Координаты Крускала – Секереса

Система координат для геометрии Шварцшильда

Диаграмма Крускала – Секереса, проиллюстрированная для 2 GM =1. Квадранты — это внутренняя часть черной дыры (II), внутренняя часть белой дыры (IV) и две внешние области (I и III). Пунктирные линии под углом 45°, разделяющие эти четыре региона, представляют собой горизонты событий . Более темные гиперболы, ограничивающие верхнюю и нижнюю часть диаграммы, — это физические сингулярности. Более бледные гиперболы представляют контуры координаты Шварцшильда r , а прямые линии, проходящие через начало координат, представляют контуры координаты Шварцшильда t .

В общей теории относительности координаты Крускала-Секереса , названные в честь Мартина Крускала и Джорджа Секереса , представляют собой систему координат для геометрии Шварцшильда для черной дыры . Эти координаты имеют то преимущество, что они охватывают все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо ведут себя всюду за пределами физической сингулярности. На горизонте нет вводящей в заблуждение сингулярности координат.

Координаты Крускала – Секереса также применимы к пространству-времени вокруг сферического объекта, но в этом случае не дают описания пространства-времени внутри радиуса объекта. Пространство-время в области коллапса звезды в черную дыру аппроксимируется координатами Крускала – Секереса (или координатами Шварцшильда ). Поверхность звезды остается вне горизонта событий в координатах Шварцшильда, но пересекает его в координатах Крускала – Секереса. (В любой «черной дыре», которую мы наблюдаем , мы видим ее в тот момент, когда ее материя еще не закончила коллапс, поэтому на самом деле это еще не черная дыра.) Точно так же объекты, падающие в черную дыру, остаются за горизонтом событий. в координатах Шварцшильда, но пересечь его в координатах Крускала – Секереса.

Определение

Диаграмма Крускала – Секереса. В каждом кадре анимации отображается синяя гипербола как поверхность, на которой радиальная координата Шварцшильда постоянна (и с меньшим значением в каждом последующем кадре, пока не заканчивается в сингулярностях).

Координаты Крускала-Секереса в геометрии черной дыры определяются на основе координат Шварцшильда путем замены t и r на новую времениподобную координату T и новую пространственноподобную координату : ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

для внешней области за горизонтом событий и: ${\displaystyle r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle X=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

для внутреннего региона . Вот гравитационная постоянная , умноженная на массовый параметр Шварцшильда, и в этой статье используются единицы , где = 1. ${\displaystyle 0<r<2GM}$ ${\displaystyle GM}$ ${\displaystyle c}$

Отсюда следует, что при объединении внешней области, горизонта событий и внутренней области радиальная координата Шварцшильда (не путать с радиусом Шварцшильда ) определяется через координаты Крускала – Секереса как (единственное) решение уравнения уравнение: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^{2}<1}$

Используя функцию Ламберта W, решение записывается как:

${\displaystyle r=2GM\left(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\right)\right)}$.

Более того, сразу видно, что во внешней по отношению к черной дыре области ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (T/X)}$

тогда как во внутренней области черной дыры ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {artanh} } (X/T)}$

В этих новых координатах метрика многообразия черных дыр Шварцшильда имеет вид

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{2}g_{\Omega },}$

записано с использованием соглашения о сигнатурах метрики (− + + +) и где угловая составляющая метрики (риманова метрика 2-сферы) равна:

${\displaystyle g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$.

Выражение метрики в такой форме ясно показывает, что радиальные нулевые геодезические, т.е. с константой, параллельны одной из прямых . В координатах Шварцшильда радиус Шварцшильда — это радиальная координата горизонта событий . В координатах Крускала-Секереша горизонт событий определяется как . Обратите внимание, что метрика совершенно четко определена и несингулярна на горизонте событий. Особенность кривизны расположена при . ${\displaystyle \Omega =\Omega (\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle T=\pm X}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle r=r_{\text{s}}=2GM}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

Максимально расширенное решение Шварцшильда

Преобразование между координатами Шварцшильда и координатами Крускала – Секереса определено при r  > 2 GM и может быть продолжено как аналитическая функция, по крайней мере, до первой особенности, которая возникает при . Таким образом, приведенная выше метрика является решением уравнений Эйнштейна во всей этой области. Допустимые значения: ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ ${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Обратите внимание, что это расширение предполагает, что решение всюду аналитично.

В максимально расширенном решении фактически есть две особенности при r = 0: одна для положительного T и одна для отрицательного T . Отрицательная Т- сингулярность — это обращенная во времени черная дыра, которую иногда называют « белой дырой ». Частицы могут покинуть белую дыру, но никогда не смогут вернуться.

Максимально расширенную геометрию Шварцшильда можно разделить на 4 области, каждая из которых может быть покрыта подходящим набором координат Шварцшильда. С другой стороны, координаты Крускала – Секереса охватывают все многообразие пространства-времени. Четыре региона разделены горизонтами событий.

Приведенное выше преобразование между координатами Шварцшильда и Крускала–Секереса применимо только в областях I и II (если считать квадратный корень положительным). Аналогичное преобразование можно записать и в двух других регионах.

