Тензорное произведение

Математические операции над векторными пространствами

В математике тензорное произведение двух векторных пространств V и W (по одному и тому же полю ) — это векторное пространство, с которым связано билинейное отображение , отображающее пару на элемент обозначенного ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w.}$

Элемент формы называется тензорным произведением v и w . Элементом является тензор , а тензорное произведение двух векторов иногда называют элементарным тензором или разложимым тензором . Элементарные тензоры размахиваются в том смысле, что каждый элемент представляет собой сумму элементарных тензоров. Если для V и W заданы базисы , то базис формируется всеми тензорными произведениями базисного элемента V и базисного элемента W. ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Тензорное произведение двух векторных пространств отражает свойства всех билинейных отображений в том смысле, что билинейное отображение из в другое векторное пространство Z факторизуется однозначно через линейное отображение (см. Универсальное свойство ). ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$

Продукты Tensor используются во многих прикладных областях, включая физику и технику. Например, в общей теории относительности гравитационное поле описывается через метрический тензор , который представляет собой векторное поле тензоров, по одному в каждой точке пространственно -временного многообразия , и каждый из которых принадлежит тензорному произведению самого себя кокасательного пространства в точке смысл.

Определения и конструкции

Тензорное произведение двух векторных пространств — это векторное пространство, определенное с точностью до изоморфизма . Есть несколько эквивалентных способов его определения. Большинство из них состоят из явного определения векторного пространства, называемого тензорным произведением, и, как правило, доказательство эквивалентности почти сразу же вытекает из основных свойств определенных таким образом векторных пространств.

Тензорное произведение также можно определить через универсальное свойство ; см. § Универсальное свойство ниже. Что касается каждого универсального свойства, все объекты , удовлетворяющие этому свойству, изоморфны посредством уникального изоморфизма, совместимого с универсальным свойством. Когда используется это определение, другие определения можно рассматривать как конструкции объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, и как доказательства существования объектов, удовлетворяющих универсальному свойству, то есть существования тензорных произведений.

Из баз

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F с соответствующими базисами и ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}.}$

Тензорное произведение V и W представляет собой векторное пространство, в основе которого лежит множество всех с и Это определение можно формализовать следующим образом (эта формализация редко используется на практике, поскольку предыдущего неформального определения обычно достаточно): - это набор функций декартова произведения на F , которые имеют конечное число ненулевых значений. Поточечные операции создают векторное пространство. Функция, которая отображается в 1 , а другие элементы в 0 , обозначается ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle v\in B_{V}}$ ${\displaystyle w\in B_{W}.}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w.}$

Тогда множество является непосредственно базисом, который называется тензорным произведением базисов и ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$ ${\displaystyle V\otimes W,}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}.}$

Мы можем эквивалентно определить это как набор билинейных форм , которые отличны от нуля только в конечном числе элементов . Чтобы увидеть это, учитывая и билинейную форму , мы можем разложить и по основаниям и как: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B\colon V\times W\to F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$

$${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$

${\displaystyle x_{v}}$ ${\displaystyle y_{w}}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$ ${\displaystyle v\otimes w\colon V\times W\to F}$

$${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v\otimes w}$

$${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$

базис Шаудерабазисом ${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$ ${\displaystyle V\times W.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

В любой конструкции тензорное произведение двух векторов определяется их разложением по основаниям. Точнее, взяв за основу разложения и, как и раньше: ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in W}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&=\left(\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\right)\otimes \left(\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w\right)\\&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

свойству ${\displaystyle B(v,w)}$ ${\displaystyle B(x,y)}$ ${\displaystyle B_{V}}$ ${\displaystyle B_{W}}$ ${\displaystyle {\otimes }\colon (x,y)\mapsto x\otimes y}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

Если расположить их в прямоугольном массиве, координатный вектор является внешним произведением координатных векторов и . Следовательно, тензорное произведение является обобщением внешнего произведения, то есть его абстракцией за пределами координатных векторов. ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ограничением этого определения тензорного произведения является то, что при изменении базиса определяется другое тензорное произведение. Однако разложение по одному базису элементов другого базиса определяет канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств, что позволяет их идентифицировать. Кроме того, в отличие от двух следующих альтернативных определений, это определение не может быть расширено до определения тензорного произведения модулей над кольцом .

