Метрика Леметра – Толмана

В физике метрика Леметра-Толмана , также известная как метрика Леметра-Толмана-Бонди или метрика Толмана , представляет собой лоренцеву метрику, основанную на точном решении уравнений поля Эйнштейна ; он описывает изотропную и расширяющуюся (или сжимающуюся) Вселенную , которая не является однородной ^{[1] [2]} и поэтому используется в космологии как альтернатива стандартной метрике Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера для моделирования расширения Вселенной . ^{[3] [4] [5]} Его также использовали для моделирования Вселенной, которая имеет фрактальное распределение материи, чтобы объяснить ускоряющееся расширение Вселенной . ^[6] Впервые он был обнаружен Жоржем Леметром в 1933 году ^[7] и Ричардом Толманом в 1934 году ^[1] и позже исследован Германом Бонди в 1947 году. ^[8]

Подробности

В синхронной системе отсчета, где и , временная координата (мы устанавливаем ) также является собственным временем , и часы во всех точках могут быть синхронизированы. Для пылеобразной среды, где давление равно нулю, пылевые частицы движутся свободно, т. е. вдоль геодезических, и поэтому синхронная система отсчета также является сопутствующей системой отсчета, в которой компоненты четырех скоростей равны . Решение уравнений поля дает ^[9] ${\displaystyle g_{00}=1}$ ${\displaystyle g_{0\alpha }=0}$ ${\displaystyle x^{0}=t}$ ${\displaystyle G=c=1}$ ${\displaystyle \tau ={\sqrt {g_{00}}}x^{0}}$ ${\displaystyle u^{i}=dx^{i}/ds}$ ${\displaystyle u^{0}=1,\,u^{\alpha }=0}$

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-e^{\lambda (\tau ,R)}dR^{2}-r^{2}(\tau ,R)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

где - радиус или расстояние светимости в том смысле, что площадь поверхности сферы с радиусом интерпретируется просто как лагранжева координата и ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle e^{\lambda }={\frac {r'^{2}}{1+f(R)}},\quad \left({\frac {\partial r}{\partial \tau }}\right)^{2}=f(R)+{\frac {F(R)}{r}},\quad 4\pi r^{2}\rho ={\frac {F'(R)}{2r'}}}$

подчиненным условиям и , где и – произвольные функции, является плотность материи и, наконец, штрихи обозначают дифференцирование по . Можно также предположить , что исключаются случаи, приводящие к пересечению частиц материала при его движении. Каждой частице соответствует значение , функция и ее производная по времени соответственно дают ее закон движения и лучевую скорость. Интересным свойством описанного выше решения является то, что когда и отображаются как функции от , форма этих функций, отображаемых для диапазона, не зависит от того, как эти функции будут построены для . Это предсказание, очевидно, похоже на теорию Ньютона. Полная масса внутри сферы определяется выражением ${\displaystyle 1+f>0}$ ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle F(R)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F'>0}$ ${\displaystyle r'>0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r(\tau ,R)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle F(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\in [0,R_{0}]}$ ${\displaystyle R>R_{0}}$ ${\displaystyle R=R_{0}}$

${\displaystyle m=4\pi \int _{0}^{r(\tau ,R_{0})}\rho r^{2}dr=4\pi \int _{0}^{R_{0}}\rho r'r^{2}dR={\frac {F(R_{0})}{2}}}$

из чего следует, что радиус Шварцшильда определяется выражением . ${\displaystyle r_{s}=2m=F(R_{0})}$

Функция может быть получена при интегрировании и задается в параметрической форме с параметром с тремя возможностями: ${\displaystyle r(\tau ,R)}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle f>0:~~~~~~~~r={\frac {F}{2f}}(\cosh \eta -1),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2f^{3/2}}}(\sinh \eta -\eta ),}$

${\displaystyle f<0:~~~~~~~~r={\frac {F}{-2f}}(1-\cosh \eta ),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2(-f)^{3/2}}}(\eta -\sinh \eta )}$

${\displaystyle f=0:~~~~~~~~r=\left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3}.}$

где появляется еще одна произвольная функция. Однако мы знаем, что центрально-симметричное распределение материи может быть описано не более чем двумя функциями, а именно распределением их плотности и лучевой скоростью материи. Это означает, что из трех функций только две независимы. Фактически, поскольку для лагранжевой координаты, которую можно было бы подвергнуть произвольному преобразованию, еще не было сделано никакого конкретного выбора, мы видим, что только две функции являются произвольными. ^[10] Для пылеподобной среды существует другое решение, где и не зависит от , хотя такое решение не соответствует коллапсу конечного тела материи. ^[11] ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle f,F,\tau _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r=r(\tau )}$ ${\displaystyle R}$