Временная координата Шварцшильда t определяется выражением

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\right)={\begin{cases}T/X&{\text{(in I and III)}}\\X/T&{\text{(in II and IV)}}\end{cases}}}$

В каждом регионе он простирается от до с бесконечностью на горизонте событий. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

Основываясь на требованиях унитарности квантового процесса излучения Хокинга , 'т Хофт предположил ^{[1] , что области I и III, а также II и IV являются} просто математическими артефактами, возникающими в результате выбора ветвей для корней, а не параллельных вселенных, и что эквивалентность связь

${\displaystyle (T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )}$

следует наложить, где находится антипод на 2-сфере. Если мы думаем, что области III и IV имеют сферические координаты, но с отрицательным выбором квадратного корня для вычисления , тогда мы просто соответственно используем противоположные точки на сфере для обозначения одной и той же точки в пространстве, например ${\displaystyle -\Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle (t^{\text{(I)}},r^{\text{(I)}},\Omega ^{\text{(I)}})=(t,r,\Omega )\sim (t^{\text{(III)}},r^{\text{(III)}},\Omega ^{\text{(III)}})=(t,-r,-\Omega ).}$

Это значит, что . Поскольку это свободное действие группы, сохраняющей метрику, это дает корректно определенное лоренцево многообразие (везде, кроме особенности). Он идентифицирует предел внутренней области II, соответствующий отрезку координатной линии, с пределом внешней области I, соответствующей . Идентификация действительно означает, что, хотя каждая пара соответствует сфере, точка (соответствующая горизонту событий в картине Шварцшильда) соответствует не сфере, а проективной плоскости , и топология основного многообразия больше не равна . Многообразие больше не является просто связным , поскольку петля (включающая сверхсветовые части), идущая из точки пространства-времени обратно в себя, но в противоположных координатах Крускала – Секереса, не может быть сведена к нулевой петле. ${\displaystyle r^{\text{(I)}}\Omega ^{\text{(I)}}=r^{\text{(III)}}\Omega ^{\text{(III)}}=r\Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle t^{\text{(II)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$ ${\displaystyle t^{\text{(I)}}=-\infty }$ ${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$ ${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle (T,X)=(0,0)}$ ${\displaystyle r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$

Качественные особенности диаграммы Крускала – Секереса

Координаты Крускала – Секереса обладают рядом полезных особенностей, которые делают их полезными для построения интуиции о пространстве-времени Шварцшильда. Главным из них является тот факт, что все радиальные светоподобные геодезические ( мировые линии световых лучей, движущихся в радиальном направлении) выглядят как прямые линии под углом 45 градусов, если их нарисовать на диаграмме Крускала – Секереса (это можно вывести из метрическое уравнение, приведенное выше, которое гарантирует, что если то собственное время ). ^[2] Все времяподобные мировые линии объектов, движущихся медленнее света, в каждой точке будут иметь наклон ближе к вертикальной оси времени ( координата T ), чем 45 градусов. Итак, световой конус, нарисованный на диаграмме Крускала-Секереша, будет выглядеть точно так же, как световой конус на диаграмме Минковского в специальной теории относительности . ${\displaystyle dX=\pm dT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$

Горизонты событий, ограничивающие внутренние области черной дыры и белой дыры, также представляют собой пару прямых линий под углом 45 градусов, что отражает тот факт, что луч света, испускаемый на горизонте в радиальном направлении (направленный наружу в случае черной дыры, внутрь в случае с белой дырой) навсегда осталась бы на горизонте. Таким образом, два горизонта черной дыры совпадают с границами будущего светового конуса события в центре диаграммы (при T = X =0), а два горизонта белой дыры совпадают с границами светового конуса прошлого этого события. то же событие. Любое событие внутри внутренней области черной дыры будет иметь будущий световой конус, который останется в этой области (так что любая мировая линия внутри будущего светового конуса события в конечном итоге попадет в сингулярность черной дыры, которая выглядит как гипербола, ограниченная двумя черными дырами). горизонты), и любое событие внутри внутренней области белой дыры будет иметь световой конус прошлого, который останется в этой области (так что любая мировая линия внутри этого светового конуса прошлого должна была возникнуть в сингулярности белой дыры, гиперболе, ограниченной двумя белыми дырами). горизонты дыр). Обратите внимание: хотя горизонт выглядит как расширяющийся наружу конус, площадь этой поверхности, определяемая r , является константой. Т.е. эти координаты могут быть обманчивыми, если не соблюдать осторожность. ${\displaystyle 16\pi M^{2}}$

