Координаты Шварцшильда

В теории лоренцевских многообразий сферически симметричные пространства-времена допускают семейство вложенных круглых сфер . В таком пространстве-времени особенно важным видом координатной карты является карта Шварцшильда , разновидность полярной сферической координатной карты на статическом и сферически симметричном пространстве-времени , которая адаптирована к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой карты Шварцшильда является то, что радиальная координата обладает естественной геометрической интерпретацией в терминах площади поверхности и гауссовой кривизны каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы представлены неточно.

Эти диаграммы имеют множество применений в метрических теориях гравитации , таких как общая теория относительности . Чаще всего они используются в статических сферически симметричных пространствах-временах. В случае общей теории относительности теорема Биркгофа утверждает, что каждое изолированное сферически симметричное вакуумное или электровакуумное решение уравнения поля Эйнштейна является статическим, но это, безусловно, не верно для идеальных жидкостей . Расширение внешней области вакуумного решения Шварцшильда внутри горизонта событий сферически симметричной черной дыры не является статическим внутри горизонта, и семейство (пространственноподобных) вложенных сфер не может быть расширено внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого решения обязательно ломается на горизонте.

Определение

Указание метрического тензора является частью определения любого лоренцева многообразия . Самый простой способ определить этот тензор — определить его в совместимых локальных координатных картах и ​​проверить, что тот же самый тензор определен на перекрытиях доменов карт. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в домене одной карты. ${\displaystyle g}$

В диаграмме Шварцшильда (на статическом сферически симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает вид

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega }}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Где — стандартная сферическая координата, а — стандартная метрика на единичной 2-сфере. Более подробный вывод этого выражения см. в разделе Вывод решения Шварцшильда . ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle g_{\Omega }}$

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать a и b как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, зависящие от некоторых параметров), чтобы получить координатную карту Шварцшильда на определенном лоренцевом пространстве-времени.

Если окажется, что это допускает тензор энергии-напряжения, такой, что полученная модель удовлетворяет уравнению поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически симметричной идеальной жидкости, подчиняющейся подходящим энергетическим условиям и другим свойствам, ожидаемым от разумной идеальной жидкости), то при наличии соответствующих тензорных полей, представляющих физические величины, такие как плотность материи и импульса, мы имеем часть возможно большего пространства-времени; часть, которую можно считать локальным решением уравнения поля Эйнштейна.

Уничтожение векторных полей

Относительно карты Шварцшильда алгебра Ли векторных полей Киллинга порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

${\displaystyle \partial _{t}}$^{[Примечание 1]}

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin \phi \,\partial _{\theta }+\cot \theta \,\cos \phi \,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos \phi \,\partial _{\theta }-\cot \theta \,\sin \phi \,\partial _{\phi }}$

Здесь, говоря, что является безвихревым, означает, что тензор вихреобразности соответствующей времениподобной конгруэнтности обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга является гиперповерхностно-ортогональным . Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времениподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Одним из непосредственных следствий является то, что постоянные временные координатные поверхности образуют семейство (изометрических) пространственных гиперсрезов . (Это неверно, например, в карте Бойера-Линдквиста для внешней области вакуума Керра , где времениподобный координатный вектор не является гиперповерхностно-ортогональным.) ${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

Обратите внимание, что последние два поля являются вращениями друг друга при преобразовании координат . Статья о векторных полях Киллинга содержит подробный вывод и обсуждение трех пространственноподобных полей. ${\displaystyle \phi \mapsto \phi +\pi /2}$

Семейство статических вложенных сфер

На диаграмме Шварцшильда поверхности выглядят как круглые сферы (когда мы строим годографы в полярно-сферической форме), и из ее формы мы видим, что метрика Шварцшильда, ограниченная любой из этих поверхностей, является положительно определенной и задается выражением ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=r_{0}^{2}g_{\Omega }=r_{0}^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Где стандартная риманова метрика на единичной радиусной 2-сфере. То есть, эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют геометрические сферы с ${\displaystyle g_{\Omega }}$

1. площадь поверхности ${\displaystyle A=4\pi r_{0}^{2}}$
2. Гауссова кривизна ${\displaystyle K=1/r_{0}^{2}}$