Решение Шварцшильда

При конст., а значит, решение соответствует пустому пространству с точечной массой, расположенной в центре. Далее, установив и , решение сводится к решению Шварцшильда, выраженному в координатах Леметра . ${\displaystyle F=r_{s}=}$ ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \tau _{0}=R}$

Гравитационный коллапс

Гравитационный коллапс происходит при достижении с . Момент соответствует приходу материи, обозначаемой ее лагранжевой координатой, к центру. Во всех трех случаях при асимптотическое поведение определяется выражением ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle \tau _{0}'>0}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow \tau _{0}(R)}$

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2F}{3}}\right)^{1/3}{\frac {\tau _{0}'}{\sqrt {1+f}}}(\tau _{0}-\tau )^{-1/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {F'}{3F\tau _{0}'(\tau _{0}-\tau )}}}$

в котором первые два соотношения показывают, что в сопутствующей системе отсчета все радиальные расстояния стремятся к бесконечности, а тангенциальные расстояния стремятся к нулю , как материальная частица одна и та же, асимптотическое поведение различно, ${\displaystyle \tau -\tau _{0}}$ ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau ).}$ ${\displaystyle \tau _{0}(R)=}$

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{3}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2}{3}}\right)^{1/3}{\frac {F'}{2F^{2/3}{\sqrt {1+f}}}}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {2}{3(\tau _{0}-\tau )^{2}}}.}$

При этом как тангенциальное, так и радиальное расстояния стремятся к нулю как , тогда как плотность материи возрастает как ${\displaystyle (\tau _{0}-\tau )^{2/3}}$ ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )^{2}.}$

Смотрите также

• Координаты Леметра
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский угловой момент
• неоднородная космология

Рекомендации

1. Толман, Ричард К. (1934). «Влияние неоднородности на космологические модели». Учеб. Натл. акад. Наука . 20 (3). Национальная академия наук США: 169–76. Бибкод : 1934PNAS...20..169T. дои : 10.1073/pnas.20.3.169 . ПМК  1076370 . ПМИД  16587869.
2. Красинский, Анджей (1997).Неоднородные космологические модели.(1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48180-5.
3. У. Д'Арси Кенворти; Дэн Сколник; Адам Рисс (24 апреля 2019 г.). «Локальный взгляд на натяжение Хаббла: локальная структура не влияет на измерение постоянной Хаббла». Астрофизический журнал . 875 (2): 145. arXiv : 1901.08681 . Бибкод : 2019ApJ...875..145K. дои : 10.3847/1538-4357/ab0ebf .
4. Ронг-Ген Цай; Цзя-Фэн Дин; Цзун-Куан Го; Шао-Цзян Ван; Ван-Вэй Ю (22 июня 2021 г.). «Подтверждают ли данные наблюдений локальную пустоту?». Физический обзор D . 103 (12): 123539. arXiv : 2012.08292 . Бибкод : 2021PhRvD.103l3539C. doi : 10.1103/PhysRevD.103.123539. S2CID  229180790.
5. Владимир В. Лукович; Балакришна С. Харидасу; Никола Витторио (4 ноября 2019 г.). «Изучение доказательств существования большой локальной пустоты с помощью данных о сверхновых Ia». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 491 (2). arXiv : 1907.11219 . doi : 10.1093/mnras/stz3070.
6. Леонардо Космаи; Джузеппе Фаницца; Франческо Силос Лабини; Лучано Пьетронеро; Луиджи Тедеско (28 января 2019 г.). «Фрактальная вселенная и космическое ускорение в сценарии Леметра – Толмана – Бонди». Классическая и квантовая гравитация . 36 (4): 045007. arXiv : 1810.06318 . Бибкод : 2019CQGra..36d5007C. дои : 10.1088/1361-6382/aae8f7. S2CID  119517591.
7. Леметр, Г. (1933). «Вселенная в расширении». Анналы научного общества Брюсселя . 53 : 51–85.
8. Бонди, Герман (1947). «Сферически симметричные модели в общей теории относительности». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 107 (5–6): 410–425. Бибкод : 1947MNRAS.107..410B. дои : 10.1093/mnras/107.5-6.410 .
9. Ландау, LD (Ред.). (2013). Классическая теория полей (Том 2). Эльзевир.
10. Зельдович Ю.Б., Новиков И.Д. (2014). Звезды и относительность. Курьерская корпорация.
11. Рубан, Вирджиния (1969). Сферически симметричные Т-модели в общей теории относительности. Советский журнал экспериментальной и теоретической физики, 29.