Метрика Леметра–Толмена

В физике метрика Леметра–Толмана , также известная как метрика Леметра–Толмана–Бонди или метрика Толмана , является лоренцевой метрикой, основанной на точном решении уравнений поля Эйнштейна ; она описывает изотропную и расширяющуюся (или сжимающуюся) вселенную , которая не является однородной , ^{[1] [2]} и поэтому используется в космологии как альтернатива стандартной метрике Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера для моделирования расширения Вселенной . ^{[3] [4] [5]} Она также использовалась для моделирования Вселенной, которая имеет фрактальное распределение материи, чтобы объяснить ускоряющееся расширение Вселенной . ^[6] Она была впервые обнаружена Жоржем Леметром в 1933 году ^[7] и Ричардом Толменом в 1934 году ^[1] и позже исследована Германом Бонди в 1947 году. ^[8]

Подробности

В синхронной системе отсчета , где и , координата времени (мы устанавливаем ) также является собственным временем и часы во всех точках могут быть синхронизированы. Для пылевидной среды, где давление равно нулю, частицы пыли движутся свободно, т.е. вдоль геодезических, и, таким образом, синхронная система отсчета также является сопутствующей системой, в которой компоненты четырех скоростей равны . Решение уравнений поля дает ^[9] ${\displaystyle g_{00}=1}$ ${\displaystyle g_{0\alpha }=0}$ ${\displaystyle x^{0}=t}$ ${\displaystyle G=c=1}$ ${\displaystyle \tau ={\sqrt {g_{00}}}x^{0}}$ ${\displaystyle u^{i}=dx^{i}/ds}$ ${\displaystyle u^{0}=1,\,u^{\alpha }=0}$

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-e^{\lambda (\tau ,R)}dR^{2}-r^{2}(\tau ,R)(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

где — радиус или светимость в том смысле, что площадь поверхности сферы с радиусом и интерпретируется просто как лагранжева координата и ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle e^{\lambda }={\frac {r'^{2}}{1+f(R)}},\quad \left({\frac {\partial r}{\partial \tau }}\right)^{2}=f(R)+{\frac {F(R)}{r}},\quad 4\pi r^{2}\rho ={\frac {F'(R)}{2r'}}}$

при соблюдении условий и , где и являются произвольными функциями, — плотность материи и, наконец, штрихи обозначают дифференциацию по . Мы также можем предположить, что и , что исключает случаи, приводящие к пересечению материальных частиц во время ее движения. Каждой частице соответствует значение , функция и ее производная по времени соответственно обеспечивают ее закон движения и радиальную скорость. Интересным свойством решения, описанного выше, является то, что когда и отображаются как функции от , форма этих функций, построенных для диапазона, не зависит от того, как эти функции будут построены для . Это предсказание, очевидно, похоже на ньютоновскую теорию. Общая масса внутри сферы определяется выражением ${\displaystyle 1+f>0}$ ${\displaystyle F>0}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle F(R)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F'>0}$ ${\displaystyle r'>0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r(\tau ,R)}$ ${\displaystyle f(R)}$ ${\displaystyle F(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\in [0,R_{0}]}$ ${\displaystyle R>R_{0}}$ ${\displaystyle R=R_{0}}$

${\displaystyle m=4\pi \int _{0}^{r(\tau ,R_{0})}\rho r^{2}dr=4\pi \int _{0}^{R_{0}}\rho r'r^{2}dR={\frac {F(R_{0})}{2}}}$

что подразумевает, что радиус Шварцшильда определяется выражением . ${\displaystyle r_{s}=2m=F(R_{0})}$

Функция может быть получена путем интегрирования и задана в параметрической форме с параметром с тремя возможностями, ${\displaystyle r(\tau ,R)}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle f>0:~~~~~~~~r={\frac {F}{2f}}(\cosh \eta -1),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2f^{3/2}}}(\sinh \eta -\eta ),}$

${\displaystyle f<0:~~~~~~~~r={\frac {F}{-2f}}(1-\cosh \eta ),\quad \tau _{0}-\tau ={\frac {F}{2(-f)^{3/2}}}(\eta -\sinh \eta )}$

${\displaystyle f=0:~~~~~~~~r=\left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3}.}$

где появляется как еще одна произвольная функция. Однако мы знаем, что центрально-симметричное распределение материи может быть описано максимум двумя функциями, а именно распределением ее плотности и радиальной скоростью материи. Это означает, что из трех функций только две являются независимыми. Фактически, поскольку пока не было сделано никакого конкретного выбора для координаты Лагранжа , которая может быть подвергнута произвольному преобразованию, мы можем видеть, что только две функции являются произвольными. ^[10] Для пылевидной среды существует другое решение, где и независимо от , хотя такое решение не соответствует коллапсу конечного тела материи. ^[11] ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle f,F,\tau _{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r=r(\tau )}$ ${\displaystyle R}$

решение Шварцшильда

При const., и поэтому решение соответствует пустому пространству с точечной массой, расположенной в центре. Далее, положив и , решение сводится к решению Шварцшильда, выраженному в координатах Леметра . ${\displaystyle F=r_{s}=}$ ${\displaystyle \rho =0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle \tau _{0}=R}$