Как факторпространство

Базисно-независимую конструкцию тензорного произведения можно получить следующим образом.

Пусть V и W — два векторных пространства над полем F .

Сначала рассматривается векторное пространство L , в основе которого лежит декартово произведение . То есть базисными элементами L являются пары с и. Чтобы получить такое векторное пространство, его можно определить как векторное пространство функций , имеющих конечное число ненулевых значений и отождествляемых с функцией, принимающей значение 1 на и 0 в противном случае. ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W.}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Пусть R — линейное подпространство L , натянутое на отношения, которым должно удовлетворять тензорное произведение. Точнее, R натянут на элементы одной из форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

где и ${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V,}$ ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$ ${\displaystyle s\in F.}$

Затем тензорное произведение определяется как факторпространство :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

и образ в этом частном обозначается ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v\otimes w.}$

Нетрудно доказать, что результат этой конструкции удовлетворяет рассмотренному ниже универсальному свойству . (Очень похожая конструкция может быть использована для определения тензорного произведения модулей .)

Универсальная собственность

Универсальное свойство тензорного произведения: если h билинейно, существует единственное линейное отображение , которое делает диаграмму коммутативной (т. е. ). ${\displaystyle {\tilde {h}}}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi }$

В этом разделе описывается универсальное свойство , которому удовлетворяет тензорное произведение. Что касается каждого универсального свойства, два объекта, удовлетворяющие этому свойству, связаны уникальным изоморфизмом . Отсюда следует, что это (неконструктивный) способ определения тензорного произведения двух векторных пространств. В этом контексте предыдущие конструкции тензорных произведений можно рассматривать как доказательства существования определенного таким образом тензорного произведения.

Следствием этого подхода является то, что каждое свойство тензорного произведения можно вывести из универсального свойства и что на практике можно забыть метод, который использовался для доказательства его существования.

«Определение универсального свойства» тензорного произведения двух векторных пространств выглядит следующим образом (напомним, что билинейное отображение — это функция, которая отдельно линейна по каждому из своих аргументов):

Тензорное произведение двух векторных пространств V и W представляет собой векторное пространство, обозначаемое как вместе с билинейным отображением от до такое, что для каждого билинейного отображения существует единственное линейное отображение такое , что (то есть для каждого и ). ${\displaystyle V\otimes W,}$ ${\displaystyle {\otimes }\colon (v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W,}$ ${\displaystyle h\colon V\times W\to Z,}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon V\otimes W\to Z,}$ ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\otimes }}$ ${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle w\in W}$

Линейно непересекающийся

Подобно универсальному свойству, приведенному выше, следующая характеристика также может использоваться для определения того, образуют ли данное векторное пространство и данное билинейное отображение тензорное произведение. ^[1]

Теорема  .  Пусть и — комплексные векторные пространства, и пусть — билинейное отображение. Тогда является тензорным произведением и тогда и только тогда, когда ^[1] образ охватывает все (то есть ), а также и -линейно не пересекаются , что по определению означает, что для всех положительных целых чисел и всех элементов и таких, что ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$ ${\displaystyle (Z,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \;T(X\times Y)=Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i}\right)=0,}$

1. если все линейно независимы, то все таковы и ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$
2. если все линейно независимы, то все ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 0.}$

Эквивалентно, и -линейно непересекающиеся тогда и только тогда, когда все линейно независимые последовательности в и все линейно независимые последовательности в векторах линейно независимы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}$

Например, сразу следует, что если и являются положительными целыми числами, то и билинейная карта определяется путем отправки для формирования тензорного произведения и ^[2] Часто эта карта будет обозначаться так , что обозначает значение этой билинейной карты в ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z:=\mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}}$ ${\displaystyle (x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle Y:=\mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\otimes \,}$ ${\displaystyle x\otimes y\;:=\;T(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in X\times Y.}$

