Метрический тензор (общая теория относительности)

Тензор, описывающий 4D-геометрию пространства-времени

В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно называемый просто метрикой ) является фундаментальным объектом изучения. Метрика охватывает всю геометрическую и причинную структуру пространства -времени , используясь для определения таких понятий, как время, расстояние, объем, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого.

В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физическое содержание связанных с ним уравнений совершенно иное. ^[1] Гутфройнд и Ренн говорят, что «в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором». ^[2]

Обозначения и соглашения

В этой статье используется метрическая сигнатура , которая в основном положительна ( − + + + ); см. соглашение о знаках . Гравитационная постоянная будет сохранена явной. В этой статье используется соглашение о суммировании Эйнштейна , где повторяющиеся индексы автоматически суммируются. ${\displaystyle G}$

Определение

Математически пространство-время представлено четырехмерным дифференцируемым многообразием , а метрический тензор задается как ковариантный , второй степени , симметричный тензор на , условно обозначаемый как . Более того, метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +) . Многообразие, снабженное такой метрикой, является типом лоренцева многообразия . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Явно, метрический тензор является симметричной билинейной формой на каждом касательном пространстве , которая изменяется плавно (или дифференцируемо) от точки к точке. При наличии двух касательных векторов и в точке в , метрику можно оценить на и , чтобы получить действительное число: Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства . В отличие от евклидова пространства — где скалярное произведение положительно определено — метрика неопределенна и придает каждому касательному пространству структуру пространства Минковского . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$$

Локальные координаты и матричные представления

Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. координатах, определенных на некотором локальном участке ) . В локальных координатах (где — индекс, который изменяется от 0 до 3) метрику можно записать в виде Факторы — это градиенты одной формы скалярных полей координат . Таким образом, метрика является линейной комбинацией тензорных произведений градиентов одной формы координат. Коэффициенты — это набор из 16 функций с действительными значениями (поскольку тензор — это тензорное поле , которое определено во всех точках пространственно-временного многообразия). Для того чтобы метрика была симметричной, дающей 10 независимых коэффициентов. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$$ ${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$$

Если локальные координаты указаны или понятны из контекста, метрику можно записать как симметричную матрицу 4 × 4 с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица невырождена (т. е. имеет неисчезающий определитель), в то время как лоренцева сигнатура подразумевает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Физики часто называют эту матрицу или сами координаты метрикой (см., однако, абстрактную индексную нотацию ). ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

При рассмотрении величин как компонентов бесконечно малого координатного смещения четырехвектора (не путать с один-формами той же записи выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервалом . Интервал часто обозначается ${\displaystyle dx^{\mu }}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$

Интервал передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда , интервал времениподобен , а квадратный корень из абсолютного значения является инкрементным собственным временем . Только времениподобные интервалы могут быть физически пройдены массивным объектом. Когда , интервал светаподобен и может быть пройден только (безмассовыми) объектами, движущимися со скоростью света. Когда , интервал пространстваподобен, а квадратный корень из действует как инкрементная собственная длина . Пространственноподобные интервалы не могут быть пройдены, поскольку они соединяют события, которые находятся вне световых конусов друг друга . События могут быть причинно связаны, только если они находятся внутри световых конусов друг друга. ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}<0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$ ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle ds^{2}>0}$ ${\displaystyle ds^{2}}$

Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При изменении координат компоненты метрики преобразуются как ${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$ $${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$$

Характеристики

Метрический тензор играет ключевую роль в манипуляции индексами . В индексной нотации коэффициенты метрического тензора обеспечивают связь между ковариантными и контравариантными компонентами других тензоров. Свертка контравариантного индекса тензора с одним из коэффициентов ковариантного метрического тензора имеет эффект понижения индекса и аналогично контравариантный метрический коэффициент повышает индекс. Применение этого свойства повышения и понижения индексов к самим компонентам метрического тензора приводит к свойству Для диагональной метрики (той, для которой коэффициенты ; т.е. базисные векторы ортогональны друг другу) это означает, что заданный ковариантный коэффициент метрического тензора является обратным соответствующим контравариантным коэффициентом и т.д. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }}$$ $${\displaystyle g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }}$$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}}$

Примеры

Плоское пространство-время

Простейшим примером лоренцева многообразия является плоское пространство-время , которое можно задать как R ⁴ с координатами и метрикой Эти координаты фактически покрывают все R ⁴ . Метрика плоского пространства (или метрика Минковского ) часто обозначается символом η и является метрикой, используемой в специальной теории относительности . В приведенных выше координатах матричное представление η равно (Альтернативное соглашение заменяет координату на и определяет как в пространстве Минковского § Стандартный базис .) ${\displaystyle (t,x,y,z)}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$$ $${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle \eta }$

В сферических координатах метрика плоского пространства принимает вид, где — стандартная метрика на 2-сфере . ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ $${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ $${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$$

Метрики черной дыры

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, невращающуюся черную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.