В частности, они представляют собой геометрические круглые сферы . Более того, угловые координаты являются в точности обычными полярными сферическими угловыми координатами: иногда называется коширотой , а обычно называется долготой . Это по сути определяющая геометрическая характеристика карты Шварцшильда. ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Может быть полезно добавить, что четыре поля Киллинга, приведенные выше, рассматриваемые как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии, дают самое верное выражение обеих симметрий статического сферически симметричного пространства-времени, в то время как конкретная тригонометрическая форма , которую они принимают в нашей карте, является самым верным выражением значения термина карта Шварцшильда . В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, как три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически симметричной карте на E ³ ; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Однако, обратите внимание: в общем случае радиальная координата Шварцшильда неточно представляет радиальные расстояния , т.е. расстояния, взятые вдоль пространственноподобной геодезической конгруэнтности, которые возникают как интегральные кривые . Вместо этого, чтобы найти подходящее понятие « пространственного расстояния » между двумя нашими вложенными сферами, мы должны интегрировать вдоль некоторого координатного луча из начала координат: ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle b(r)dr}$

${\displaystyle \Delta \rho =\int _{r_{1}}^{r_{2}}b(r)dr}$

Аналогично, мы можем рассматривать каждую сферу как локус сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (в общем) использовать ракетные двигатели для ускорения радиально наружу, чтобы сохранить свое положение. Это статические наблюдатели , и у них есть мировые линии формы , которые, конечно, имеют форму вертикальных координатных линий на карте Шварцшильда. ${\displaystyle r=r_{0},\theta =\theta _{0},\phi =\phi _{0}}$

Чтобы вычислить правильный интервал времени между двумя событиями на мировой линии одного из этих наблюдателей, мы должны выполнить интегрирование вдоль соответствующей координатной линии: ${\displaystyle a(r)dt}$

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(r)dt}$

Координатные особенности

Оглядываясь назад на диапазоны координат выше, обратите внимание, что сингулярность координат в отмечает местоположение Северного полюса одной из наших статических вложенных сфер, в то время как отмечает местоположение Южного полюса . Так же, как и для обычной полярной сферической карты на E ³ , по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать некоторую долготу (большой круг), которая будет действовать как начальный меридиан , и вырезать его из карты. Результатом является то, что мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза, включая ось и полуплоскость, простирающуюся от этой оси. ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =0}$ ${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0},\,\theta =\pi }$ ${\displaystyle \phi =0}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle r=0}$

Когда мы выше сказали, что это векторное поле Киллинга, мы опустили педантичный, но важный определитель, который мы думаем как о циклической координате и действительно думаем о наших трех пространственноподобных векторах Киллинга как о действующих на круглые сферы. ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Возможно, конечно, или , в этом случае мы также должны вырезать область вне некоторого шара или внутри некоторого шара из области нашей диаграммы. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r. ${\displaystyle r_{1}>0}$ ${\displaystyle r_{2}<\infty }$

Визуализация статических гиперсрезов

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, может быть полезно встроить один из пространственных гиперсрезов (они, конечно, все изометричны друг другу) в плоское евклидово пространство. Люди, которым трудно визуализировать четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться сферической симметрией, чтобы подавить одну координату . Этого можно удобно добиться, установив . Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной картой радиальных координат, ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle t=0,\theta =\pi /2}$

${\displaystyle g|_{t=0,\theta =\pi /2}=b(r)^{2}dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2},\;\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы встроить эту поверхность (или кольцевое кольцо ) в E 3 , мы принимаем поле фрейма в E ^{3 ,} которое

1. определяется на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику из пространства вложения,
2. адаптирован к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию . ${\displaystyle f(r)}$

А именно, рассмотрим параметризованную поверхность

${\displaystyle (z,r,\phi )\rightarrow (f(r),\,r\cos \phi ,\,r\sin \phi )}$

Координатные векторные поля на этой поверхности имеют вид

${\displaystyle \partial _{r}=(f^{\prime }(r),\,\cos \phi ,\,\sin \phi ),\;\;\partial _{\phi }=(0,-r\sin \phi ,r\cos \phi )}$

Индуцированная метрика, унаследованная при ограничении евклидовой метрики на E ³ нашей параметризованной поверхностью, имеет вид

${\displaystyle d\rho ^{2}=\left(1+f^{\prime }(r)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\phi ^{2},\;r_{1}<r<r_{2},\,-\pi <\phi <\pi }$

Чтобы отождествить это с метрикой нашего гиперсреза, мы, очевидно, должны выбрать такое, что ${\displaystyle f(r)}$

${\displaystyle f^{\prime }(r)={\sqrt {1-b(r)^{2}}}}$

Возьмем немного глупый пример: у нас может быть . ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sin(r)}$

Это работает для поверхностей, в которых истинные расстояния между двумя радиально разделенными точками больше , чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше , мы должны вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E ^1,2 вместо этого. Например, мы могли бы иметь . Иногда нам могут понадобиться два или более локальных вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). В общем случае мы не должны ожидать получить глобальное вложение в какое-либо одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана). ${\displaystyle b(r)=f(r)=\sinh(r)}$

Дело в том, что определяющая характеристика карты Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты — это как раз то, что нам нужно для осуществления (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперсрезов.