В качестве другого примера предположим, что это векторное пространство всех комплекснозначных функций на множестве с поточечным определением сложения и скалярного умножения (это означает, что это карта и есть карта ). Пусть и будут любыми множествами, а для любого и пусть обозначается функция, определяемая формулой Если и являются векторными подпространствами, то векторное подпространство вместе с билинейным отображением: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$ ${\displaystyle cf}$ ${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T},}$ ${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$ ${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t).}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$ ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$ ${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$

^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Характеристики

Измерение

Если V и W — векторные пространства конечной размерности , то оно конечномерно, а его размерность равна произведению размерностей V и W. ${\displaystyle V\otimes W}$

Это происходит из-за того, что базис формируется путем взятия всех тензорных произведений базисного элемента V и базисного элемента W . ${\displaystyle V\otimes W}$

Ассоциативность

Тензорное произведение ассоциативно в том смысле, что для данных трех векторных пространств существует канонический изоморфизм: ${\displaystyle U,V,W,}$

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

это соответствует ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$ ${\displaystyle u\otimes (v\otimes w).}$

Это позволяет опускать круглые скобки в тензорном произведении более чем двух векторных пространств или векторов.

Коммутативность как операция в векторном пространстве

Тензорное произведение двух векторных пространств и коммутативно в том смысле , что существует канонический изоморфизм: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

это соответствует ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle w\otimes v.}$

С другой стороны, даже если тензорное произведение векторов не коммутативно; это в целом. ${\displaystyle V=W,}$ ${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v,}$

Отображение из в себя индуцирует линейный автоморфизм , который называется ${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ ${\displaystyle V\otimes V}$карта плетения . В более общем смысле и обычно (см.тензорнуюалгебру) пусть обозначаетсятензорное произведениеnкопий векторного пространстваV. Для каждойперестановкиsпервыхnнатуральных чисел карта: ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

индуцирует линейный автоморфизм, который называется отображением переплетения. ${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n},}$

Тензорное произведение линейных карт

Учитывая линейное отображение и векторное пространство W , тензорное произведение: ${\displaystyle f\colon U\to V,}$

${\displaystyle f\otimes W\colon U\otimes W\to V\otimes W}$

— единственное линейное отображение такое, что:

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

Тензорное произведение определяется аналогично. ${\displaystyle W\otimes f}$

Даны две линейные карты и их тензорное произведение: ${\displaystyle f\colon U\to V}$ ${\displaystyle g\colon W\to Z,}$

${\displaystyle f\otimes g\colon U\otimes W\to V\otimes Z}$

это уникальное линейное отображение, которое удовлетворяет:

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

Надо:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

С точки зрения теории категорий это означает , что тензорное произведение является бифунктором категории векторных пространств в себя. ^[3]

Если f и g одновременно инъективны или сюръективны , то то же самое верно для всех определенных выше линейных отображений. В частности, тензорное произведение с векторным пространством является точным функтором ; это означает, что каждая точная последовательность отображается в точную последовательность ( тензорные произведения модулей не преобразуют инъекции в инъекции, но являются точными справа функторами ).

Выбрав базы всех задействованных векторных пространств, линейные карты f и g могут быть представлены матрицами . Тогда, в зависимости от того, как векторизован тензор , матрица, описывающая тензорное произведение , является произведением Кронекера двух матриц. Например, если V , X , W и Y выше двумерны и для всех них фиксированы основания, а f и g задаются матрицами: ${\displaystyle v\otimes w}$ ${\displaystyle f\otimes g}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$

соответственно, тогда тензорное произведение этих двух матриц равно:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$$

Результирующий ранг не превышает 4, и, следовательно, результирующая размерность равна 4. Здесь ранг обозначает тензорный ранг , т.е. количество необходимых индексов (в то время как матричный ранг подсчитывает количество степеней свободы в результирующем массиве). ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B.}$

Диадическое произведение — это частный случай тензорного произведения двух векторов одной размерности.

