Координаты Леметра

Координаты Леметра представляют собой особый набор координат для метрики Шварцшильда — сферически симметричного решения уравнений поля Эйнштейна в вакууме — введенного Жоржем Леметром в 1932 году. ^[1] Изменение координат Шварцшильда на координаты Леметра устраняет сингулярность координаты на радиусе Шварцшильда .

Метрика

Исходное координатное выражение метрики Шварцшильда в натуральных единицах ( c = G = 1 ) задается как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{r_{s} \over r}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-{r_{s} \over r}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\;,}$

где

${\displaystyle ds^{2}}$– инвариантный интервал ;

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$– радиус Шварцшильда;

${\displaystyle M}$– масса центрального тела;

${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$– координаты Шварцшильда (асимптотически переходящие в плоские сферические координаты );

${\displaystyle c}$— скорость света ;

и является гравитационной постоянной . ${\displaystyle G}$

Эта метрика имеет координатную особенность на радиусе Шварцшильда . ${\displaystyle r=r_{s}}$

Жорж Леметр был первым, кто показал, что это не настоящая физическая сингулярность, а просто проявление того факта, что статические координаты Шварцшильда не могут быть реализованы с материальными телами внутри радиуса Шварцшильда. Действительно, внутри радиуса Шварцшильда все падает к центру и физическое тело не может сохранять постоянный радиус.

Преобразование системы координат Шварцшильда из в новые координаты. ${\displaystyle \{t,r\}}$ ${\displaystyle \{\tau ,\rho \},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\tau =dt+{\sqrt {\frac {r_{s}}{r}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\\d\rho =dt+{\sqrt {\frac {r}{r_{s}}}}\,\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr~\end{aligned}}}$

(числитель и знаменатель меняются местами внутри квадратных корней), приводит к координатному выражению метрики Леметра:

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{s}}{r}}d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

где

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{s}^{1/3}\;.}$

Метрика в координатах Леметра неособа на радиусе Шварцшильда . Это соответствует точке . В центре остается настоящая гравитационная сингулярность , где , которую невозможно устранить изменением координат. ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{s}}$ ${\displaystyle \rho -\tau =0}$

Временная координата, используемая в координатах Леметра, идентична временной координате «дождевой капли», используемой в координатах Гулстранда – Пенлеве . Остальные три: радиальные и угловые координаты координат Гулстранда – Пенлеве идентичны координатам карты Шварцшильда. То есть Гулстранд-Пенлеве применяет одно преобразование координат для перехода от времени Шварцшильда к координате капли дождя . Затем Лемэтр применяет второе преобразование координат к радиальному компоненту, чтобы избавиться от недиагональной записи в диаграмме Гулстранда – Пенлеве. ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{r}=\tau }$

Используемые в этой статье обозначения временной координаты не следует путать с собственным временем . Это правда, что это дает правильное время для радиально падающих наблюдателей; оно не дает должного времени наблюдателям, путешествующим по другим геодезическим. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Геодезика

Траектории с константой ρ являются времениподобными геодезическими, где τ — собственное время вдоль этих геодезических. Они представляют собой движение свободно падающих частиц, которые начинаются с нулевой скорости на бесконечности. В любой точке их скорость равна скорости выхода из этой точки.

Система координат Леметра является синхронной , то есть глобальная временная координата метрики определяет собственное время сопутствующих наблюдателей. Радиально падающие тела достигают радиуса Шварцшильда и центра за конечное собственное время.

Радиальные нулевые геодезические соответствуют , которые имеют решения . Здесь это просто сокращение от ${\displaystyle ds^{2}=0}$ ${\displaystyle d\tau =\pm \beta d\rho }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta \equiv \beta (r)={\sqrt {r_{s} \over r}}}$

Эти два знака соответствуют световым лучам, движущимся наружу и внутрь, соответственно. Повторное выражение этого через координату дает ${\displaystyle r}$

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {r_{s} \over r}}\right)d\tau }$

Обратите внимание, когда . Это интерпретируется как утверждение, что ни один сигнал не может выйти из радиуса Шварцшильда, при этом световые лучи, испускаемые радиально либо внутрь, либо наружу, оба оказываются в начале координат по мере увеличения собственного времени. ${\displaystyle dr<0}$ ${\displaystyle r<r_{s}}$ ${\displaystyle \tau }$

Координатная карта Леметра не является геодезически полной . В этом можно убедиться, проследив движущиеся наружу радиальные нулевые геодезические назад во времени. Геодезические, движущиеся наружу, соответствуют знаку плюс в приведенном выше примере. При выборе начальной точки в приведенное выше уравнение интегрируется до as . Возвращаясь назад в свое время, мы имеем . Начиная с и интегрируя вперед, можно прийти к конечному собственному времени. Возвращаясь назад, мы снова видим, что . Таким образом, можно заключить, что, хотя метрика невырождена в , все бегущие наружу геодезические простираются до as . ${\displaystyle r>r_{s}}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle r\to +\infty }$ ${\displaystyle \tau \to +\infty }$ ${\displaystyle r\to r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$ ${\displaystyle r<r_{s}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r\to r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$ ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle r=r_{s}}$ ${\displaystyle \tau \to -\infty }$

Смотрите также

• Координаты Крускал-Секереш
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Метрика Леметра – Толмана
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор энергии-напряжения
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский угловой момент

Рекомендации

1. Г. Леметр (1933). «Универс в расширении». Анналы научного общества Брюсселя . А53 : 51–85. Бибкод : 1933ASSB...53...51L.Английский перевод: Леметр, аббат Жорж (1997). «Расширяющаяся Вселенная». Общая теория относительности и гравитация . 29 (5). Издательство Kluwer Academic Publishers-Plenum: 641–680. Бибкод : 1997GReGr..29..641L. дои : 10.1023/А: 1018855621348. S2CID  117168184.
   См. также: Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2. … Андре Гспонер (2004). «Подробнее о ранней интерпретации решения Шварцшильда». arXiv : физика/0408100 .