Метрический Анзац

Приведенный выше линейный элемент, где f , g рассматриваются как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда r , часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы покажем, как вычислить связь и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана . Сначала мы считываем с элемента линии поле кофрейма ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=rd\theta \,}$

${\displaystyle \sigma ^{3}=r\sin \theta \,d\phi }$

где мы рассматриваем пока еще неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает систему отсчета, имеющую эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом сферически симметричном лоренцевом многообразии). ${\displaystyle a\,b}$ ${\displaystyle r}$

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих кобазисных форм:

${\displaystyle d\sigma ^{0}=-a'(r)\,dr\wedge dt={\frac {a'(r)}{b(r)}}\,dt\wedge \sigma ^{1}}$

${\displaystyle d\sigma ^{1}=0\,}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=dr\wedge d\theta }$

${\displaystyle d\sigma ^{3}=\sin \theta \,dr\wedge d\phi +r\,\cos \theta \,d\theta \wedge d\phi =-\left({\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}\wedge \sigma ^{1}+\cos \theta \,d\phi \wedge \sigma ^{2}\right)}$

Сравнивая с первым структурным уравнением Картана (точнее, с его условием интегрируемости),

${\displaystyle d\sigma ^{\hat {m}}=-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}\,\wedge \sigma ^{\hat {n}}}$

мы угадываем выражения для одноформ связи . (Шляпы — это всего лишь обозначение, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим одноформам кобазиса, а не к одноформам координат .) ${\displaystyle dt,\,dr,\,d\theta ,d\phi }$

Если вспомнить, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в , то можно подтвердить, что шесть одноформ связи являются ${\displaystyle {\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {a'}{b}}(r)\,dt}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{2}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{3}=0}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-{\frac {d\theta }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-{\frac {\sin \theta \,d\phi }{b(r)}}}$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos \theta \,d\phi }$

(В этом примере только четыре из шести неисчезающих.) Мы можем собрать эти 1-формы в матрицу 1-форм или, что еще лучше, в 1-форму со значениями SO(1,3). Обратите внимание, что полученная матрица 1-форм не будет полностью антисимметричной , как для 1-формы со значениями SO(4); вместо этого нам нужно использовать понятие транспонирования, вытекающее из лоренцевского сопряженного.

В-третьих, мы вычисляем внешние производные одной формы связи и используем второе структурное уравнение Картана

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}=d{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}-{\omega ^{\hat {m}}}_{\hat {\ell }}\wedge {\omega ^{\hat {\ell }}}_{\hat {n}}}$

для вычисления кривизны двух форм. В-четвертых, используя формулу

${\displaystyle {\Omega ^{\hat {m}}}_{\hat {n}}={R^{\hat {m}}}_{{\hat {n}}|{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}|}\,\sigma ^{\hat {\imath }}\wedge \sigma ^{\hat {\jmath }}}$

где полосы Баха указывают, что мы должны суммировать только по шести возрастающим парам индексов ( i , j ), мы можем считать линейно независимые компоненты тензора Римана относительно нашей косистемы и ее дуального поля системы отсчета . Мы получаем:

${\displaystyle {R^{0}}_{101}={\frac {-a''\,b+a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r)}$

${\displaystyle {R^{0}}_{202}={\frac {1}{r}}{\frac {-a'}{a\,b^{2}}}(r)={R^{0}}_{303}}$

${\displaystyle {R^{1}}_{212}={\frac {1}{r}}{\frac {b'}{b^{3}}}(r)={R^{1}}_{313}}$

${\displaystyle {R^{2}}_{323}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {b^{2}-1}{b^{2}}}(r)}$

В-пятых, мы можем понизить индексы и организовать компоненты в матрицу. ${\displaystyle R_{{\hat {m}}{\hat {n}}{\hat {i}}{\hat {j}}}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}R_{0101}&R_{0102}&R_{0103}&R_{0123}&R_{0131}&R_{0112}\\R_{0201}&R_{0202}&R_{0203}&R_{0223}&R_{0231}&R_{0212}\\R_{0301}&R_{0302}&R_{0303}&R_{0323}&R_{0331}&R_{0312}\\R_{2301}&R_{2302}&R_{2303}&R_{2323}&R_{2331}&R_{2312}\\R_{3101}&R_{3102}&R_{3103}&R_{3123}&R_{3131}&R_{3112}\\R_{1201}&R_{1202}&R_{1203}&R_{1223}&R_{1231}&R_{1212}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}E&B\\B^{T}&L\end{matrix}}\right]}$