Общие тензоры

Для неотрицательных целых чисел r и s тензор типа в векторном пространстве V является элементом: ${\displaystyle (r,s)}$

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$

Вот двойственное векторное пространство (которое состоит из всех линейных отображений f из V в основное поле K ). ${\displaystyle V^{*}}$

Существует карта произведения, называемая (тензорным) произведением тензоров : ^[4]

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

Он определяется путем группировки всех встречающихся «факторов» V вместе: записи для элемента V и для элемента двойственного пространства: ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

Если V конечномерно, то выбор базиса V и соответствующего двойственного базиса естественным образом индуцирует базис (этот базис описан в статье о произведениях Кронекера ). В терминах этих базисов можно вычислить компоненты (тензорного) произведения двух (или более) тензоров . Например, если F и G — два ковариантных тензора порядков m и n соответственно (т.е. и ), то компоненты их тензорного произведения имеют вид: ^[5] ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$ ${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$

$${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

Таким образом, компоненты тензорного произведения двух тензоров являются обычным произведением компонент каждого тензора. Другой пример: пусть U — тензор типа (1, 1) с компонентами , а V — тензор типа с компонентами . Тогда: ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha },}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle V^{\gamma }.}$

$${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$

и:

$${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

Тензоры, снабженные операцией произведения, образуют алгебру , называемую тензорной алгеброй .

Карта оценки и сжатие тензора

Для тензоров типа (1, 1) существует каноническая оценочная карта:

$${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$

определяется его действием на чистые тензоры:

$${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

В более общем смысле, для тензоров типа с r , s > 0 существует отображение, называемое сжатием тензора : ${\displaystyle (r,s),}$

$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$

(Необходимо указать экземпляры и места, на которых будет применяться данная карта.) ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$

С другой стороны, если конечномерно , существует каноническое отображение в другом направлении (называемое картой кооценки ): ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$

где – любой базис и – его двойственный базис . Это отображение не зависит от выбора базиса. ^[6] ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle v_{i}^{*}}$

Взаимодействие оценки и совместной оценки можно использовать для характеристики конечномерных векторных пространств без обращения к базам. ^[7]

Присоединенное представление

Тензорное произведение естественно рассматривать как модуль алгебры Ли посредством диагонального действия: для простоты предположим , что для каждого ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle r=s=1,}$ ${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V),}$

$${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$

где – транспонирование u , то есть в терминах очевидного спаривания на ${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*},}$

$${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Существует канонический изоморфизм, задаваемый формулой: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$

$${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

При этом изоморфизме каждое u в можно сначала рассматривать как эндоморфизм, а затем рассматривать как эндоморфизм. На самом деле это присоединенное представление ad( u ) ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V).}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V).}$

Линейные карты как тензоры

Для двух конечномерных векторных пространств U , V над одним и тем же полем K обозначим двойственное к U пространство как U* , а K -векторное пространство всех линейных отображений из U в V как Hom( U , V ) . Существует изоморфизм:

$${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$

определяется действием чистого тензора на элемент ${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$ ${\displaystyle U,}$

$${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

Его «обратный» можно определить с использованием базиса и его двойного базиса , как в разделе «Карта оценки и сжатие тензора» выше: ${\displaystyle \{u_{i}\}}$ ${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

Этот результат подразумевает:

$${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$

что автоматически дает важный факт, который формирует основу того, где находятся базы U и V . ${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$ ${\displaystyle U\otimes V}$ ${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

Кроме того, для данных трех векторных пространств U , V , W тензорное произведение связано с векторным пространством всех линейных карт следующим образом:

$${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

сопряженных функторов

Тензорные произведения модулей над кольцом

Тензорное произведение двух модулей A и B над коммутативным кольцом R определяется точно так же, как тензорное произведение векторных пространств над полем:

$${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$

свободный R -модульGRэтими соотношениями ${\displaystyle F(A\times B)}$

В более общем смысле тензорное произведение можно определить, даже если кольцо некоммутативно . В этом случае A должен быть правым R -модулем, а B — левым R -модулем, и вместо двух последних отношений, приведенных выше, соотношение:

$${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

RRабелева группа

Свойство универсальности также сохраняется, слегка измененное: карта, определенная как, является средней линейной картой (называемой «канонической средней линейной картой». ^[8] ); то есть оно удовлетворяет: ^[9] ${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (a+a',b)&=\phi (a,b)+\phi (a',b)\\\phi (a,b+b')&=\phi (a,b)+\phi (a,b')\\\phi (ar,b)&=\phi (a,rb)\end{aligned}}}$$