метрика Шварцшильда

Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в ​​общей теории относительности является метрика Шварцшильда , которая может быть задана в одном наборе локальных координат как , где, опять же, — стандартная метрика на 2-сфере . Здесь — гравитационная постоянная , а — константа с размерностью массы . Ее вывод можно найти здесь . Метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского по мере того, как стремится к нулю (за исключением начала координат, где она не определена). Аналогично, когда стремится к бесконечности, метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского. $${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$$ ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$

С помощью координат метрику можно записать как $${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$$ $${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$$

Для метрики Шварцшильда было разработано несколько других систем координат: координаты Эддингтона–Финкельштейна , координаты Гулльстранда–Пенлеве , координаты Крускала–Секереша и координаты Леметра .

Вращающиеся и заряженные черные дыры

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжен. Для учета заряда метрика должна удовлетворять уравнениям поля Эйнштейна, как и прежде, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная, невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера–Нордстрема .

Вращающиеся черные дыры описываются метрикой Керра (незаряженные) и метрикой Керра–Ньюмена (заряженные). ^{[ необходимы дополнительные пояснения ]}

Другие показатели

Другие примечательные показатели:

• метрика Алькубьерре ,
• метрики де Ситтера / анти-де Ситтера ,
• Метрика Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера ,
• Изотропные координаты ,
• Метрика Леметра–Толмена ,
• метрика Переса ,
• Координаты Риндлера ,
• Координаты Вейля–Льюиса–Папапетру ,
• Метрика Гёделя .

Некоторые из них не имеют горизонта событий или могут не иметь гравитационной сингулярности .

Объем

Метрика g индуцирует естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по области многообразия. При заданных локальных координатах многообразия объемную форму можно записать как где — определитель матрицы компонент метрического тензора для данной системы координат. ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$$ ${\displaystyle \det(g_{\mu \nu })}$

Кривизна

Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно фундаментальной теореме римановой геометрии , на любом полуримановом многообразии существует единственная связность ∇ , совместимая с метрикой и не имеющая кручения . Эта связность называется связностью Леви-Чивиты . Символы Кристоффеля этой связности задаются через частные производные метрики в локальных координатах по формуле (где запятые обозначают частные производные ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$ $${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$$

Кривизна пространства-времени тогда задается тензором кривизны Римана , который определяется в терминах связности Леви-Чивиты ∇. В локальных координатах этот тензор задается как: $${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$$

Тогда кривизна может быть выражена исключительно через метрику и ее производные. ${\displaystyle g}$

Уравнения Эйнштейна

Одна из основных идей общей теории относительности заключается в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется содержанием материи и энергии в пространстве-времени . Уравнения поля Эйнштейна : где тензор кривизны Риччи и скалярная кривизна связывают метрику (и связанные с ней тензоры кривизны) с тензором энергии-импульса . Это тензорное уравнение представляет собой сложный набор нелинейных уравнений в частных производных для компонентов метрики. Точные решения уравнений поля Эйнштейна очень трудно найти. $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$$ $${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$$ $${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

Смотрите также

• Альтернативы общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Математика общей теории относительности
• исчисление Риччи

Ссылки

1. Подробности см. в разделе 2.11, Метрический тензор и классический гравитационный потенциал , в Chow, Tai L. (2008). Гравитация, черные дыры и очень ранняя Вселенная: введение в общую теорию относительности и космологию. Springer. ISBN 9780387736310.
2. Гутфройнд, Ханох; Ренн, Юрген (2015). Дорога к теории относительности: история и значение «Основ общей теории относительности» Эйнштейна, с оригинальной рукописью шедевра Эйнштейна. Princeton University Press. стр. 75. ISBN 9780691175812.

• Список литературы см . в разделе « Ресурсы по общей теории относительности» .