где E, L симметричны (шесть линейно независимых компонент, в общем), а B не имеет следа (восемь линейно независимых компонент, в общем), что мы считаем представлением линейного оператора в шестимерном векторном пространстве двух форм (при каждом событии). Из этого мы можем прочитать разложение Бела относительно времениподобного единичного векторного поля . Электрогравитационный тензор равен ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{11}={\frac {a''\,b-a'\,b'}{a\,b^{3}}}(r),\;E[{\vec {X}}]_{22}=E[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {a'}{a\,b^{2}}}(r)}$

Магнитогравитационный тензор тождественно равен нулю, а топогравитационный тензор , из которого (используя тот факт, что является безвихревым) можно определить трехмерный тензор Римана пространственных гиперсрезов, равен ${\displaystyle {\vec {X}}}$

${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{11}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {1-b^{2}}{b^{2}}}(r),\;L[{\vec {X}}]_{22}=L[{\vec {X}}]_{33}={\frac {1}{r}}{\frac {-b'}{b^{3}}}(r)}$

Все это справедливо для любого лоренцева многообразия, но мы отмечаем, что в общей теории относительности электрогравитационный тензор управляет приливными напряжениями на малых объектах, измеряемыми наблюдателями, соответствующими нашей системе отсчета, а магнитогравитационный тензор управляет любыми спин-спиновыми силами на вращающихся объектах, измеряемыми наблюдателями, соответствующими нашей системе отсчета.

Двойное поле кадра нашего поля кокадра равно

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{a(r)}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{b(r)}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Тот факт, что фактор умножает только первое из трех ортонормальных пространственноподобных векторных полей здесь, означает, что карты Шварцшильда не являются пространственно изотропными (за исключением тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее, световые конусы выглядят (радиально сплющенными) или (радиально удлиненными). Это, конечно, просто другой способ сказать, что карты Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не представляет точно радиальное собственное расстояние. ${\displaystyle {\frac {1}{b(r)}}}$

Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда

Вот некоторые примеры точных решений, которые можно получить таким образом:

• внешняя область вакуума Шварцшильда ,
• то же самое, для электровакуума Рейсснера-Нордстрема , который включает предыдущий пример как частный случай,
• то же самое, для электролямбда-вакуума Рейсснера-Нордстрема-де Ситтера, который включает предыдущий пример как частный случай,
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (моделирующее внешнюю часть статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая представляет собой статическое сферически-симметричное идеальное жидкое решение в сферическом месте исчезающего давления , с внешней областью, которая локально изометрична части вакуумной области Шварцшильда.

Обобщения

Естественно рассматривать нестатичные, но сферически симметричные пространства-времена с обобщенной диаграммой Шварцшильда, в которой метрика принимает вид

${\displaystyle g=-a(t,r)^{2}\,dt^{2}+b(t,r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right),}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi }$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наших круглых двухсферах, чтобы получить, например, стереографическую карту Шварцшильда , которая иногда бывает полезна:

${\displaystyle g=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}},\;-\infty <t,x,y<\infty ,r_{1}<r<r_{2}}$

Смотрите также

• статическое пространство-время ,
• сферически симметричное пространство-время ,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости ,
• изотропные координаты , еще одна популярная диаграмма для статического сферически симметричного пространства-времени,
• Гауссовы полярные координаты , менее распространенная альтернативная карта для статического сферически симметричного пространства-времени,
• Координаты Гулльстранда–Пенлеве — простая диаграмма, действительная внутри горизонта событий статической черной дыры.
• поля фреймов в общей теории относительности , для получения дополнительной информации о полях фреймов и полях кофреймов,
• Разложение Бела тензора Римана,
• конгруэнтность (общая теория относительности) , для получения дополнительной информации о конгруэнтностях, подобных приведенным выше, ${\displaystyle {\vec {X}}}$
• Координаты Крускала–Секереша , диаграмма, охватывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда, и ведут себя хорошо всюду за пределами физической сингулярности,
• Координаты Эддингтона-Финкельштейна , альтернативная карта для статического сферически симметричного пространства-времени,
• Координаты Леметра — самая ранняя карта, которая является регулярной на горизонте событий.

Примечания

1. — обозначение векторного поля, указывающего во времениподобном направлении. Оно записано так, чтобы напоминать дифференциальный оператор относительно t, поскольку производные могут быть взяты вдоль этого направления. Обозначение = часто и в общем случае используется для обозначения векторного поля в касательном расслоении . ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x}$