Первые два свойства делают φ билинейным отображением абелевой группы. Для любого среднего линейного отображения единственного группового гомоморфизма f удовлетворяет условиям , и это свойство определяется в пределах группового изоморфизма. Подробности смотрите в основной статье . ${\displaystyle A\times B.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle \psi =f\circ \varphi ,}$ ${\displaystyle \phi }$

Тензорное произведение модулей над некоммутативным кольцом

Пусть A — правый R -модуль, а B — левый R -модуль. Тогда тензорное произведение A и B является абелевой группой, определяемой формулой:

$${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$

свободная абелева группа ${\displaystyle F(A\times B)}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle F(A\times B)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

Универсальное свойство можно сформулировать следующим образом. Пусть G — абелева группа с билинейным отображением в том смысле, что: ${\displaystyle q:A\times B\to G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

Тогда существует единственная карта , такая что для всех и ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$ ${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B.}$

Кроме того, мы можем задать структуру модуля при некоторых дополнительных условиях: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Если A — ( S , R )-бимодуль, то — левый S -модуль, где ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b.}$
2. Если B — ( R , S )-бимодуль, то — правый S -модуль, где ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs).}$
3. Если A — ( S , R )-бимодуль, а B — ( R , T )-бимодуль, то это ( S , T )-бимодуль, где левое и правое действия определяются так же, как и предыдущие два. Примеры. ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. Если R — коммутативное кольцо, то A и B — ( R , R )-бимодули, где и По 3) можно заключить, что является ( R , R )-бимодулем. ${\displaystyle ra:=ar}$ ${\displaystyle br:=rb.}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Вычисление тензорного произведения

Для векторных пространств тензорное произведение вычисляется быстро, поскольку базы V из W сразу определяют базис, как упоминалось выше. Для модулей над общим (коммутативным) кольцом не каждый модуль свободен. Например, Z / n Z не является свободной абелевой группой ( Z -модулем). Тензорное произведение с Z / n Z определяется выражением: ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W,}$

$${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

В более общем смысле, учитывая представление некоторого R -модуля M , то есть ряда образующих вместе с отношениями: ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$

$${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$

тензорное произведение можно вычислить как следующее коядро :

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Здесь и карта определяется отправкой некоторой j - й копии в (в ). В разговорной речи это можно перефразировать, сказав, что представление M порождает представление M. Об этом говорят, говоря, что тензорное произведение является точным правым функтором . В общем случае он не является точным слева, то есть для инъективного отображения R -модулей тензорное произведение: ${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N,}$ ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle N^{J}}$ ${\displaystyle a_{ij}n}$ ${\displaystyle N^{I}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$ ${\displaystyle M_{1}\to M_{2},}$

$${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

обычно не является инъективным. Например, тензоризация (инъективного) отображения, заданного умножением на n , n  : Z → Z с Z / n Z , дает нулевое отображение 0: Z / n Z → Z / n Z , которое не является инъективным. Высшие функторы Tor измеряют дефект тензорного произведения, поскольку он не остается точным. Все высшие функторы Tor собираются в производное тензорное произведение .