Гравитационный коллапс

Гравитационный коллапс происходит, когда достигает с . Момент соответствует прибытию материи, обозначенной ее лагранжевой координатой, в центр. Во всех трех случаях, как , асимптотическое поведение задается выражением ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle \tau _{0}'>0}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \tau \rightarrow \tau _{0}(R)}$

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{4}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2F}{3}}\right)^{1/3}{\frac {\tau _{0}'}{\sqrt {1+f}}}(\tau _{0}-\tau )^{-1/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {F'}{3F\tau _{0}'(\tau _{0}-\tau )}}}$

в котором первые два соотношения указывают, что в сопутствующей системе отсчета все радиальные расстояния стремятся к бесконечности, а тангенциальные расстояния приближаются к нулю, как , тогда как третье соотношение показывает, что плотность материи увеличивается как В частном случае константы, когда время коллапса всех материальных частиц одинаково, асимптотическое поведение различно, ${\displaystyle \tau -\tau _{0}}$ ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau ).}$ ${\displaystyle \tau _{0}(R)=}$

${\displaystyle r\approx \left({\frac {9F}{3}}\right)^{1/3}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad e^{\lambda /2}\approx \left({\frac {2}{3}}\right)^{1/3}{\frac {F'}{2F^{2/3}{\sqrt {1+f}}}}(\tau _{0}-\tau )^{2/3},\quad 4\pi \rho \approx {\frac {2}{3(\tau _{0}-\tau )^{2}}}.}$

Здесь и тангенциальное, и радиальное расстояние стремятся к нулю, как , тогда как плотность вещества увеличивается, как ${\displaystyle (\tau _{0}-\tau )^{2/3}}$ ${\displaystyle 1/(\tau _{0}-\tau )^{2}.}$

Смотрите также

• Координаты Лемэтра
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский момент импульса
• неоднородная космология

Ссылки

1. Tolman, Richard C. (1934). "Влияние неоднородности на космологические модели". Proc. Natl. Acad. Sci . 20 (3). Национальная академия наук США: 169–76. Bibcode :1934PNAS...20..169T. doi : 10.1073/pnas.20.3.169 . PMC  1076370 . PMID  16587869.
2. Красински, Анджей (1997). Неоднородные космологические модели (цифровая печать первой версии в мягкой обложке (с исправлениями) ред.). Кембридж; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-03017-5.
3. Kenworthy, W. D'Arcy; Scolnic, Dan; Riess, Adam (20 апреля 2019 г.). «Локальная перспектива натяжения Хаббла: локальная структура не влияет на измерение постоянной Хаббла». The Astrophysical Journal . 875 (2): 145. arXiv : 1901.08681 . Bibcode :2019ApJ...875..145K. doi : 10.3847/1538-4357/ab0ebf . ISSN  0004-637X.
4. Cai, Rong-Gen; Ding, Jia-Feng; Guo, Zong-Kuan; Wang, Shao-Jiang; Yu, Wang-Wei (2021-06-22). «Свидетельствуют ли данные наблюдений о локальной пустоте?». Physical Review D. 103 ( 12): 123539. arXiv : 2012.08292 . Bibcode : 2021PhRvD.103l3539C. doi : 10.1103/PhysRevD.103.123539. ISSN  2470-0010. S2CID  229180790.
5. Лукович, Владимир В.; Харидасу, Балакришна С.; Витторио, Никола (4 ноября 2019 г.). «Изучение доказательств большой локальной пустоты с данными о сверхновых Ia». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 491 (2). arXiv : 1907.11219 . doi : 10.1093/mnras/stz3070 . ISSN  0035-8711.
6. Cosmai, L; Fanizza, G; Sylos Labini, F; Pietronero, L; Tedesco, L (2019-02-21). "Фрактальная вселенная и космическое ускорение в сценарии Леметра–Толмена–Бонди". Classical and Quantum Gravity . 36 (4): 045007. arXiv : 1810.06318 . Bibcode : 2019CQGra..36d5007C. doi : 10.1088/1361-6382/aae8f7. ISSN  0264-9381. S2CID  119517591.
7. Леметр, Г. (1933). «Вселенная в расширении». Анналы научного общества Брюсселя . 53 : 51–85.
8. Бонди, Герман (1947). «Сферически симметричные модели в общей теории относительности». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 107 (5–6): 410–425. Bibcode : 1947MNRAS.107..410B. doi : 10.1093/mnras/107.5-6.410 .
9. Ландау, Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений М. (2010). Классическая теория полей . Курс теоретической физики / Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц (4-е перераб. англ. ред., перераб. ред.). Амстердам-Гейдельберг: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
10. Зельдович, И︠А︡ Б. ; Новиков, ИД (1996). Звезды и относительность . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-69424-5.
11. Рубан, ВА (1969). "Сферически симметричные Т-модели в общей теории относительности" (PDF) . Советский журнал экспериментальной и теоретической физики . 29 (6).