; Ренн, Юрген (2015). Дорога к теории относительности: история и значение книги Эйнштейна «Основы общей теории относительности» с оригинальной рукописью шедевра Эйнштейна. Издательство Принстонского университета. п. 75. ИСБН 9780691175812.

• Список ссылок см. в ресурсах по общей теории относительности .