Тензорное произведение алгебр

Пусть R — коммутативное кольцо. Тензорное произведение R -модулей применимо, в частности, если A и B — R -алгебры . В этом случае тензорное произведение представляет собой R -алгебру, если положить: ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

$${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$

$${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

Конкретным примером является ситуация, когда A и B являются полями, содержащими общее подполе R. Тензорное произведение полей тесно связано с теорией Галуа : если, скажем, A = R [ x ]/ f ( x ) , где f — некоторый неприводимый полином с коэффициентами из R , тензорное произведение можно вычислить как:

$${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$

fBBA = Bрасширением Галуа:

$${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$

A ${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}.}$

Собственные конфигурации тензоров

Квадратные матрицы с элементами в поле представляют собой линейные отображения векторных пространств , скажем, и , таким образом, линейные отображения проективных пространств над . Если невырождена , то корректно определена всюду, а собственные векторы соответствуют неподвижным точкам . предоставленный является общим и алгебраически замкнутым . Неподвижные точки нелинейных отображений являются собственными векторами тензоров. Пусть – -мерный тензор формата с элементами , лежащими в алгебраически замкнутом поле нулевой характеристики . Такой тензор определяет полиномиальные карты и с координатами: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n},}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$ ${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$

$${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

Таким образом, каждая из координат представляет собой однородный полином степени в. Собственные векторы являются решениями ограничения: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$

а собственная конфигурация задается разнообразием миноров этой матрицы . ^[10] ${\displaystyle 2\times 2}$

Другие примеры тензорных произведений

Топологические тензорные произведения

Гильбертовые пространства обобщают конечномерные векторные пространства до произвольных размерностей. Существует аналогичная операция , также называемая «тензорным произведением», которая превращает гильбертово пространство в симметричную моноидальную категорию . По сути, он построен как пополнение метрического пространства алгебраического тензорного произведения, обсуждавшегося выше. Однако оно не удовлетворяет очевидному аналогу универсального свойства, определяющего тензорные произведения; ^[11] морфизмы этого свойства должны быть ограничены операторами Гильберта–Шмидта . ^[12]

В ситуациях, когда наложение внутреннего продукта неуместно, все равно можно попытаться завершить алгебраическое тензорное произведение как топологическое тензорное произведение . Однако такая конструкция больше не определена однозначно: во многих случаях существует несколько естественных топологий алгебраического тензорного произведения.

Тензорное произведение градуированных векторных пространств

Некоторые векторные пространства можно разложить в прямые суммы подпространств. В таких случаях тензорное произведение двух пространств можно разложить на суммы произведений подпространств (аналогично тому, как умножение распределяется над сложением).

Тензорное произведение представлений

Векторные пространства, наделенные дополнительной мультипликативной структурой, называются алгебрами . Тензорное произведение таких алгебр описывается правилом Литтлвуда–Ричардсона .

Тензорное произведение квадратичных форм

Тензорное произведение полилинейных форм

Учитывая две полилинейные формы и векторное пространство над полем, их тензорное произведение представляет собой полилинейную форму: ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

^[13]

Это частный случай произведения тензоров, если их рассматривать как полилинейные карты (см. также тензоры как полилинейные карты ). Таким образом, компоненты тензорного произведения полилинейных форм могут быть вычислены с помощью произведения Кронекера .

Тензорное произведение пучков модулей

Тензорное произведение линейных расслоений

Тензорное произведение полей

Тензорное произведение графов

Следует отметить, что, хотя оно и называется «тензорным произведением», оно не является тензорным произведением графов в указанном выше смысле; на самом деле это теоретико-категорный продукт в категории графов и гомоморфизмов графов . Однако на самом деле это тензорное произведение Кронекера матриц смежности графов. Сравните также раздел «Тензорное произведение линейных карт» выше.

Моноидальные категории

Наиболее общей настройкой для тензорного произведения является моноидальная категория . Он отражает алгебраическую суть тензоризации без каких-либо конкретных ссылок на то, что тензорируется. Таким образом, все тензорные произведения могут быть выражены как применение моноидальной категории к некоторой конкретной ситуации, действующей на некоторые конкретные объекты.

Факторалгебры

Ряд важных подпространств тензорной алгебры можно построить как факторы : к ним относятся внешняя алгебра , симметрическая алгебра , алгебра Клиффорда , алгебра Вейля и универсальная обертывающая алгебра в целом.