Может быть поучительно рассмотреть, как будут выглядеть кривые постоянной координаты Шварцшильда , нанесенные на диаграмму Крускала – Секереса. Оказывается, кривые постоянной r -координаты в координатах Шварцшильда всегда выглядят как гиперболы, ограниченные парой горизонтов событий под углом 45 градусов, а линии постоянной t -координаты в шварцшильдовских координатах всегда выглядят как прямые линии под разными углами, проходящие через центр диаграммы. Горизонт событий черной дыры, граничащий с внешней областью I, совпадал бы с t -координатой Шварцшильда, в то время как горизонт событий белой дыры, граничащий с этой областью, совпадал бы с t -координатой Шварцшильда , отражая тот факт, что в координатах Шварцшильда падающая частица занимает бесконечную координатное время, чтобы достичь горизонта (т.е. расстояние частицы от горизонта приближается к нулю, когда t -координата Шварцшильда приближается к бесконечности), и частица, путешествующая вверх от горизонта, должна была пересечь ее за бесконечное координатное время в прошлом. Это всего лишь артефакт того, как определяются координаты Шварцшильда; свободно падающей частице потребуется только конечное собственное время (время, измеренное ее собственными часами), чтобы пройти между внешним наблюдателем и горизонтом событий, и если мировая линия частицы нарисована на диаграмме Крускала – Секереса, это также будет только возьмем конечное координатное время в координатах Крускала – Секереса. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Система координат Шварцшильда может охватывать только одну внешнюю область и одну внутреннюю область, например области I и II на диаграмме Крускала – Секереса. С другой стороны, система координат Крускала – Секереса может охватывать «максимально расширенное» пространство-время, которое включает область, охватываемую координатами Шварцшильда. Здесь «максимально расширенное» относится к идее о том, что пространство-время не должно иметь никаких «краев»: любой геодезический путь может быть продлен сколь угодно далеко в любом направлении, если только он не упирается в гравитационную сингулярность . Технически это означает, что максимально расширенное пространство-время является либо «геодезически полным» (то есть любая геодезическая может быть расширена до сколь угодно больших положительных или отрицательных значений ее «аффинного параметра», ^[3] что в случае времениподобной геодезической может быть просто собственное время ), или если какие-либо геодезические являются неполными, то это может быть только потому, что они заканчиваются в сингулярности. ^{[4] [5]} Чтобы удовлетворить этому требованию, было обнаружено, что помимо внутренней области черной дыры (область II), в которую частицы попадают, когда они падают через горизонт событий извне (область I), должны существовать быть отдельной внутренней областью белой дыры (область IV), которая позволяет нам расширить траектории частиц, которые, как видит внешний наблюдатель, поднимаются от горизонта событий, наряду с отдельной внешней областью (область III), которая позволяет нам расширить некоторые возможные траектории частиц в двух внутренних областях. На самом деле существует множество возможных способов расширить внешнее решение Шварцшильда в максимально расширенное пространство-время, но расширение Крускала-Секереса уникально тем, что оно представляет собой максимальное, аналитическое , односвязное вакуумное решение , в котором все максимально расширенные геодезические либо полны, либо скаляр кривизны расходится вдоль них за конечное аффинное время. ^[6]

Вариант светового конуса

В литературе координаты Крускала – Секереса иногда встречаются и в варианте светового конуса:

${\displaystyle U=T-X}$

${\displaystyle V=T+X,}$

в котором метрика определяется выражением

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^{2},}$

а r определяется неявно уравнением ^[7]

${\displaystyle UV=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}.}$

Эти координаты светового конуса имеют полезную особенность: исходящие нулевые геодезические задаются как , а входящие нулевые геодезические задаются как . Кроме того, горизонт(ы) событий (будущего и прошлого) задаются уравнением , а сингулярность кривизны задается уравнением . ${\displaystyle U={\text{constant}}}$ ${\displaystyle V={\text{constant}}}$ ${\displaystyle UV=0}$ ${\displaystyle UV=1}$

Координаты светового конуса тесно связаны с координатами Эддингтона – Финкельштейна . ^[8]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Координаты Шварцшильда
• Координаты Леметра
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Изотропные координаты
• Координаты Гулстранд – Пенлеве

Примечания

1. 'т Хофт, Джерард (2019). «Квантовая черная дыра как теоретическая лаборатория, педагогическая трактовка нового подхода». arXiv : 1902.10469 [gr-qc].
2. Миснер, Чарльз В.; Кип С. Торн; Джон Арчибальд Уилер (1973). Гравитация . У. Х. Фриман . п. 835. ИСБН 978-0-7167-0344-0.
3. Хокинг, Стивен В.; Джордж Ф. Р. Эллис (1975). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета . п. 257. ИСБН 978-0-521-09906-6.
4. Хобсон, Майкл Пол; Джордж Эфстатиу; Энтони Н. Ласенби (2006). Общая теория относительности: введение для физиков . Издательство Кембриджского университета. п. 270. ИСБН 978-0-521-82951-9.
5. Эллис, Джордж; Антонио Ланца; Джон Миллер (1994). Возрождение общей теории относительности и космологии: обзор, посвященный 65-летию Денниса Шиамы . Издательство Кембриджского университета. стр. 26–27. ISBN 978-0-521-43377-8.
6. Аштекар, Абхай (2006). Сто лет теории относительности . Всемирная научная издательская компания . п. 97. ИСБН 978-981-256-394-1.
7. Муханов, Вячеслав; Сергей Виницкий (2007). Введение в квантовые эффекты в гравитации . Издательство Кембриджского университета. стр. 111–112. ISBN 978-0-521-86834-1.
8. Миснер, Торн и Уиллер, Гравитация.

Рекомендации

• Миснер, Торн, Уилер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)