Внешняя алгебра строится из внешнего произведения . Для векторного пространства V внешний продукт определяется как: ${\displaystyle V\wedge V}$

$${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V/\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

V

$${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.}$$

иn-внешней степенидифференциальных n -форм ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}.}$ ${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$ ${\displaystyle \Lambda ^{n}V,}$

Симметричная алгебра строится аналогичным образом из симметричного произведения :

$${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V/\{v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}\}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}/(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

симметричными тензорами

Тензорное произведение в программировании

Языки программирования массивов

В языках программирования массивов этот шаблон может быть встроен. Например, в APL тензорное произведение выражается как ○.×(например A ○.× Bили A ○.× B ○.× C). В J тензорное произведение представляет собой двоичную форму */(например a */ bили a */ b */ c).

Обработка J также позволяет представлять некоторые тензорные поля, например, aи bмогут быть функциями, а не константами. Это произведение двух функций является производной функцией, и если aи bдифференцируемы , то a */ bдифференцируема.

Однако эти виды обозначений не всегда присутствуют в языках массивов. Другие языки работы с массивами могут требовать явной обработки индексов (например, MATLAB ) и/или не поддерживать функции высшего порядка, такие как производная Якобиана (например, Fortran /APL).

Смотрите также

• Диадики  - тензор второго порядка в векторной алгебре
• Расширение скаляров
• Моноидальная категория  - категория, допускающая тензорные произведения.
• Тензорная алгебра  - универсальная конструкция в полилинейной алгебре
• Тензорное сжатие  - операция в математике и физике
• Топологическое тензорное произведение  - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.

Примечания

1. Trèves 2006, стр. 403–404.
2. Тревес 2006, стр. 407.
3. Хазевинкель, Мишель; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер. п. 100. ИСБН 978-1-4020-2690-4.
4. Бурбаки (1989), с. 244 определяет использование «тензорного произведения x и y », элементов соответствующих модулей.
5. Аналогичные формулы справедливы и для контравариантных тензоров, а также тензоров смешанной дисперсии. Хотя во многих случаях, например, когда определен внутренний продукт , это различие не имеет значения.
6. «Кооценка векторных пространств». Непримиримый математик . 13 ноября 2008 г. Архивировано из оригинала 02 февраля 2017 г. Проверено 26 января 2017 г.
7. См. Компактную закрытую категорию .
8. Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Спрингер. ISBN 0-387-90518-9.
9. Чен, Юнгкай Альфред (весна 2004 г.), «Тензорное произведение» (PDF) , Advanced Algebra II (конспекты лекций), Национальный Тайваньский университет, заархивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 г.{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Або, Х.; Сейгал, А.; Штурмфельс, Б. (2015). «Собственные конфигурации тензоров». arXiv : 1505.05729 [math.AG].
11. Гаррет, Пол (22 июля 2010 г.). «Несуществование тензорных произведений гильбертовых пространств» (PDF) .
12. Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр . Аспирантура по математике . Том. И. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . Thm. 2.6.4. ISBN 978-0-8218-0819-1. МР  1468229.
13. Ту, LW (2010). Введение в многообразия . Университеттекст. Спрингер. п. 25. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Рекомендации

• Бурбаки, Николя (1989). Элементы математики, Алгебра I. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-64243-9.
• Гауэрс, Тимоти . «Как перестать бояться тензорных произведений». Архивировано из оригинала 7 мая 2021 года.
• Грилье, Пьер А. (2007). Абстрактная алгебра . Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. ISBN 978-0387715674.
• Халмос, Пол (1974). Конечномерные векторные пространства . Спрингер. ISBN 0-387-90093-4.
• Хангерфорд, Томас В. (2003). Алгебра . Спрингер. ISBN 0387905189.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001
• Мак Лейн, С .; Биркгоф, Г. (1999). Алгебра . АМС Челси. ISBN 0-8218-1646-2.
• Агиар, М.; Махаджан, С. (2010). Моноидальные функторы, виды и алгебры Хопфа . Серия монографий по CRM, том 29. ISBN 978-0-8218-4776-3.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК  853623322.
• «Библиография по неабелеву тензорному произведению групп».